各種圓定理總結(jié)包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅勞斯定理圓冪定理和四點(diǎn)共圓

托勒密定理定理圖定理的內(nèi)容托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．定理的提出一般幾何教科書中的“定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。證明(以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。)在任意四邊形ABCD中，作4人8日使/BAE=/CAD/ABE=/ACD因?yàn)椤鰽BEs^ACD所以BE/CD=AB/AC^RBE?AC=AB?CD(1)而/BAC=/DAE,,/ACB=/ADE所以△ABCs^AED相似.BC/ED=AC/AD即ED?AC=BC?AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB?CD+AD?BC又因?yàn)锽E+ED>BD(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號成立，即“托勒密定理”)所以命題得證復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到：(a?b)(c?d)+(a?d)(b?c)=(a?c)(b?d)，兩邊取，運(yùn)用得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一。平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。二、設(shè)ABCD是。在BC上，ZBAC=/BDC,而在AB上，/ADB=/ACB。在AC上取一點(diǎn)K,使得/ABK=/CBD;因?yàn)?ABK+/CBK=/ABC=/CBD+/ABD,所以/CBK=/ABD。因此4ABK與4口8.同理也有4ABD?△KBC。因此AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD;因此AK-BD=AB-CD,且CK-BD=BC?DA;兩式相加，得(AK+CK)?BD=AB-CD+BC?DA;但AK+CK=AC,因此AC?BD=AB-CD+BC?DA。證畢。托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD,求證：AC?BD=AB?CD+AD?BC.證明：如圖1,過C作CP交BD于P,使/1=/2,又/3=/4,.?.△ACDs^BCP.得人^BC=AD：BP，AC?BP=AD?BC①。又/ACB=/DCP,/5=/6,/.△ACBs^dcp.得AC：CD=AB：DP,AC?DP=AB-CD②。①+②得AC(BP+DP尸AB?CD+AD?BC.即AC-BD=AB?CD+AD?BC.推論.任意ABCD,必有AC?BDWAB?CD+AD?BC,當(dāng)且僅當(dāng)ABCD時(shí)取等號。.托勒密定理的同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積,則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積,取等號當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),兩邊取模，得不等式AC?BD<|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB?CD+BC?AD、，、.-、、「注意：.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。.四點(diǎn)不限于同一平面。:在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則AD?BC+AB?CD=AC。BD塞瓦定理簡介塞瓦(GiovanniCeva,1648?1734)意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。具體內(nèi)容塞瓦定理在AABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法簡介(I)本題可利用證明：v△ADC被直線BOE所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①而由AABD被直線COF所截，，(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②十①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1(丑)也可以利用面積關(guān)系證明-/BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD尸S^AOB/S^AOC③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤③X④X⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA尸[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)][(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1,所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)?？捎萌叨ɡ碜C明的其他定理;三角形三條中線交于一點(diǎn)()：如圖5D,E分別為BC,AC中點(diǎn)所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1且因?yàn)锳F=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三條中線交于此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理：在AABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是入=BL/LC、n=CM/MA、v=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是入Nv=1。(注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是如丫=-1)塞瓦定理推論.設(shè)E是AABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F,則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1,(塞瓦定理)所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB尸K(K為未知參數(shù))且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG尸K(K為未知參數(shù))又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：(sin/BAD/sin/DAC)*(sin/ACF/sin/FCB)*(sin/CBE/sin/EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證.如圖，對于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F,直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關(guān)系易證。.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn)設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA )/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。梅涅勞斯定理梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯(Menelaus)定理(簡稱梅氏定理)是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與AABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1O或：設(shè)X、Y、Z分別在4ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA產(chǎn)證明一：過點(diǎn)A作AG//BC交DF的延長線于G,貝UAF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。三式相乘得：(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=(AG/BD)X(BD/DC)X(DC/AG)=1證明二：過點(diǎn)C作CP//DF交AB于P,貝UBD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF所以有AF/FBXBD/DCXCE/EA=AF/FBXFB/PFXPF/AF=1它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在AABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1,則F、D、E。