廣東省深圳市南山區(qū)桃源中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（21.1-23.3）數(shù)學(xué)測試題 （解析版）

2022-2023學(xué)年人教版廣東省深圳市南山區(qū)桃源中學(xué)九年級數(shù)學(xué)上冊第一次月考（21.1-23.3）數(shù)學(xué)測試題一、選擇題（每題3分，共36分）1.下列四個(gè)銀行標(biāo)志中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念逐一進(jìn)行判斷即可得.【詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；D、軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱圖形和中心對稱圖形，在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與原圖形重合，那么就說這個(gè)圖形是中心對稱圖形.2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞B點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB'C使得點(diǎn)A恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為（）A.30° B.60° C.90° D.150°【答案】B【解析】【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA′=CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，然后判斷△ACA′為等邊三角形得到∠ACA′=60°，從而得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，∴CA′=CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，∴△ACA′為等邊三角形，∴∠ACA′=60°，即旋轉(zhuǎn)角度為60°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是證明△ACA′為等邊三角形，3.對于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（）A.它的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn) B.方程的兩根之積為C.它的圖像的對稱軸在軸的右側(cè) D.時(shí)，隨的增大而減小【答案】C【解析】【分析】直接利用二次函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與方程之間關(guān)系分別分析得出答案．【詳解】解：A、∵，∴二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、方程，即的兩根之積=，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵的值不能確定，∴它的圖像的對稱軸位置無法確定，該選項(xiàng)結(jié)論錯誤，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，對稱軸，∴時(shí)，隨的增大而減小，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系等知識．正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4.已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的兩個(gè)根，則k的值等于()A.7 B.7或6 C.6或﹣7 D.6【答案】B【解析】【分析】當(dāng)m=4或n=4時(shí)，即x=4，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)m=n時(shí)，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】當(dāng)m=4或n=4時(shí)，即x=4，∴方程為42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；當(dāng)m=n時(shí)，﹣6+k+2=0∵，，，∴，解得：，綜上所述，k的值等于6或7，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根、根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2或方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．5.為了美觀，在加工太陽鏡時(shí)將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于軸對稱，軸，，最低點(diǎn)在軸上，高，，則右輪廓所在拋物線的解析式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用B、D關(guān)于y軸對稱，CH=1cm，BD=2cm可得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），由AB=4cm，最低點(diǎn)C在x軸上，則AB關(guān)于直線CH對稱，可得到左邊拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），于是得到右邊拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），然后設(shè)頂點(diǎn)式利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．【詳解】∵高CH=1cm，BD=2cm，且B、D關(guān)于y軸對稱，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），∵AB∥x軸，AB=4cm，最低點(diǎn)C在x軸上，∴AB關(guān)于直線CH對稱，∴左邊拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），∴右邊拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），設(shè)右邊拋物線的解析式為y=a（x-3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=，∴右邊拋物線的解析式為y=（x-3）2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系與直角坐標(biāo)系中線段對應(yīng)起來，再確定某些點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再利用拋物線的性質(zhì)解決問題．6.若，則的值為（）A.3 B. C.3或 D.或2【答案】A【解析】【分析】先將等式變形為，再由十字相乘法解一元二次方程可得．【詳解】解∶，解得或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，十字相乘法解一元二次方程，整體的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．7.已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值是（）A.﹣3或1 B.3或﹣1 C.3 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算出再代入分式計(jì)算，即可求得．【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得：，,即,解得：或,而當(dāng)時(shí)，原方程，無實(shí)數(shù)根，不符合題意，應(yīng)舍去，∴

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，求得結(jié)果后需進(jìn)行檢驗(yàn)是順利解題的關(guān)鍵．8.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax2+bx與y=bx+a的圖像可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】A、對于直線y=bx+a來說，由圖像可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，對稱軸x=﹣＜0，應(yīng)在y軸的左側(cè)，故不合題意，圖形錯誤．B、對于直線y=bx+a來說，由圖像可以判斷，a＜0，b＜0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖像應(yīng)開口向下，故不合題意，圖形錯誤．C、對于直線y=bx+a來說，由圖像可以判斷，a＜0，b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖像開口向下，對稱軸x=﹣位于y軸的右側(cè)，故符合題意，D、對于直線y=bx+a來說，由圖像可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖像開口向下，a＜0，故不合題意，圖形錯誤．故選：C．9.當(dāng)x=1或﹣3時(shí)，代數(shù)式ax2+bx+c與mx+n的值相等，則函數(shù)y=ax2+(b﹣m)x+c﹣n與x軸的交點(diǎn)為()A.(1，0)和(﹣3，0) B.(﹣1，0) C.(3，0) D.(﹣1，0)和(3，0)【答案】A【解析】【分析】此題屬于二次函數(shù)相關(guān)知識，根據(jù)題意將原代數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，將一元二次方程的根轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的問題即可．