《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學(xué)設(shè)計二

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學(xué)設(shè)計二教學(xué)設(shè)計一、情境引入出示天安門廣場上五星紅旗的照片，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情.引導(dǎo)學(xué)生思考：如果要在本校操場上豎立一面新的旗桿，將旗桿抽象成一條直線，地面抽象成一個平面，怎樣檢驗旗桿與地面是不是垂直的？并點出這個問題就是“如何判定直線與平面垂直”的問題，也就是今天要研究的課題.設(shè)計意圖：借助觀察生活中的數(shù)學(xué)問題引出課題，自然生動，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活.觀察圖片，將圖片中的實物抽象為幾何圖形，直觀感知直線與平面的垂直.同時，也激發(fā)學(xué)生的愛國熱情.2.復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)過的空間中點、直線、平面的位置關(guān)系中的直線與平面平行的探究過程，類比出研究直線與平面垂直的探究思路.直線和平面有幾種位置關(guān)系？已經(jīng)掌握了直線和平面平行的哪些內(nèi)容？怎樣研究“直線與平面垂直”呢？應(yīng)該研究關(guān)于“直線與平面垂直”的什么內(nèi)容？設(shè)計意圖：啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生類比探究線面平行的研究過程，明確按照“定義—判定定理—有關(guān)結(jié)論—性質(zhì)定理”的研究程序，強化空間位置關(guān)系的常用研究策略——降維化歸.二、探索新知從路由器模型中判斷哪些直線與平面垂直，哪些不垂直，找出直觀感受的結(jié)論，“在平面內(nèi)找出一條直線和已知直線不垂直，則線面不垂直”，即“已知直線與所有直線都垂直才可以達(dá)到線面垂直的目的”“所有直線”不能換為“無數(shù)條直線”，歸納出直線與平面垂直的準(zhǔn)確定義.1.定義：如果直線a與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面垂直，記作，直線a叫作平面的垂線，平面叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足.記法：a垂直于內(nèi)的任意一條直線.畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直（如圖）.設(shè)計意圖：借助模型的演示過程構(gòu)建直線與平面垂直的定義，可以幫助學(xué)生建立對定義的直觀感受，既真實又有效.并引導(dǎo)學(xué)生用“正難則反”的思想來思考問題，進步概括直線與平面垂直的定義.【師生活動】學(xué)生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同義詞，“任意一條直線”不能用“無數(shù)條直線”代替.定義是說這條直線和平面內(nèi)所有的直線垂直.引導(dǎo)學(xué)生主動思考辨析，利用現(xiàn)有工具擺出反例模型，提高學(xué)生的動手能力，同時給出線面垂直的記法與畫法.2.定義應(yīng)用.小實驗：拿一塊教學(xué)用的直角三角板，驗證旗桿與地面的垂直.學(xué)生設(shè)計：如圖，三角板的直角頂點C與旗桿底端重合，直角邊BC所在直線與旗桿所在直線重合，將三角板繞BC轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，直角邊AC與地面緊貼.教師動畫展示.問題1：在轉(zhuǎn)動前，BC邊與AC邊是什么位置關(guān)系？問題2：在轉(zhuǎn)動過程中，AC邊一直在移動，BC邊與AC邊是什么位置關(guān)系？問題3：BC邊與地面任意一條不過C點的直線又是什么位置關(guān)系？（教師用幾何畫板證明）設(shè)計意圖：通過實驗，讓學(xué)生應(yīng)用直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直觀能力.同時，再次加深對定義的理解：如果要得到一條直線與一個平面垂直，需要證明直線與平面內(nèi)所有直線垂直.讓學(xué)生感受到定義的煩瑣，為尋找判定定理埋下伏筆.【師生活動】在驗證過程中，學(xué)生會出現(xiàn)驗證“BC與平面內(nèi)過點C的所有直線垂直”和“BC與平面內(nèi)不過點C的所有直線垂直”的兩種情況，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生全面考慮問題，感受過程的嚴(yán)謹(jǐn)性.3.（1）分組探究直線與平面垂直的判定定理：顯然，根據(jù)定義判定直線與平面垂直，需要判定直線與平面內(nèi)“任意一條直線”即“所有直線”都垂直而事實上這往往是難以實現(xiàn)的，我們可否尋求一個更為簡便的方法，用有限條直線來代替所有直線？【師生活動】分小組討論，一起探究直線與平面垂直的判定定理.教師引導(dǎo)學(xué)生可以類比之前探究其他判定平行或垂直的判定定理的過程和方法，大膽猜想可能的線面垂直判定定理，再通過實例論證猜想正確與否，最終得出小組的探究成果.用“智慧課堂”讓小組成員展示他們的探究過程和探究成果.設(shè)計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關(guān)系.讓學(xué)生通過類比探究過程，不斷地猜想和論證，在探究過程中加深對探究方法和過程的感受和深刻理解，也讓判定定理的得出更加水到渠成.（2）探究判定定理的實驗：請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊三角形紙片，如圖（1）所示，過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）觀察并思考：折痕AD與桌面垂直嗎？為什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直（如圖（2））？教師進行動畫演示.思考：你能歸納出除定義以外的直線與平面垂直的證明方法嗎？設(shè)計意圖：1.通過實驗，引導(dǎo)學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定條件，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直觀能力.2.從另一個角度理解定義：如果要說明一條直線與平面不垂直，只需在平面內(nèi)找到一條直線與它不垂直就夠了.【師生活動】在折紙實驗中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生進行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因.