2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第9章平面解析幾何第4講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析北師大版

PAGE1-第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)學(xué)問整合1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δeq\x(\s\up1(01))<0Δeq\x(\s\up1(02))＝0Δeq\x(\s\up1(03))>0幾何觀點(diǎn)deq\x(\s\up1(04))>rdeq\x(\s\up1(05))＝rdeq\x(\s\up1(06))<r2．圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2半徑r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系eq\x(\s\up1(07))d>r1＋r2eq\x(\s\up1(08))d＝r1＋r2eq\x(\s\up1(09))|r1－r2|<d<r1＋r2eq\x(\s\up1(10))d＝|r1－r2|eq\x(\s\up1(11))d<|r1－r2|1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)當(dāng)直線與圓相交時(shí)，由弦心距(圓心到直線的距離)，弦長(zhǎng)的一半及半徑長(zhǎng)所表示的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形．(2)弦長(zhǎng)公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).3．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)兩圓相交時(shí)公共弦的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(3)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以留意檢驗(yàn)C2是否滿意題意，以防丟解)．1．過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0截得的弦長(zhǎng)為()A．eq\r(3) B．2C．eq\r(6) D．2eq\r(3)答案D解析直線方程為y＝eq\r(3)x，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝4，則圓心(0,2)到直線的距離d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,2)＝1，所以所求弦長(zhǎng)為2×eq\r(22－12)＝2eq\r(3).2．圓Q：x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0答案D解析∵P(1，eq\r(3))在圓Q：x2＋y2－4x＝0上，∴切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.3．(2024·溫州十校聯(lián)考)對(duì)隨意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx－1與圓C：x2＋y2－2x－2＝0的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能答案C解析直線y＝kx－1恒經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1,0)，半徑為eq\r(3)，而|AC|＝eq\r(2)<eq\r(3)，點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交．故選C．4．(2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)模擬)圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圓C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置關(guān)系是()A．相離 B．相交C．內(nèi)切 D．外切答案B解析易得圓C1的圓心為C1(－2,2)，半徑r1＝2，圓C2的圓心為C2(2,5)，半徑r2＝4，圓心距|C1C2|＝eq\r([2－－2]2＋5－22)＝5<2＋4＝r1＋r2，又|C1C2|>4－2，所以兩圓相交．5．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直線方程為________．答案x－y＋2＝0解析將兩圓方程相減，得4x－4y＋12＝4，即x－y＋2＝0.6．若P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是________．答案x－y－3＝0解析∵C(1,0)，∴直線CP的斜率為－1，即直線AB的斜率為1，∴直線AB的方程為y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.核心考向突破考向一直線與圓的位置關(guān)系例1(1)(2024·安徽黃山模擬)若曲線x2＋y2－6x＝0(y>0)與直線y＝k(x＋2)有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))答案C解析∵x2＋y2－6x＝0(y>0)可化為(x－3)2＋y2＝9(y>0)，∴曲線表示圓心為(3,0)，半徑為3的上半圓(不包括圓與x軸的交點(diǎn))，它與直線y＝k(x＋2)有公共點(diǎn)的充要條件是圓心(3,0)到直線y＝k(x＋2)的距離d≤3，且k>0，∴eq\f(|3k－0＋2k|,\r(k2＋1))≤3，且k>0，解得0<k≤eq\f(3,4).故選C．(2)(2024·深圳模擬)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定答案B解析因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，故直線ax＋by＝1與圓O相交．故選B．推斷直線與圓的位置關(guān)系常見的兩種方法(1)代數(shù)法：eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0?相交，,＝0?相切，,<0?相離.))(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r?相交，d＝r?相切，d>r?相離．[即時(shí)訓(xùn)練]1.(2024·福建漳州八校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點(diǎn)，直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l與圓相交 B．m⊥l，且l與圓相切C．m∥l，且l與圓相離 D．m⊥l，且l與圓相離答案C解析∵點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)在圓內(nèi)，∴a2＋b2<r2.因圓x2＋y2＝r2的圓心為O(0,0)，故由題意得OP⊥m，又kOP＝eq\f(b,a)，∴km＝－eq\f(a,b)，∵直線l的斜率為kl＝－eq\f(a,b)＝km，圓心O到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>eq\f(r2,r)＝r，∴m∥l，l與圓相離．故選C．2．(2024·陜西渭南模擬)已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿意直線ax＋by＋2c＝0與圓x2＋y2＝4相離，則△ABCA．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上狀況都有可能答案C解析由已知得圓心(0,0)到直線ax＋by＋2c＝0的距離d＝eq\f(|2c|,\r(a2＋b2))>2，所以c2>a2＋b2，在△ABC中，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C為鈍角，故△ABC為鈍角三角形．精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向二直線與圓的綜合問題角度1圓的切線問題例2已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．解由題意，得圓心C(1,2)，半徑r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切線的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1，∴過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y－(2－eq\r(2))＝1×[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點(diǎn)M在圓C外部，當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時(shí)滿意題意，所以直線x－3＝0是圓的切線．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離為d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，∴過點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.[即時(shí)訓(xùn)練]3.