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試題PAGE1試題龍崗區(qū)實驗學校2024-2025學年第一學期九年級開學考數(shù)學試卷一.選擇題(每題3分,共24分)1.芯片是半導體元件產(chǎn)品的統(tǒng)稱,是一種將電路小型化的技術,常制造在半導體晶圓表面上.下列關于芯片的圖標中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B.C. D.2.下列方程是一元二次方程的是()A. B.C. D.3.如圖,一根木棍斜靠在與地面垂直墻上,設木棍中點為P,若木棍A端沿墻下滑,且B端沿地面向右滑行.在此滑動過程中,點P到點O的距離()A.變小 B.不變 C.變大 D.無法判斷4.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,,,則矩形對角線的長為()A.4 B.8 C. D.5.一元二次方程配方后可化為()A. B.C. D.6.實驗室的一個容器內盛有150克食鹽水,其中含鹽10克.如何處理能將該容器內食鹽水含鹽的百分比提高到原來的3倍.曉華根據(jù)這一情景中的數(shù)量關系列出方程,則未知數(shù)x表示的意義是()A.增加的水量 B.蒸發(fā)掉的水量 C.加入的食鹽量 D.減少的食鹽量7.若關于x的方程有實數(shù)根,則實數(shù)m的取值的范圍是()A. B. C. D.8.如圖1,在平行四邊形中,,點E是CD的中點.點P從點A出發(fā),沿A→D→C→B以的速度運動到終點B.設點P運動的時間為,的面積為,圖2是y與x之間的函數(shù)關系圖象,下列判斷不正確的是()A. B.,C. D.的面積為二.填空題(每題3分,共15分)9.已知方程的一個根是,則m的值是_______.10.如圖,,兩地被古城墻阻隔,為測量,兩地間距離,先在城墻外地上取一個可以直接到達,兩地的點,連接CA,CB,分別取CA,CB的中點,,連接DE.若DE的長為27m,則,兩地間的距離為______.11.門窗是中國古代木構架建筑上的重要組成部分.如圖①所示是一款冰裂紋窗格,圖②是窗格中的部分圖案.其中∠1,∠2,∠3,∠4是五邊形的4個外角,若∠1+∠2+∠3+∠4=300°,12.已知關于x的不等式組只有3個整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是_______.13.如圖,正方形邊長為3,正方形邊長為2,連接CD和AF,則的值為___________.三.解答題(共61分)14.解方程:(1)x2+2x﹣4=0;(2)3x(2x+1)=4x+2.15.先化簡,再求值:,其中,16.如圖:在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E(尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了),連接EF.(1)求證:四邊形ABEF為菱形;(2)AE,BF相交于點O,若BF=6,AB=5,求AE的長.17閱讀材料:材料1:若關于x的一元二次方程的兩個根為,,則有,.材料2:已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m,n.求的值.解:∵方程的兩個實數(shù)根分別為m,n,則,,∴.根據(jù)上述材料,結合你所學的知識,完成下列問題:(1)材料理解:若一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為.,,則______,______.(2)類比應用:已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m,n,求的值.(3)思維拓展:已知實數(shù)m,n滿足,,且,求的值.18.社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個小型停車場,其布局如圖所示.已知,,陰影部分設計為停車位,要鋪花磚,其余部分均為寬度為米的道路.已知鋪花磚的面積為.(1)求道路的寬是多少米?(2)該停車場共有車位50個,據(jù)調查分析,當每個車位的月租金為元時;可全部租出;若每個車位的月租金每上漲元,就會少租出個車位.當每個車位的月租金上漲多少元時,停車場的月租金收入為元19.閱讀以下材料,并按要求完成相應的任務:等腰梯形在第六章,我們按照“定義一性質一判定”的路徑研究了平行四邊形.生活中還有另一種特殊四邊形一等腰梯形,我們可以類比平行四邊形對其進行研究.