2024-2025學(xué)年山東省樂陵市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省樂陵市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題(共8小題，每小題5分，總分40分）1．若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．12．已知、是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知半徑為2的圓上有兩點(diǎn)，，，設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．6 B．3 C．1 D．4．要得到的圖象，只需把圖象上所有點(diǎn)的（

）A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變 B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標(biāo)不變 D．縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變5．設(shè)數(shù)列滿足，，，，則滿足的的最大值是（

）A．7 B．9 C．12 D．146．過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（與不重合），則面積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．7．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對任意，滿足，且，則（

）A．651 B．676 C．1226 D．1275二、多選題(共3小題，每小題6分，總分18分）9．若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，直線：，則下列說法正確的有（

）A．的最小值為4B．點(diǎn)到直線和軸的距離之和的最小值為C．點(diǎn)到直線的距離的最小值為1D．過，兩點(diǎn)的直線與拋物線相交的弦長為810．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．的最大值為20C．的外接圓圓心到x軸的距離的最小值為D．直線的斜率之差可能為111．已知點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，則（

）A．曲線的方程為B．點(diǎn)到直線距離的最小值為C．的最小值為D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為三、填空題(共3小題，每小題5分，總分15分）12．經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線l的一般方程是.13．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的最小值為.14．如果直線和曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題(共5個(gè)大題，總分78分）15．（本題13分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（本題15分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的倍，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且為直角三角形，求的面積．17．（本題15分）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊，，交于點(diǎn).(1)求；(2)求.18．（本題17分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．19．（本題17分）已知函數(shù)，滿足，.(1)若為上的增函數(shù)，求的取值范圍.(2)證明：與的圖象關(guān)于一條直線對稱.(3)若，且關(guān)于的方程在內(nèi)有解，求的取值范圍.答案：題號(hào)12345678910答案CBCACBCDBDAC題號(hào)11答案ACD1．C【分析】由復(fù)數(shù)的模長和兩點(diǎn)之間的距離公式把已知等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)求出即可；【詳解】設(shè)，因?yàn)椋瑒t，即點(diǎn)到和的距離之和為4，且大于2，所以點(diǎn)在以和為焦點(diǎn)的橢圓上，且，橢圓方程為，所以的最小值為.故選：C.2．B【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線，所以，“為定值”“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”；若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，則為定值，所以，“為定值”“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”.因此，“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.3．C【分析】確定，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，展開計(jì)算，可得答案.【詳解】由題可得，，，因?yàn)?，，且，所以，解?故選：C.4．A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，再根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換求解即可.【詳解】因?yàn)椋砸玫降膱D象，只需把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變.故選：A.5．C根據(jù)數(shù)列滿足的條件,討論n的奇偶性,即可求得解析式.根據(jù)解析式解絕對值不等式即可求得滿足條件的的最大值.【詳解】數(shù)列滿足,,則則當(dāng)奇數(shù)時(shí),所以,代入可得,解不等式可得而,所以此時(shí)的最大值是9則當(dāng)偶數(shù)時(shí),所以若,代入可得,解不等式可得而,所以此時(shí)的最大值是12綜上可知,的最大值是12故選:C本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求法,對奇偶項(xiàng)分類討論數(shù)列的性質(zhì),絕對值不等式的解法,屬于中檔題.6．B【分析】根據(jù)方程可得定點(diǎn)A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【詳解】動(dòng)直線化為，可知定點(diǎn)，動(dòng)直線化為，令，解得，可知定點(diǎn)，又，所以直線與直線垂直，為交點(diǎn)，.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即面積的最大值為.故選：B.7．C【分析】根據(jù)橢圓的定義，余弦定理，面積相等即可求解．【詳解】如圖，由橢圓定義可知，且，又，利用余弦定理可知：，化簡可得，所以的面積為，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，由正弦定理可得，可得，易知的周長為，利用等面積法可知，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以，離心率.故選：8．D【分析】根據(jù)條件變形得到，再結(jié)合條件求得，再通過賦值求的值.【詳解】由條件，可知，，，以上三個(gè)式子相加得：，又，所以，，，，…，，以上式子相加得，所以.故選：D9．BD【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合思想，可判斷AB選項(xiàng)；利用點(diǎn)到直線的距離公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦的弦長公式，可判斷D．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程.A．如圖，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，則.則有，即的最小值為5，故A錯(cuò).

B．點(diǎn)到軸的距離，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以.易知的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故的最小值為，所以的最小值為，故B正確.

C．設(shè)，則點(diǎn)到直線距離.因此當(dāng)時(shí)，有最小值，故C錯(cuò).D．由題得直線的方程為，設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)Mx1,y由得，所以，∴，故D正確.

