第一章《相似三角形》鞏固復(fù)習(xí)練習(xí)2023學(xué)年青島版九年級數(shù)學(xué)上冊

青島版九年級數(shù)學(xué)第一章《相似三角形》鞏固復(fù)習(xí)一、選擇題若兩個相似多邊形的面積之比為4：9，則這兩個多邊形的周長之比為(????)A.2：3 B.2：3 C.4：9 D.16：81如圖，在矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，將△ABE沿AE折疊，使B點落在AD上的F點處，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD等于

(

)A.5?12

B.5+12

C.如圖，點E是?ABCD的邊AD上的一點，且DEAE=12，連接BE并延長交CD的延長線于點F，若DE=3，DF=4，則?ABCD的周長為A.21

B.28

C.34

D.42如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=15，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，若BG=8，則△CEF的周長為(????)A.16

B.17

C.24

D.25如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點，E是BC延長線上一點，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點N.則4個結(jié)論：①DE=DF；②∠CME=∠CDE；③DG2=GN?GE；④若BF=2，則MC=2A.4 B.3 C.2 D.1如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，則下列結(jié)論一定正確的是(????)A.AB2=BC?BD

B.AB如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(2,4)，過點A作AB⊥x軸于點B.將△AOB以坐標(biāo)原點O為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD，則CD的長度是(????)A.1

B.2

C.25

D.以原點O為位似中心，把△ABO縮小為原來的12后得到△A'B'O，若B點坐標(biāo)為(4,?6)，則B'的坐標(biāo)為(????)A.(2,?3) B.(?2,3) C.(2,?3)或(?2,3) D.(2,?3)或(?2,?3)二、填空題如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AF平分∠BAC，交DE于點G，交BC于點F.若∠AED=∠B，且AG：GF=3：2，則DE：BC=______．

已知△ABC與△DEF相似，如果△ABC三邊分別長為5，7，8，△DEF的最長邊與最短邊的差為6，那么△DEF的周長是______．如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AD<BC，∠ABC=90°，且AB=3，點E是邊AB上的動點，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，則AE=______．

如圖，△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，點P從A出發(fā)，以每秒1厘米的速度向B運動，點Q從C同時出發(fā)，以每秒2厘米的速度向A運動．其中一個動點到達端點時，另一個也相應(yīng)停止運動．那么，當(dāng)以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間是______．三、解答題（本大題共6小題，共48.0分）已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF//AB，延長BP交AC于E，交CF于F、求證：BP2=PE?PF．

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，連接CE，F(xiàn)為線段CE上一點，且∠DFE=∠A．

(1)求證：△DFC∽△CBE；

(2)若AD=4，CD=6，DE=3，求DF的長．

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分∠ABC.BE分別與AC，CD相交于點E，F(xiàn)．

(1)求證：△AEB∽△CFB；

(2)求證：AECE=ABCB；

(3)若CE=5，EF=25，BD=6.求AD的長．

【問題探究】

(1)如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．

①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：______；

②若AC=BC=10，DC=CE=2，則線段AD的長為______；

【拓展延伸】

(2)如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1.將△DCE繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α(0°≤α<360°)，作直線BD，連接AD，當(dāng)點B，D，E

如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF經(jīng)過O，分別交AB、CD于點E、F，EF的延長線交CB的延長線于M．

(1)求證：OE=OF；

(2)若AD=4，AB=6，BM=1，求BE的長．

如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE=AD.EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF=AB．

(1)求證：BD⊥EC；

(2)若AB=1，求AE的長；

(3)如圖2，連接AG，求證：EG?DG=2AG．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵兩個相似多邊形的面積之比為4：9，

∴兩個相似多邊形的對應(yīng)邊的比為2：3，

∴兩個相似多邊形的周長的比為2：3，

故選：B．

利用相似多邊形的性質(zhì)解決問題即可．

本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

2.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了折疊，矩形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)等知識，可設(shè)AD=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．

【解答】

解：∵沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，

∴四邊形ABEF是正方形，

∵AB=1，

設(shè)AD=x，則FD=x?1，F(xiàn)E=1，

∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

∴EFFD=ADAB，

1x?1=x1，

解得x1=1+523.【答案】C

【解析】【分析】

此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB//CD，再由平行線得相似三角形，根據(jù)相似三角形求得AB，AE，進而根據(jù)平行四邊形的周長公式求得結(jié)果．