定義:只有一組對邊平行四邊形叫做梯形,其中互相平行的兩邊叫做底,不平行的兩邊叫做腰.兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.如圖1,四邊形是等腰梯形,其中,.性質:從整體對稱性看,等腰梯形是軸對稱圖形:從局部元素特征看,等腰梯形有如下性質:性質1:等腰梯形同一底上的兩個角相等;性質判定:與平行四邊形類似,等腰梯形的性質與判定也具有互逆關系判定.任務:(1)為證明等腰梯形的性質1,小穎的思考如下.請按她的思路選擇一種方法寫出證明過程.已知:如圖2,四邊形是等腰梯形,,.求證:,.證明:方法1:過點作的平行線,交于點,;方法2:過點,作的垂線,垂足分別為,,.(2)①根據(jù)材料中的思路,小穎由等腰梯形的性質1得到關于等腰梯形判定方法的猜想,請你補全該命題:的梯形是等腰梯形.②等腰梯形的判定方法的猜想是真命題,請說明理由.20.【材料背景】如圖1,在中,以邊為底邊向外作等腰,其中,且,那么點D就被稱為邊“外展等直點”.【建構與探究】如圖2,正方形網(wǎng)格是由邊長為“1”的正方形組成,點O、A、B、C都在格點上,,點C為的中點.(1)連接、、,請分別作邊、的“外展等直點”P和Q,連接、和,則的形狀為;(2)如圖3,點E、F在格點上,請在線段上的格點中任取一點D(不與點A重合),連接、,分別作的邊和邊的“外展等直點”G、H,連接、和,請判斷的形狀,并說明理由.【應用與拓展】(3)如圖4,點M、N為平面內某三角形兩條邊的“外展等直點”,已知,請直接寫出該三角形第三條邊的中點K的坐標.龍崗區(qū)實驗學校2024-2025學年第一學期九年級開學考數(shù)學試卷一.選擇題(每題3分,共24分)1.芯片是半導體元件產(chǎn)品的統(tǒng)稱,是一種將電路小型化的技術,常制造在半導體晶圓表面上.下列關于芯片的圖標中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識,把一個圖形繞某一點旋轉后,能夠與原圖形重合,那么這個圖形就叫做中心對稱圖形,如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形,熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念,是解題的關鍵.【詳解】解:A、繞某一點旋轉后,能夠與原圖形重合,是中心對稱圖形;沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,是軸對稱圖形,故符合題意;B、繞某一點旋轉后,不能夠與原圖形重合,不是中心對稱圖形;沿一條直線折疊,直線兩旁的部分不能夠互相重合,不是軸對稱圖形,故不符合題意;C、繞某一點旋轉后,不能夠與原圖形重合,不是中心對稱圖形;沿一條直線折疊,直線兩旁的部分不能夠互相重合,不是軸對稱圖形,故不符合題意;D、繞某一點旋轉后,不能夠與原圖形重合,不是中心對稱圖形;沿一條直線折疊,直線兩旁的部分不能夠互相重合,不是軸對稱圖形,故不符合題意;故選:A.2.下列方程是一元二次方程的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判定即可.本題考查一元二次方程的定義,熟練掌握“只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的次數(shù)最高為2次的整式方程叫做一元二次方程”是解題的關鍵.【詳解】解:A、是二元二次方程,不符合題意;B、當時,是一元二次方程,不符合題意;C、方程整理得:,是三元一次方程,不符合題意;D、是一元二次方程,符合題意.故選:D.3.如圖,一根木棍斜靠在與地面垂直的墻上,設木棍中點為P,若木棍A端沿墻下滑,且B端沿地面向右滑行.在此滑動過程中,點P到點O的距離()A.變小 B.不變 C.變大 D.無法判斷【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得出OP=AB=a,即可得出答案.【詳解】解:在木棍滑動的過程中,點P到點O的距離不發(fā)生變化,理由是:連接OP,設∵∠AOB=90°,P為AB中點,AB=2a,∴OP=AB=a,即在木棍滑動的過程中,點P到點O的距離不發(fā)生變化,永遠是a;故選:B.【點睛】此題考查了解直角三角形,掌握在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.4.