故選：BD.10．AC【分析】得用已知橢圓求得，再結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件逐項(xiàng)計(jì)算可判斷結(jié)論.【詳解】由橢圓C：的方程可知，，解得，所以，即，故A正確；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；由的外接圓的圓心在的垂直平分線上，可得圓心在軸上，由，所以為銳角，且在短軸的端點(diǎn)處時(shí)，最大，由外接圓的半徑為可知，越大，半徑越小，此時(shí)外心到x軸的距離最小，設(shè)外心為，取在上頂點(diǎn)時(shí)，所以，解得，故C正確；設(shè)，由，得，所以，不妨取，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率之差不可能為1，故D不正確.故選：AC.方法點(diǎn)睛：根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可求得為定值，進(jìn)而可利用基本不等式判斷直線的斜率之差是否可能為1.11．ACD【分析】根據(jù)條件化簡即可得圓的方程判斷A；根據(jù)圓心到直線的距離及圓的性質(zhì)判斷B；根據(jù)切線及圓的幾何性質(zhì)判斷C；利用,，利用三點(diǎn)共線即可求解D.【詳解】因?yàn)椤?，設(shè)，由，得，化簡得：，故曲線的方程為，故A正確；曲線的圓心，到直線的距離為，可知直線與圓相離，從而圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為，故B錯(cuò)誤；在中，，故C正確；在直線中，令，得，即，設(shè)點(diǎn)，滿足,故，化簡可得，由于在，即，故，，故,因此，，，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，故D正確．故選：ACD．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)，利用待定系數(shù)法求解，進(jìn)而根據(jù)以及三點(diǎn)共線求解.12．或【分析】分截距為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，代入得到直線方程.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故，即；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，即.故或13．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，即可求解.【詳解】由題意，得,所以，，即，故答案.14．【分析】作出的圖象，數(shù)形結(jié)合分析直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，為橢圓的上半部分，當(dāng)時(shí)，為雙曲線的下半部分，又即，過定點(diǎn)2,0，故作出，的圖象，考慮臨界條件，當(dāng)與橢圓上半部分相切時(shí)，有，整理得，則，由圖象解得，當(dāng)與雙曲線的漸近線平行時(shí)也為臨界條件，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：畫含絕對值的函數(shù)圖象，關(guān)鍵是討論絕對值符號(hào)內(nèi)的正負(fù)，去掉絕對值符號(hào)，結(jié)合所學(xué)的橢圓與雙曲線方程，數(shù)形結(jié)合解決直線與圓錐曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.15．(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)條件得到，化簡即可得到所求方程；（2）根據(jù)對稱得到的坐標(biāo)，然后根據(jù)直角分情況討論的面積即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的倍，所以，化簡得，故的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知為直角三角形．①若，此時(shí)，所以，所以的面積．②若，由①同理可得，的面積．③若，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，即此時(shí)不符合題意.綜上，的面積為．16．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)題干條件表示出的關(guān)系，然后根據(jù)該遞推關(guān)系證明為常數(shù)數(shù)列，即可求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，所以，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，且，所以；（2），所以，①②①-②得所以17．(1)；(2).【分析】（1）由銳角三角函數(shù)求出、，又，利用兩角和的余弦公式求出，最后由余弦定理計(jì)算可得；（2）解法1：首先求出，再由，利用面積公式計(jì)算可得；解法2：首先得到，再由計(jì)算可得.【詳解】（1）由已知，，，因?yàn)椋?，所以在中由余弦定理可?（2）解法1：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，即，解?解法2：因?yàn)椋?，又，，所以，又因?yàn)?，所以，則，所以.18．(1)(2)【分析】（1）直線的斜率之積為3，構(gòu)造方程求出，再將點(diǎn)代入方程即可；（2）設(shè)直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，由，所以，結(jié)合韋達(dá)定理，求出，再用點(diǎn)到直線距離計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可得，則直線的斜率，直線的斜率．因?yàn)橹本€的斜率之積為3，所以，解得．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線聯(lián)立整理得則所以．因?yàn)?，所以，所以即化簡得，故．由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到直線的距離．因?yàn)?，所以，所以，即點(diǎn)到直線的距離的最大值是．19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，利用對恒成立，可求的取值范圍；（2）求得的解析式，根據(jù)可得結(jié)論；（3）可得，結(jié)合已知可得在內(nèi)有解，結(jié)合（1）的單調(diào)性可得，構(gòu)造函數(shù)可得的取值范圍.【詳解】（1）由，可得，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以對恒成立，所以對恒成立，所以對恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取