【解答】

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CF，AB=CD，

∴△ABE∽△DFE，

∴DEAE=FDAB=12，

∵DE=3，DF=4，

∴AE=6，AB=8，

∴AD=AE+DE=6+3=9，

∴平行四邊形ABCD4.【答案】A

【解析】【分析】

本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形和勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，相似三角形的周長比等于相似比，難度較大．

先計算出△ABE的周長，然后根據(jù)相似比的知識進行解答即可．

【解答】

解：∵在?ABCD中，CD=AB=10，BC=AD=15，∠BAD的平分線交BC于點E，

∴AB//DC，∠BAF=∠DAF，

∴∠BAF=∠F，

∴∠DAF=∠F，

∴DF=AD=15，

同理BE=AB=10，

∴CF=DF?CD=15?10=5；

∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=10，BG=8，可得：AG=6，

∴AE=2AG=12，

∴△ABE的周長等于10+10+12=32，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴△CEF∽△BEA，相似比為5：10=1：2，

∴△CEF的周長為16．

故選：A．

5.【答案】A

【解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，

在△ADF和△CDE中，AD=AD∠A=∠DCE=90°AF=EC，

∴△ADF≌△CDE(SAS)，

∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，故①正確；

∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，

∴∠DEF=45°，

連接BM、DM．

∵M是EF的中點，

∴MD=12EF，BM=12EF，

∴MD=MB，

在△DCM與△BCM中，DM=MBBC=CDCM=CM，

∴△DCM≌△BCM(SSS)，

∴∠BCM=∠DCM=12∠BCD=45°，

∴∠MCN=∠DEN=45°，

∵∠CNM=∠END，

∴∠CME=∠CDE，故②正確；

∵∠GDN=∠DEG=45°，∠DGN=∠EGD，

∴△DGN∽△EGD，

∴DGGE=GNDG，

∴DG2=GN?GE；故③正確；

過點M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，

∵M是EF的中點，BF⊥BC，MH⊥BC，

∴MH是△BEF的中位線，

∴MH=12BF=1，

∴CM=2MH=2故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．

故選：A．

正根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADF=∠CDE，DE=DF，故①正確；推出∠DEF=45°，連接BM、DM.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=MB6.【答案】A

【解析】解：∵△ABC∽△DBA，

∴BDAB=ABBC=ADAC；

∴AB2=BC?7.【答案】B

【解析】【分析】此題主要考查了位似變換以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

直接利用位似圖形的性質(zhì)以及結(jié)合A點坐標(biāo)直接得出點C的坐標(biāo)，即可得出答案．

【解答】解：∵點A(2,4)，過點A作AB⊥x軸于點B.將△AOB以坐標(biāo)原點O為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD，

∴C(1,2)，則CD的長度是：2．

故選B．8.【答案】C

【解析】解：以原點O為位似中心，把△ABO縮小為原來的12后得到△A'B'O，

∵B點坐標(biāo)為(4,?6)，

∴B'的坐標(biāo)為(4×12,?6×12)或(?4×12,6×12)，即(2,?3)或(?2,3)，

故選：9.【答案】3：5

【解析】解：∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∵GA，F(xiàn)A分別是△ADE，△ABC的角平分線，

∴DEBC=AGAF(相似三角形的對應(yīng)角平分線的比等于相似比)，

AG：FG=3：2，

∴AG：AF=3：5，

∴DE：BC=3：5，

故答為3：510.【答案】40

【解析】解：設(shè)△DEF的最長邊為x，最短邊為y，依題意，則有：

x:y=8:5x?y=6，解得：x=16，y=10；

∴△ABC和△DEF的相似比為1：2，周長比也是1：2；

∵△ABC的周長=5+7+8=20，

∴△DEF的周長為40．

根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例可得出△DEF的最長邊與最短邊的比例關(guān)系，進而可求出這兩邊的長，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求出△DEF的周長．

此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)線段成比例，周長比等于相似比．11.【答案】32或1【解析】【分析】