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,,,則矩形對角線的長為()A.4 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質首先證明是等邊三角形即可解決問題.【詳解】解:四邊形是矩形,,,,,,是等邊三角形,,,故選:B.【點睛】本題考查矩形的性質、等邊三角形的判定等知識,解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)是等邊三角形,屬于基礎題.5.一元二次方程配方后可化為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意直接對一元二次方程配方,然后把常數(shù)項移到等號右邊即可.【詳解】解:根據(jù)題意,把一元二次方程配方得:,即,∴化成的形式為.故選:B.【點睛】本題考查配方法解一元二次方程,注意掌握配方法的一般步驟:把常數(shù)項移到等號的右邊;把二次項的系數(shù)化為1;等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).6.實驗室的一個容器內盛有150克食鹽水,其中含鹽10克.如何處理能將該容器內食鹽水含鹽的百分比提高到原來的3倍.曉華根據(jù)這一情景中的數(shù)量關系列出方程,則未知數(shù)x表示的意義是()A.增加的水量 B.蒸發(fā)掉的水量 C.加入的食鹽量 D.減少的食鹽量【答案】B【解析】【分析】本題考查分式方程的應用,理解題意,找準方程中等量關系是解題關鍵,根據(jù)容器內盛有150克食鹽水,其中含鹽10克及食鹽水含鹽的百分比提高到原來的3倍.可求出含鹽的百分比,然后通過分式方程可知含鹽仍為10克,而鹽水變?yōu)榭?,故可得出減少了水分,即可得出答案.【詳解】根據(jù)分式方程可知:食鹽水含鹽的百分比提高到原來的3倍后,含鹽10克不變,而鹽水總量變?yōu)榭?,所以應蒸發(fā)掉了水分,x表示的意義是蒸發(fā)掉的水量.故選:B.7.若關于x的方程有實數(shù)根,則實數(shù)m的取值的范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根,列不等式求解即可.【詳解】解析:關于x的方程有實數(shù)根,,解得,故選C.【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式,熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與判別式之間的關系是解答此題的關鍵.8.如圖1,在平行四邊形中,,點E是CD的中點.點P從點A出發(fā),沿A→D→C→B以的速度運動到終點B.設點P運動的時間為,的面積為,圖2是y與x之間的函數(shù)關系圖象,下列判斷不正確的是()A. B.,C. D.的面積為【答案】C【解析】【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、數(shù)形結合,根據(jù)題意理解每段函數(shù)圖象的含義是解題的關鍵.由函數(shù)圖象可知,點運動秒后到達點,此時的面積為,運動秒后到達點,點、點重合,此時的面積為,運動秒后到達點,此時的面積為,分別對各選項進行判斷.【詳解】A.因運動速度不變,所以從點到點與從點到點所用時間相同,即,解得故A正確;B.因為點運動秒后到達點,所以,因為四邊形平行四邊形,所以,因為點運動秒后到達點,所以,則,故B正確;C.因為點運動到點時的面積為,為CD中點,所以故C錯誤;D.過點作于點,因為,所以,則所以平行四邊形的面積:故D正確;故選:C.二.填空題(每題3分,共15分)9.已知方程的一個根是,則m的值是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解把代入一元二次方程得到關于m的一次方程,然后解一次方程即可.【詳解】解:把代入,得,解得,.故答案為:.【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.10.如圖,,兩地被古城墻阻隔,為測量,兩地間的距離,先在城墻外地上取一個可以直接到達,兩地的點,連接CA,CB,分別取CA,CB的中點,,連接DE.若DE的長為27m,則,兩地間的距離為______.【答案】54【解析】【分析】本題考查的是三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半,根據(jù)三角形中位線定理計算即可.【詳解】解:點,分別為,的中點,,故答案為:54.11.門窗是中國古代木構架建筑上的重要組成部分.