【詳解】代數(shù)式ax2+bx+c與mx+n的值相等，即ax2+bx+c=mx+n，則ax2+(b﹣m)x+c﹣n=0，則y=ax2+(b﹣m)x+c﹣n與x軸的交點(diǎn)為(1，0)和(﹣3，0)．故選：A．【點(diǎn)睛】此題根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程解的關(guān)系，考查二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，難度一般．10.如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2），則y與x（0≤x≤8）之間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】①0≤x≤4時(shí)，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣?x?x=﹣x2+8，②4≤x≤8時(shí)，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣?（8﹣x）?（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段開口向下的二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖象符合．故選B．11.二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，圖像過點(diǎn)，對稱軸為直線，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）若點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖像上，則；（5）若方程的兩根為和，且，則．其中正確的結(jié)論有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】B【解析】【分析】①正確，根據(jù)對稱軸公式計(jì)算即可．②錯誤，利用x=-3時(shí)，y<0，即可判斷，③正確．由圖像可知拋物線經(jīng)過(-1，0)和(5，0)列出方程組求出a、b即可判斷．④錯誤，利用函數(shù)圖像即可判斷．⑤正確，利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問題．【詳解】①正確：∵，所以4a+b=0．故①正確．②錯誤：∵x=-3時(shí)，y<0，∴9a-3b+c<0，∴9a+c<3b，故②錯誤．③正確，由圖像可知拋物線經(jīng)過(-1，0)和(5，0)，∴a-b+c=025a+5b+c=0解得b=-4a，c=-5a，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，∵a<0，∴8a+7b+2c>0，故③正確．④錯誤，∵點(diǎn)A(-3，y1)、點(diǎn)B(-，y2)、點(diǎn)C(，y3)∵3.5-2=1.5，2-(-0.5)=2.5，∴1.5<2.5點(diǎn)C離對稱軸的距離近，∴y3>y2，∵a<0，-3<-0.5<2，∴y1<y2∴y1<y2<y3，故④錯誤．⑤正確．∵a<0，∴(x+1)(x-5)=->0，即(x+1)(x-5)>0，故x<-1或x>5，故⑤正確．∴正確的有三個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和x軸交點(diǎn)的問題以及二次函數(shù)與系數(shù)關(guān)系，靈活掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會利用圖像信息解決問題，屬于中考?？碱}型．12.已知二次函數(shù)及一次函數(shù)，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新函數(shù)，當(dāng)直線與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，解方程得，，再利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為，即，然后求出直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的值和當(dāng)直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)的值，從而得到當(dāng)直線與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，，解得，，則，，將該二次函數(shù)在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方的部分圖象的解析式為，即，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，方程有相等的實(shí)數(shù)解，解得，所以當(dāng)直線與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸交點(diǎn)：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．二、填空題（每個(gè)小題4分，共16分）13.關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨取x的增大而增大，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________．【答案】##【解析】【分析】關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨取x的增大而增大，則，即可求解．【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為直線，∵當(dāng)時(shí)，y隨取x的增大而增大，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和增減性是解題的關(guān)鍵．14.已知是方程的兩根，則=_____________．【答案】【解析】【分析】先由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的解可得可得再整體代入求值即可．【詳解】解：∵是方程的兩根，∴∴∴∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的含義，掌握“利用解的含義與根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)建整體代入”是解本題的關(guān)鍵．15.二次函數(shù)在上有最小值，則的值為_________．?dāng)U展：已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），在自變量的值滿足的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值的最小值為，則的值為_______________．【答案】①.或②.或【解析】【分析】（1）：分三種情況考慮：對稱軸在的左邊，對稱軸在到的之間，對稱軸在的右邊，當(dāng)對稱軸在的左邊和對稱軸在的右邊時(shí)，可根據(jù)二次函數(shù)的增減性來判斷函數(shù)取最小值時(shí)的值，然后把此時(shí)的的值與代入二次函數(shù)解析式即可求出的值；當(dāng)對稱軸在到的之間時(shí)，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，令頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于，列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的值；（2）：由解析式可知該函數(shù)在時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，根據(jù)時(shí)，函數(shù)值的最小值為，可分如下三種情況：①若時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值；②若時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，與題意不符；③若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，分別列出關(guān)于的方程求解即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)的對稱軸為，分三種情況：當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，把代入中，得：，解得：；當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，把代入中，得：，解得：，舍去；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，解得：或（舍去）．綜上所述，的值為或．故答案為：或．（2）∵二次函數(shù)（h為常數(shù)），∴該函數(shù)在時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，①若時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，可得：，解得：或（舍去）；②若時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，與題意不符；③若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，可得：，解得：或（舍去）．綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)最值的求法，一元二次方程等知識點(diǎn)．求二次函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意頂點(diǎn)能否取到．