本題考查了直角三角形相似的性質(zhì)和判定，當(dāng)兩個直角三角形相似時，要分情況進行討論；正確畫圖是關(guān)鍵，注意不要丟解。

分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長。

【解答】

解：分兩種情況：

①當(dāng)∠CED=90°時，如圖1，

過E作EF⊥CD于F，

∵AD//BC，AD<BC，

∴AB與CD不平行，

∴當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∠BEC=∠CDE=∠ADE，

∵∠A=∠B=∠CED=90°，

∴∠BCE=∠DCE，

∴AE=EF，EF=BE，

∴AE=BE=12AB=32，

②當(dāng)∠CDE=90°時，如圖2，

∵當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∠CEB=∠CED=∠AED=60°，

∴∠BCE=∠DCE=30°，

∵∠A=∠B=90°，

∴BE=ED=2AE，

∵AB=3，

∴3AE=3，

∴AE=1，

綜上，AE的值為32或1．

故答案為312.【答案】4或325【解析】解：∵點P從A出發(fā)，以每秒1厘米的速度向B運動，點Q從C同時出發(fā)，以每秒2厘米的速度向A運動．

∴AP=t，CQ=2t，AQ=16?2t，

∵∠BAC=∠PAQ，且以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，

∴APAC=AQAB或APAB=AQAC，

∴t8=16?2t16或t13.【答案】證明：連接PC，

∵AB=AC，AD是中線，

∴AD是△ABC的對稱軸．

∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．

∵CF//AB，∴∠PFC=∠ABP(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，

∴∠PCE=∠PFC．

又∵∠CPE=∠EPC，

∴△EPC∽△CPF．

∴PCPE=PFPC(相似三角形的對應(yīng)邊成比例)．

∴PC【解析】要證線段乘積式相等，常常先證比例式成立，要證比例式，須有三角形相似，要證三角形相似，須根據(jù)已知與圖形找條件就可．

證明線段乘積式相等，常常先證比例式成立這是十分重要的方法之一，本題主要考查的是相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．

14.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD//BC，CD//AB，

∴∠A+∠B=180°，∠DCE=∠BEC，

∵∠DFE=∠A，

∴∠DFE+∠B=180°，

而∠DFE+∠DFC=180°，

∴∠DFC=∠B，

而∠DCF=∠CEB，

∴△DFC∽△CBE；

(2)解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴CD//AB，BC=AD=4，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥DC，

∴∠EDC=90°，

在Rt△DEC中，CE=DE2+DC2=32+62=35，

∵△DFC∽△CBE，

∴DF：【解析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC，CD//AB，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠B=180°，∠DCE=∠BEC，再證明∠DFC=∠B，則可判斷△DFC∽△CBE；

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=4，利用平行線的性質(zhì)得DE⊥DC，則利用勾股定理可計算出CE=35，然后利用相似比求出DF的長．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也考查了平行四邊形的性質(zhì)．15.【答案】(1)證明：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD為AB邊上的高，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠A=∠BCD，

∵BE是∠ABC的平分線，

∴∠ABE=∠CBE，

∴△AEB∽△CFB．

(2)證明：∵∠ABE=∠CBE，∠A=∠BCD，

∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE，

∵∠CEF=∠A+∠ABE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

∵△AEB∽△CFB，

∴AECF=ABCB，

∴AECE=ABCB．

(3)解：如圖，作CH⊥EF于H．

∵CE=CF，CH⊥EF，

∴EH=FH=5，

∴CH=EC2?EH2=52?(5)2=25，

∵∠BFD=∠CFH,∠CHF=∠BDF=90°，

∴△BFD∽△CFH，

∴DFHF【解析】(1)根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可判斷．

(2)首先證明CE=CF，利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

(3)解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性質(zhì)求出DF，AD即可．

本題考查相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

16.【答案】(1)①AD⊥BD?②

4

(2)若點D在BC右側(cè)，

如圖，過點C作CF⊥AD于點F，

∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1．

∴∠ACD=∠BCE，ACBC=3=CDCE

∴△ACD∽△BCE

∴∠ADC=∠BEC，

∵CD=3，CE=1

∴DE=DC2+CE2=2

∵∠ADC=∠BEC，∠DCE=∠CFD=90°

∴△DCE∽△CFD，

∴DEDC=DCCF=CEDF

即23=3CF=1DF

∴CF=32，DF=32

∴AF=AC2?CF2=532

∴AD=DF+AF=33

若點D在BC左側(cè)，

∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=【解析】解：【問題探究】

(1)∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴∠ADC=∠BEC=45°

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°

∴AD⊥BD

故答案為：AD⊥BD

②如圖，過點C作CF⊥AD于點F，

∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=2

∴DF=CF=1

∴AF=AC2?CF2=3

∴AD=AF+DF=4

故答案為：4

【拓展延伸】

(2)見答案

【問題探究】

(1)①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；

②過點C作CF⊥AD于點F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長，即可求AD的長；

17.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，AB//CD，BC=AD，

∴∠OAE=∠OVF，

在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴OE=OF；

(2)解：過點O作ON//BC交AB于N，

則△AON∽△ACB，

∵OA=OC，

∴ON=12BC=2，BN=12AB=3，

∵ON