如圖①所示是一款冰裂紋窗格,圖②是窗格中的部分圖案.其中∠1,∠2,∠3,∠4是五邊形的4個外角,若∠1+∠2+∠3+∠4=300°,【答案】【解析】【分析】本題考查了多邊形的外角和內角綜合.根據(jù)多邊形的外角和是可求出處的外角,進而求解.【詳解】解:如圖,設處的外角為∠5,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,∵,∴∠5=60°,∴;故答案為:.12.已知關于x的不等式組只有3個整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù),先解不等式得,再根據(jù)不等式組只有3個整數(shù)解進行求解即可.【詳解】解:解不等式得,故不等式組的解集為:∵關于x的不等式組只有3個整數(shù)解,故x=1或0或,∴,故答案為:.13.如圖,正方形邊長為3,正方形邊長為2,連接CD和AF,則的值為___________.【答案】26【解析】【分析】連接,設交于點G,先證明,可得,可得到,再由勾股定理可得,即可求解.【詳解】解:如圖,連接,設交于點G,∵四邊形和均為正方形,∴,,∴,,∴,∴,∴,∴,∴,∵正方形邊長為3,正方形邊長為2,∴,∴,∴.故答案為:26【點睛】本題主要考查了正方形的性質,勾股定理,全等三角形的判定和性質,證明得到是解題的關鍵.三.解答題(共61分)14.解方程:(1)x2+2x﹣4=0;(2)3x(2x+1)=4x+2.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用配方法求解即可.(2)先將方程變形,再利用因式分解法求解即可.【小問1詳解】解得:,【小問2詳解】則或解得:,【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵.15.先化簡,再求值:,其中,【答案】;【解析】【分析】本題考查的是分式的化簡求值,先計算括號內分式的減法運算,再計算除法運算,最后把代入計算即可.【詳解】解:.當時,原式.16.如圖:在平行四邊形ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E(尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了),連接EF.(1)求證:四邊形ABEF為菱形;(2)AE,BF相交于點O,若BF=6,AB=5,求AE的長.【答案】(1)見解析;(2)8【解析】【分析】(1)先證四邊形ABEF為平行四邊形,繼而再根據(jù)AB=AF,即可得四邊形ABEF為菱形;(2)由四邊形ABEF為菱形可得AE⊥BF,BO=FB=3,AE=2AO,在Rt△AOB中,求出AO的長即可得答案.【詳解】(1)由尺規(guī)作∠BAF的角平分線的過程可得AB=AF,∠BAE=∠FAE,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=FA,∴四邊形ABEF為平行四邊形,∵AB=AF,∴四邊形ABEF為菱形;(2)∵四邊形ABEF為菱形,∴AE⊥BF,BO=FB=3,AE=2AO,Rt△AOB中,AO==4,∴AE=2AO=8【點睛】本題考查了平行四邊形的性質,菱形的判定與性質,熟練掌握相關知識是解題的關鍵.17.閱讀材料:材料1:若關于x的一元二次方程的兩個根為,,則有,.材料2:已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m,n.求的值.解:∵方程的兩個實數(shù)根分別為m,n,則,,∴.根據(jù)上述材料,結合你所學的知識,完成下列問題:(1)材料理解:若一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為.,,則______,______.(2)類比應用:已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m,n,求的值.(3)思維拓展:已知實數(shù)m,n滿足,,且,求的值.【答案】(1),;(2);(3)3.【解析】【分析】(1)根據(jù)根與系數(shù)的關系進行求解即可;(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系可得:,,再利用因式分解的方法進行運算即可;(3)根據(jù)題意可把與看作是方程的兩個實數(shù)根,,則有,,再利用分式的化簡求值的方法進行運算即可.