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三：過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC',所以AD:DB=AA':BB',BE:EC=BB':CC',CF:FA=CC':AA'所以^^)X(BD/DC)X(CE/EA)=1證明四:連接bf。(AD:DB)?(BE:EC)?(CF:FA)=(S△ADF:S△BDF)?(S△BEF:S△CEF)?(S△BCF:S△BAF)=(S△ADF:S△BDF)?(S△BDF:S△CDF)?(S△CDF:S△ADF)=1此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶：在AABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是入=BL/LC、n=CM/MA、v=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是如丫=1。第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E,F,D三點(diǎn)共線，則(sin/ACF/sin/FCB)(sin/BAD/sin/DAC)(sin/CBA/sin/ABE)=1即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點(diǎn)O,且EDF共線，則(sin/AOF/sin/FOB)(sin/BOD/sin/DOC)(sin/COA/sin/AOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合)記憶ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn)(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)=1空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1實(shí)際應(yīng)用為了說明問題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明：方案①—-從人經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從日經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。按照這個(gè)方案，可以寫出關(guān)系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有：方案②——可以簡記為：AtB—FtD—EtCtA,由此可寫出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有：方案③AfCfEfDfFfBfA,由此可寫出公式：（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案：方案④——AtEtC-DtBtFtA,由此寫出公式：（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。我們的直升機(jī)還可以選擇在B、c、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。還可以從逆時(shí)針來看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1.現(xiàn)在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧。西姆松定理西姆松定理圖示西姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。西姆松定理說明相關(guān)的結(jié)果有：(1)稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。(2)兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的。(3)若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟口的位置無關(guān)。(4)從一點(diǎn)向的三邊所引垂線的垂足共線的是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。證明證明一：4ABC外接圓上有點(diǎn)P,且PE，AC于E,PF^AB于F,PD^BC于D,分別連DE、DF.易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是/FDP=/ACP①，（二.都是/ABP的補(bǔ)角）KZPDE=ZPCE②而/ACP+/PCE=180°③，/FDP+/PDE=180°④即F、D、E共線.反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④-②—③一①可見A、B、P、C共圓.證明二：如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP,CP,則因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有ZPBN=ZPLN=ZPLM=ZPCM.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則/PBN=/PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有ZPBN=/PLN=/PCM=/PLM.故L、M、N三點(diǎn)共線相關(guān)性質(zhì)的證明連AH延長線交圓于G,連PG交西姆松線與R,BC于Q如圖連其他相關(guān)線段AH±BC,PF±BC==>AG.所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上.…圓冪定理圓冪定理圓冪定理是對、及（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。定義圓冪二PO八2-R八2|所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D,則有PA?PB=PC?PD。統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2,L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA?PB=PC?PD。進(jìn)一步升華（推論）過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2,L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA?PB=PC?PD。若圓半徑為r,則PC?PD=（PO-?（PO+r尸PO八2-J2二|PO八2-J2|（要加絕對值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為J2-PO八2二|PO八2-J2|故平面上任意一點(diǎn)對于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B,那么PA-PB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來）證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論（割線定理）統(tǒng)一歸納為圓冪定理）問題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。證明：連結(jié)AC,BD,由的推論，得/A=/D,ZC=ZBO??.△PACs^PDB,/.PA：PD=PC：PB,pa?PB=PC?PD問題2割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于則有PA?PB=PC?PD,當(dāng)PA=PB,即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PAA2=PC?PD證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC二角CDB,又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)幾何語言：.「PT切。。于點(diǎn)T,PBA是。O的割線「?PT八2=PA?PB（切割線定理）推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等幾何語言：.「PBA、PDC是。O的割線「.PD?PC=PA?PB（切割線定理推論）問題3過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B,證明PA-PB為定值(圓冪定理)。證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為(x-xO)A2+(y-yO)A2=a?過P的直線為x=k11y=k2t則A、B的橫坐標(biāo)是方程(k1t-xO)人2+(k2t-yO)八2=J2即(k1八2+k2八2)J2-2(k1xO+k2yO)t+xO八2+yO八2-J2=0的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理t1t2=(xO八2+yO八2/2)/(k1八2+k2八2)于是PA-PB=V((k1t1)A2+(k2t1)A2)V((k1t2)A2+(k2t2)A2)=（，（k1八2+k2八2））八2|t1||t2|=k1入2+k2八2|（xO八2+yO八2-J2）/（k1八2+k2八2）|二|（xO八2+yO八2-J2）|為定值，證畢。圓①也可以寫成x八2+y八2-2xOx-2yOy+xO八2+yO八2-a=0①'其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心。的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自口向圓所引切線（長）的平方。這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。如果給定點(diǎn)O,未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP八2-J2）,我們可以設(shè)直線AB的方程為是的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與的距離.將②③代人①得

