2023-2024學(xué)年廣東省深圳實驗學(xué)校高中園高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳實驗學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)第一卷一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“，都有”否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得3.“”是“關(guān)于x的方程有實數(shù)解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，有，則實數(shù)（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或47.以下結(jié)論正確的是（）A.若且，則B.正實數(shù)滿足，則的最小值是C.的最小值是D.函數(shù)的最小值是8.已知定義在上的函數(shù)滿足，其圖象經(jīng)過點，且對任意，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)是（）A. B. C. D.10.下列命題為真命題的是()A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述，正確的是（）A.的定義域為B.的值域為C.在定義域上是增函數(shù)D.的圖象關(guān)于軸對稱12.設(shè)函數(shù)，其中表示中最小者，下列說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.不等式解集為C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，第二卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)，則__________．14.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為__________．15.若正數(shù)、滿足，則的最小值為______.16.設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為_________．四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．19.已知定義域為的奇函數(shù)，且時，.（1）求當(dāng)時，函數(shù)的解析式；（2）求證：在上為增函數(shù).20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)．某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?21.設(shè)函數(shù)（，且）是定義域為的奇函數(shù)，且的圖象過點．（1）求t和a的值；（2）若，求實數(shù)k的取值范圍；22.設(shè)函數(shù)，．（1）對于任意都有成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍；（3）若存在，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍．深圳實驗學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)第一卷一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集、補集運算,即可求解.【詳解】解：，,故選:A2.命題“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.【詳解】命題“，都有”的否定是“，使得”.故選：D.3.“”是“關(guān)于x方程有實數(shù)解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析】解出不等式，然后判斷即可【詳解】因為關(guān)于x方程有實數(shù)解所以，即或所以“”是“關(guān)于x的方程有實數(shù)解”的充分不必要條件故選：A【點睛】本題考查的是充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)，的單調(diào)性比較大小即可【詳解】解：因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以故選：D5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化函數(shù)為分段函數(shù)，再根據(jù)各段函數(shù)式的特點即可判斷作答.【詳解】依題意，原函數(shù)化為：，其定義域為，顯然當(dāng)時，圖象是經(jīng)過點的直線在y軸右側(cè)部分，當(dāng)時，圖象是是經(jīng)過點的直線在y軸左側(cè)部分，根據(jù)一次函數(shù)圖象知，符合條件的只有選項B.故選：B.6.已知函數(shù)，有，則實數(shù)（）A.或4 B.或2 C.2或9 D.2或4【答案】D【解析】【分析】由分段函數(shù)求值運算可得方程，求解即可詳解】，，即，解得或.故選：D7.以下結(jié)論正確的是（）A.若且，則B.正實數(shù)滿足，則的最小值是C.的最小值是D.函數(shù)的最小值是【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式的知識逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故A錯誤；因為，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為，所以的最小值為，故B正確；因為與不能相等，所以的最小值不是，故C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，，故D錯誤故選：B8.已知定義在上的函數(shù)滿足，其圖象經(jīng)過點，且對任意，且，恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可得出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，，由分類討論即可.【詳解】，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，則，且有，對任意，且，恒成立，可設(shè)，則，，即.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可得該函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，即時，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，此時；當(dāng)時，即時，則有，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，此時，綜上所述，不等式的解集為.故選：D.二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義和增函數(shù)的定義逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，所以A不符合題意，對于B，定義域為，因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以B符合題意，對于C，定義域為，因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，因為在上為增函數(shù)，所以C符合題意，對于D，定義域為，因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，因為，所以函數(shù)在不是增函數(shù)，所以D不符合題意，故選：BC10.下列命題為真命題的是()A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐一判斷命題真假即可.【詳解】對于選項A：因為，顯然，由不等式可知，，故A正確；對于選項B：因為，由不等式性質(zhì)可知，，故B正確；對于選項C：因為，由不等式性質(zhì)可知，，故C錯誤；對于選項D：因為，由不等式性質(zhì)可知，，故D錯誤.故選：AB.11.關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述，正確的是（）A.的定義域為B.的值域為C.在定義域上增函數(shù)D.的圖象關(guān)于軸對稱【答案】AB【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再求值域，然后利用函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性定義即可求解.【詳解】對于A中，由，解得即為函數(shù)的定義域，故A正確；對于B中，由定義域可化簡函數(shù)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，故B正確；對于C中，因為，所以函數(shù)不是增函數(shù)，故C錯誤；對于D中，因為定義域關(guān)于原點對稱，且對任意，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故D錯誤，故選：AB.12.設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者，下列說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.不等式的解集為C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】AC【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，易判斷AB，然后分類討論確定、和的表達式，判斷CD．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖實線部分．由圖可知其圖象關(guān)于軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；，再計算得，解集為，B錯；時，即為，即，成立時，即為，即，成立，時，即為，即，成立，時，，，由在上遞增，得成立．C正確；由B選項知時，，成立，時，，，不等式為，，不成立．D錯誤．故選：AC．第二卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】利用換元法求出的解析式，代入數(shù)字即可求解.【詳解】，令，則，，即，.故答案為：.14.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)得，由此即可得解.【詳解】因為是冪函數(shù)，