【小問1詳解】解:∵一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為.,,∴,,故答案為:,.【小問2詳解】解:∵一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m,n,∴,,∴;【小問3詳解】解:∵實數(shù)、滿足,,∴與看作是方程的兩個實數(shù)根,∴,,∴.【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系的應用,讀懂材料,理解一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.18.社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個小型停車場,其布局如圖所示.已知,,陰影部分設計為停車位,要鋪花磚,其余部分均為寬度為米的道路.已知鋪花磚的面積為.(1)求道路的寬是多少米?(2)該停車場共有車位50個,據(jù)調查分析,當每個車位的月租金為元時;可全部租出;若每個車位的月租金每上漲元,就會少租出個車位.當每個車位的月租金上漲多少元時,停車場的月租金收入為元【答案】(1)道路的寬為米(2)每個車位的月租金上漲元時,停車場的月租金收入為元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用,讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關系,列出方程是解題關鍵.(1)由題意知,道路的寬為米,根據(jù)矩形的面積公式列出方程并解答即可;(2)設車位的月租金上漲元,則租出的車位數(shù)量是個,根據(jù):月租金每個車位的月租金車位數(shù),列出方程并解答即可;小問1詳解】解:根據(jù)道路的寬為米,,整理得:,解得:(舍去),,答:道路的寬為米.【小問2詳解】解:設月租金上漲元,停車場月租金收入為元,根據(jù)題意得:,整理得:,解得,答:每個車位的月租金上漲元時,停車場的月租金收入為元.19.閱讀以下材料,并按要求完成相應的任務:等腰梯形在第六章,我們按照“定義一性質一判定”的路徑研究了平行四邊形.生活中還有另一種特殊四邊形一等腰梯形,我們可以類比平行四邊形對其進行研究.定義:只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形,其中互相平行的兩邊叫做底,不平行的兩邊叫做腰.兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.如圖1,四邊形是等腰梯形,其中,.性質:從整體對稱性看,等腰梯形是軸對稱圖形:從局部元素特征看,等腰梯形有如下性質:性質1:等腰梯形同一底上的兩個角相等;性質判定:與平行四邊形類似,等腰梯形的性質與判定也具有互逆關系判定.任務:(1)為證明等腰梯形的性質1,小穎的思考如下.請按她的思路選擇一種方法寫出證明過程.已知:如圖2,四邊形是等腰梯形,,.求證:,.證明:方法1:過點作的平行線,交于點,;方法2:過點,作的垂線,垂足分別為,,.(2)①根據(jù)材料中的思路,小穎由等腰梯形的性質1得到關于等腰梯形判定方法的猜想,請你補全該命題:的梯形是等腰梯形.②等腰梯形的判定方法的猜想是真命題,請說明理由.【答案】(1)詳見解析(2)①同一底上的兩個角相等;②理由見解析【解析】【分析】(1)方法1:如圖1,過點A作的平行線,交于點E,證明四邊形是平行四邊形,得到,進而證明,再由平行線性質即可證明;方法2:如圖2,過點作的垂線,垂足分別為證明四邊形是矩形,進而證明,即可得到,再由平行線性質即可證明;(2)結合(1)的方法二,證明,可證得,即可得出結論.【小問1詳解】證明:方法1:如圖1,過點作的平行線,交于點,,,四邊形是平行四邊形,,,,,,,,,;方法2:如圖2,過點,作的垂線,垂足分別為,,,,,四邊形是矩形,,,,,,,,;【小問2詳解】解:同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形,該命題是真命題.理由如下:已知:如圖2,四邊形是梯形,,,.求證:.證明:過點,作的垂線,垂足分別為,,,,,,四邊形是矩形,,,,.故答案為:同一底上的兩個角相等,真.【點睛】本題考查了梯形的性質與判定,平行四邊形的性質與判定,全等三角形的性質與判定,熟練掌握梯形的性質與判定,平行四邊形的性質與判定,全等三角形的性質與判定及合理利用數(shù)形結合思想是解題關
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