高等數學第七章習題課 歡迎加入湘潭大學期末考試復習資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498

一階微分方程的習題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應用問題解法及應用

第七章歡迎加入湘潭大學期末考試復習資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498班級集體復印復習資料超級便宜??！拒絕高價壟斷?。?！請各班學委/班長先聯系群主哦！一、一階微分方程求解1.一階標準類型方程求解關鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標準類型方程求解變量代換法代換因變量代換某組合式三個標準類型可分離變量方程齊次方程線性方程代換自變量例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解(2)

這是一個齊次方程，令y=ux,化為分離變量方程:方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(伯努利方程)(分離變量方程)原方程化為令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為例3.設F(x)＝f(x)g(x),其中函數f(x),g(x)在(－∞,+∞)內滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表達式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:(2)由一階線性微分方程解的公式得于是練習題:(題3只考慮方法及步驟)P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去

C

得P353題3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分離變量方程:提示:

這是一階線性方程,其中P353題1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)提示:

可化為關于

x

的一階線性方程提示:

為伯努利方程,令提示:可化為伯努利方程令公式提示:

為可降階方程,令原方程化為,即則故原方程通解提示:令二、解微分方程應用問題利用共性建立微分方程,利用個性確定定解條件.關鍵問題是正確建立數學模型,要點:P354題5.

已知某曲線經過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.提示:

設曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線在縱二階微分方程的習題課(二)二、微分方程的應用

解法及應用一、兩類二階微分方程的解法

第七章歡迎加入湘潭大學考試資料群：579654451一、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解2.二階線性微分方程的解法

常系數情形齊次非齊次代數法練習題:P353題2

(2);3(6),(7);

4(2)；

解答提示P353題2(2)

求以為通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P353題3

求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)樘卣鞲?齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項改為提示:原方程通解為特解設法有何變化?P354題4(2)

求解提示:

令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時正負號如何確定?特征根:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設特解:代入方程定A,B,得得處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問題的解:例2.且滿足方程提示:

則問題化為解初值問題:最后求得思考:

設提示:

對積分換元,則有解初值問題:答案:

作業(yè)

P3533(1)(7)

(7);4(2)；