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．16.如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時(shí)AC′的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E．若AB＝3，則△AEC的面積為_____．【答案】【解析】【分析】先求出∠ACD=30°，進(jìn)而可算出CE、AD，再算出△AEC的面積．【詳解】如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=AC'，∵D為AC'的中點(diǎn)，∴AD=，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD=30°，∵AB∥CD，∴∠CAB=30°，∴∠C'AB'=∠CAB=30°，∴∠EAC=30°，∴AE=EC，∴DE=，∴CE=，DE=，AD=，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形中30度角的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算等知識點(diǎn)，難度不大．清楚旋轉(zhuǎn)的“不變”特性是解答的關(guān)鍵．三、解答題17.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?）（2）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求解．（2）先把化成，再利用因式分解法求解．【小問1詳解】解：，∴，即，∴，．【小問2詳解】，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查選用適當(dāng)方法解一元二次方程．當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為后方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為的式子的特點(diǎn)解出方程的根．當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．熟練掌握并運(yùn)用一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．18.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的值．【答案】（1）-2；（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)判別式即可求出m的取值范圍，進(jìn)而得到答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，解得，∴m的最小整數(shù)值為；（2）根據(jù)題意得，∵，∴，∴，整理得，解得，∵，∴m的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握相關(guān)公式是解決本題的關(guān)鍵．19.如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，可得到△CQB．（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離；

（2）求∠APB的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】解：（1）連接PQ，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)有：，，，，即，是正三角形，，，是正三角形，；（2）在中，，，，，．20.超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每增加2元，每天銷售量會減少1件，設(shè)銷售單價(jià)增加x元，每天售出y件．（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍．（2）當(dāng)x為多少時(shí)，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元？（3）設(shè)超市每天銷售這種玩具可獲利w元，當(dāng)x為多少時(shí)w最大，最大值是多少？【答案】（1）（2）10（3）當(dāng)x為20時(shí)w最大，最大值是2400元【解析】【分析】（1）根據(jù)“利潤為40元每天可售出50件，銷售單價(jià)每增加2元，每天銷售量會減少1件”列函數(shù)關(guān)系式；再根據(jù)該玩具每件利潤不能超過60元，得出x的取值范圍；（2）根據(jù)利潤為2250元列出一元二次方程，解方程舍去不合題意的解即可；（3）根據(jù)每天的利潤＝每件的利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)最值．【小問1詳解】解：由題意得，，∵該玩具每件利潤不能超過60元，∴，解得：，∴，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：；【小問2詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，，∵，∴，答：當(dāng)x為10時(shí)，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元；【小問3詳解】解：根據(jù)題意得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，w取最大值，最大值為，答：當(dāng)x為20時(shí)w最大，最大值是2400元．【點(diǎn)睛】本題考查了列一次函數(shù)關(guān)系式，一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題目中包含的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21.一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖1），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖2），（1）求拋物線的解析式．求支柱EF的長度．（2）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計(jì)）？請說明你的理由．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式，支柱EF的長度是5.5米（2）一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車，利用見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題目可知A，B，C坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．再把代入拋物線的解析式求解可求出支柱MN的長度．（2）設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題目條件A，B，C的坐標(biāo)分別是（-10，0），（10，0），（0，6），設(shè)拋物線的解析式為，將B，C的坐標(biāo)代入，得解得所以拋物線的表達(dá)式．當(dāng)時(shí)，從而支柱EF的長度是10-4.5=5.5米．【小問2詳解】如圖，設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和，則G點(diǎn)坐標(biāo)是（7，0）．過G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H，則．根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求拋物線的解析式、點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題是解本題的關(guān)鍵．22.如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4（3）D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）【解析】【分析】（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．（2）求得線段MN的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值．（3）明確D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如圖2所示，不要遺漏．其中D1、D2在y軸上，利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；D3點(diǎn)在第一象限，是直線D1N和D2M的交點(diǎn)，利用直線解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）．將x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；將x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．∴拋物線解析式為：y=﹣x2+x+2．（2）如圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E，則E（t，0），BE=4﹣t．∵，∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又∵N點(diǎn)在拋物線上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2．∴．∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4．（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．如圖2，以A、M、N、D為頂點(diǎn)