所以，即，

解得或，

又冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

所以，故，

故答案為：．15.若正數(shù)、滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，進而利用基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因為正數(shù)、滿足，所以，且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為故答案為：16.設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時，由二次函數(shù)性質(zhì)可知無最大值；當(dāng)時，，無最大值；當(dāng)時，分別在兩段區(qū)間內(nèi)求得的取值范圍，根據(jù)有最大值可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，開口方向向上，此時無最大值，不合題意；當(dāng)時，，此時，無最大值，不合題意；當(dāng)時，若，；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；若存在最大值，則，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算下列各式的值．（1）（2）已知求的值．【答案】（1）7；（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運算即可；（2）利用平方關(guān)系求解即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】，等號兩邊同時平方，得，所以.18.已知集合，（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合，由并集定義可得結(jié)果；（2）根據(jù)補集定義和并集結(jié)果得，結(jié)合可知，由此可解得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，；由得：，解得：，則；.【小問2詳解】由（1）知：，；，；由得：，若，則，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.19.已知定義域為的奇函數(shù)，且時，.（1）求當(dāng)時，函數(shù)的解析式；（2）求證：在上為增函數(shù).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，首先求出當(dāng)時，的解析式，然后結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)求的解析式，最后利用奇函數(shù)定義求出即可；(2)結(jié)合已知條件，利用單調(diào)性定義證明即可.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，，①當(dāng)時，則，故，又因為為奇函數(shù)，從而，故；②因為為奇函數(shù)，所以，即，綜上所述，當(dāng)時，.【小問2詳解】不妨設(shè)、，且，，又因為，，，即，所以，即，從而在上為增函數(shù).20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)．某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（1）（2）4千克時，利潤最大480元.【解析】【分析】（1）利用銷售額減去成本投入可得出利潤解析式；（2）利用分段函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式計算最值即可.【小問1詳解】由已知；【小問2詳解】由（1）得，即由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，，由基本不等式可知當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，綜上，當(dāng)時取得最大利潤，最大利潤為480元.21.設(shè)函數(shù)（，且）是定義域為的奇函數(shù)，且的圖象過點．（1）求t和a的值；（2）若，求實數(shù)k的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接利用奇函數(shù)性質(zhì)可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)過點代入求a.(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)單調(diào)性脫去“”，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立求解即可.【小問1詳解】因為函數(shù)（，且）是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，所以，解得，所以，因為函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故滿足題意，又因為的圖象過點，所以，，且，解得或（舍去），綜上t和a的值分別為2，2.【小問2詳解】由（1）可知函數(shù)是奇函數(shù)，所以不等式等價于，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以不等式等價于，即，不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為.22.設(shè)函數(shù)，．（1）對于任意都有成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍；（3）若存在，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件為對于任意恒成立，設(shè)，由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為在區(qū)間上，，結(jié)合二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)最值后即可得解；（3）按照、、討論，由一