，是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理是定值④是關(guān)于①的冪（當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是）.它也可以寫成④,即與圓心距離的平方減去半徑的平方．當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長的平方。以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用．問題4自圓外一點(diǎn)向圓引割線交圓于、兩點(diǎn)，又作切線、 ，、為切點(diǎn)，與相交于，如圖8.求證、、成調(diào)和數(shù)列，即證：設(shè)圓的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為，的參數(shù)方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為，的參數(shù)方程為其中是的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與的距離．⑥⑦代入⑤得即、是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理另一方面，直線是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論，的方程為⑦⑧代入得因此，這個(gè)方程的根滿足綜合⑧⑨，結(jié)論成立。可以證明，當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。圓冪定理圓冪定理圓冪定理是對、及（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。定義圓冪二PO八2-R八2|所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D,則有PA?PB=PC?PD。統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2,L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA?PB=PC?PD。進(jìn)一步升華（推論）過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2,L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA?PB=PC?PD。若圓半徑為r,則PC?PD=（PO-?（PO+r尸PO八2-J2二|PO八2-J2|（要加絕對值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為J2-PO八2二|PO八2-J2|故平面上任意一點(diǎn)對于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B,那么PA-PB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來）證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論（割線定理）統(tǒng)一歸納為圓冪定理）問題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。證明：連結(jié)AC,BD,由的推論，得/A=/D,ZC=ZBO??.△PACs^PDB,/.PA：PD=PC：PB,pa?PB=PC?PD問題2割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于則有PA?PB=PC?PD,當(dāng)PA=PB,即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PAA2=PC?PD證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC二角CDB,又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)幾何語言：:PT切。。于點(diǎn)T,PBA是。O的割線「?PT八2=PA?PB（切割線定理）推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等幾何語言：.「PBA、PDC是。O的割線???PD?PC=PA?PB（切割線定理推論）問題3過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B,證明PA-PB為定值（圓冪定理）。證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為（x-xO）A2+（y-yO）A2=a?過P的直線為x=k1ty=k2t則A、B的橫坐標(biāo)是方程(k1t-xO)人2+(k2t-yO)八2=J2即（k1八2+k2八2）J2-2（k1xO+k2yO）t+xO八2+yO八2-J2=0的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理t1t2=（xO八2+yO八2/2）/（k1八2+k2八2）于是PA-PB=V（（k1t1）A2+（k2t1）A2）V（（k1t2）A2+（k2t2）A2）=（，（k1八2+k2八2））八2|t1||t2|=k1入2+k2八2|（xO八2+yO八2-J2）/（k1八2+k2八2）|二|（xO八2+yO八2-J2）|為定值，證畢。圓①也可以寫成x八2+y八2-2xOx-2yOy+xO八2+yO八2-a=0①'其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心。的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自口向圓所引切線（長）的平方。這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。如果給定點(diǎn)O,未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP八2-J2）,我們可以設(shè)直線AB的方程為是的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與的距離．將②③代入①得即，是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理是定值④是關(guān)于①的冪（當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是）.它也可以寫成④,即與圓心距離的平方減去半徑的平方．當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長的平方。以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用．問題4自圓外一點(diǎn)向圓引割線交圓于、兩點(diǎn)，又作切線、 ， 、為切點(diǎn)，與相交于，如圖8.求證、、成調(diào)和數(shù)列，即證：設(shè)圓的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為，的參數(shù)方程為其中是的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與的距離．⑥⑦代入⑤得即、是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理另一方面，直線是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論，的方程為⑦⑧代入得因此，這個(gè)方程的根滿足綜合⑧⑨，結(jié)論成立?？梢宰C明，當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圜圖釋如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）同弧所對的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓的基本方法證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)