(2024·安徽江南十校其次次聯(lián)考)已知兩個(gè)定點(diǎn)A(－1,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B距離的2倍．(1)求P點(diǎn)的軌跡E；(2)若過點(diǎn)C(1,1)作軌跡E的切線，求此切線的方程．解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則|PA|＝2|PB|，坐標(biāo)代入得eq\r(x＋12＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，化簡(jiǎn)得(x－3)2＋y2＝4，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以(3,0)為圓心，以2為半徑的圓．(2)當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)l：y－1＝k(x－1)是圓E的切線，則有eq\f(|2k＋1|,\r(k2＋1))＝2?k＝eq\f(3,4)；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，l：x＝1恰好與圓E切于點(diǎn)(1,0)．綜上，得切線方程為x＝1或3x－4y＋1＝0.角度2圓的弦長(zhǎng)問題例3(1)過點(diǎn)(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案B解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圓心(－1,2)到直線l的距離d＝3.當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝－4時(shí)，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.則有eq\f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，∴k＝－eq\f(5,12).此時(shí)直線l的方程為5x＋12y＋20＝0.綜上，直線l的方程為5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(2)已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.答案4解析由題意可知直線l過定點(diǎn)(－3，eq\r(3))，該定點(diǎn)在圓x2＋y2＝12上，不妨設(shè)點(diǎn)A(－3，eq\r(3))，由于|AB|＝2eq\r(3)，r＝2eq\r(3)，所以圓心到直線AB的距離為d＝eq\r(2\r(3)2－\r(3)2)＝3，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線l的斜率k＝－m＝eq\f(\r(3),3)，即直線l的傾斜角為30°.如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H，所以|CH|＝2eq\r(3)，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法(1)幾何法：直線被圓截得的半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，且r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＋d2.(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長(zhǎng)|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)(k≠0)．[即時(shí)訓(xùn)練]4.(2024·天津南開中學(xué)模擬)若3a2＋3b2－4c2＝0，則直線ax＋by＋c＝0被圓O：x2＋yA．eq\f(2,3) B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)答案B解析因?yàn)閍2＋b2＝eq\f(4,3)c2，所以圓心O(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)<1，所以直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(12－d2)＝2×eq\f(1,2)＝1，故選B．5．(2024·湖南株洲二模)設(shè)直線l：3x＋4y＋a＝0與圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則a的值是________．答案10或－30解析由垂徑定理，得d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝eq\r(52－32)＝4，所以圓心到直線的距離為4，得eq\f(|6＋4＋a|,\r(32＋42))＝4，解得a＝10或a＝－30.考向三兩圓的位置關(guān)系例4(1)(2024·河北衡水模擬)圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4與圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切線的條數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析圓C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心為(－1,2)，半徑為2，圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圓心為(3,2)，半徑為2，兩圓的圓心距|C1C2|＝eq\r(－1－32＋2－22)＝4＝2＋2，即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，故兩圓相外切，故公切線的條數(shù)為3.故選C．(2)(2024·河南新鄉(xiāng)二模)若圓C：x2＋(y－4)2＝18與圓D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦長(zhǎng)為6eq\r(2)，則圓D的半徑為()A．5 B．2eq\r(5)C．2eq\r(6) D．2eq\r(7)答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－42＝18，,x－12＋y－12＝R2，))得2x－6y＝4－R2，因?yàn)楣蚕议L(zhǎng)為6eq\r(2)，所以直線2x－6y＝4－R2經(jīng)過圓C的圓心(0,4)，即2×0－6×4＝4－R2，則R2＝28，所以圓D的半徑為2eq\r(7).故選D．(1)推斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的肯定值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法．(2)兩圓公共弦長(zhǎng)的求法先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．[即時(shí)訓(xùn)練]6.(2024·重慶模擬)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線相互垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是()A．3 B．4C．2eq\r(3) D．8答案B解析由題意知O1(0,0)與O2(－m,0)，依據(jù)圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，可得eq\r(5)<|m|<3eq\r(5).再依據(jù)題意可得O1A⊥AO2，∴m2＝5＋20＝25，∴m＝±5，∴eq\f(|AB|,2)×5＝2eq\r(5)×eq\r(5)，解得|AB|＝4.故選B．7．(2024·江蘇鎮(zhèn)江聯(lián)考)已知圓C與圓x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原點(diǎn)，且過點(diǎn)A(0，－6)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案(x＋3)2＋(y＋3)2＝18解析設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圓心為C(a，b)，半徑為r(r>0)．∵x2＋y2＋10x＋10y＝0可化簡(jiǎn)為(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，∴其圓心為(－5，－5)，半徑為5eq\r(2).∵兩圓相切于原點(diǎn)O，且圓C過點(diǎn)(0，－6)，點(diǎn)(0，－6)在圓(x＋5)2＋(y＋5)2＝50內(nèi)，∴兩圓內(nèi)切，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,\r(a＋52＋b＋52)＝5\r(2)－r，,0－a2＋－6－b2＝r2，))解得a＝－3，b＝－3，r＝3eq\r(2)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.(2024·江西聯(lián)考)當(dāng)曲線y＝eq\r(4－x2)與直線kx－y－2k＋4＝0有兩個(gè)相異的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B.(eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]C.(eq\f(3,4)，1 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))答案C解析整理y＝eq\r(4－x2)，得x2＋y2＝4(y≥0)，所以