學(xué)生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性.4.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.圖形語言：符號語言:若,則.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識經(jīng)驗,進行合情推理,獲得判定定理，并體會將空間問題平面化、無限問題有限化的轉(zhuǎn)化思想.5.直線與平面垂直的性質(zhì)定理.（1）歸納定理情境1：(課件展示)教師展示課件,并提出問題:垂直于同一個平面的直線之間具有怎樣的位置關(guān)系?觀察圖片,你能得到什么啟發(fā)?學(xué)生獨立思考,分組討論,同學(xué)間交流各自的意見,最終分析得出猜想結(jié)論:垂直于同一個平面的直線互相平行.設(shè)計意圖：通過熟悉的生活情境進行引入，引發(fā)學(xué)生探究知識的興趣,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、概括數(shù)學(xué)問題的能力.情境2:如圖,長方體中,棱,所在直線都與底面垂直,各側(cè)棱之間具有什么位置關(guān)系?教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分組討論問題.學(xué)生認(rèn)真觀察、思考得出結(jié)論：因為棱所在直線都與底面ABCD垂直，所以棱.設(shè)計意圖：借助學(xué)生最熟悉的長方體模型和生活中的簡單經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生分析，將“垂直問題”逐步轉(zhuǎn)化為“平行問題”，以此為基礎(chǔ)，進行合情推理，驗證猜想，使學(xué)生的思維更加順暢；讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)定理的過程中，不僅有直觀上的感知，提高直觀想象核心素養(yǎng)，而且通過理性的說理，增強邏輯推理核心素養(yǎng).【設(shè)計說明】在直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生經(jīng)歷從實際背景中抽象出幾何結(jié)論的全過程，從而形成完整和正確的概念.這種立足于感性認(rèn)識的歸納過程，既有助于學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，又使學(xué)生的抽象思維得到發(fā)展，在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的同時，也培養(yǎng)勇于探索的科學(xué)精神.經(jīng)過師生對話猜想結(jié)論進行完善，并引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納直線和平面垂直的性質(zhì)定理.學(xué)生自主完成.教師巡視課堂，對學(xué)生的完成情況進行個別指導(dǎo).教師板書定理：文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言：，則.圖形語言：學(xué)生校對答案，完善自己的作品.設(shè)計意圖：通過板書加深學(xué)生對所學(xué)知識的印象，達(dá)到鞏固新知的目的；通過三種語言間的轉(zhuǎn)化，加深學(xué)生對定理的認(rèn)識與記憶，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化化歸能力和書寫表達(dá)能力.（2）證明定理已知:.求證:.師:怎樣證明兩條直線平行?學(xué)生思考回答判定線線平行的方法.師:由于無法把兩條直線歸入到一個平面內(nèi),無法應(yīng)用平行直線的判定知識,也無法應(yīng)用基本事實4,在這種情況下,我們常采用“反證法”.證明:如圖,假設(shè)不平行于,設(shè)是經(jīng)過點且與直線平行的直線.直線與確定平面,設(shè).因為,所以.又因為,所以，這樣在平面內(nèi),經(jīng)過直線上同一點,就有兩條直線與垂直,顯然不可能.因此.設(shè)計意圖：通過證明，加深對性質(zhì)定理的理解和記憶，教師板書示范，讓學(xué)生體會反證法的證明步驟.6.兩個距離.（1）過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過點有且只有一個平面與已知直線垂直.（2）從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離.（3）一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離.【師生活動】教師給出上述幾個概念，學(xué)生識記.讓學(xué)生分析兩個距離的聯(lián)系和區(qū)別.7.線面所成的角.類比直線與直線的夾角，得到直線與平面所成的角.一條直線與一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫作斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段.如圖,過平面外一點向平面引斜線和垂線,那么過斜足和垂足的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影,線段就是斜線段在平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫作這條直線與這個平面所成的角.思考:線面角的范圍是多少?線面角多大時直線和平面垂直?學(xué)生思考、回答,教師總結(jié).如果一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi),那么稱它們所成的角是角.直線與平面所成的角的取值范圍是.設(shè)計意圖:讓學(xué)生學(xué)會類比思考問題,探索新知,推廣線面角的概念,得出類似于兩直線所成的角的相關(guān)內(nèi)容,為后面學(xué)習(xí)平面與平面所成的角(二面角)做鋪墊.三、應(yīng)用舉例例1證明:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.已知:(如圖).求證:.分析只要證明與平面內(nèi)任意一條直線都垂直.證明設(shè)是內(nèi)的任意一條直線.，則.例2已知:.求證:直線上各點到平面的距離相等.證明過直線上任意兩點分別作平面的垂線,垂足分別為(如圖).因為,所以.設(shè)經(jīng)過直線和的平面為,則與的交線為直線.因為,所以,從而四邊形是平行四邊形,所以.故直線上各點到平面的距離相等.例3如圖,已知分別是平面的垂線和斜線,分別是垂足和斜足,,求證:.分析因為平面ABC，所以只要證明平面ABC.證明.例4如圖,已知在平面內(nèi),.求證:點在平面內(nèi)的射影在的平分線上.證明作,垂足分別為,連接...同理.在和中,,所以Rt,從而.故點在平面內(nèi)的射影在的平分線上.設(shè)計意圖：利用教材中的4個例題，使學(xué)生初步感受如何運用直線與平面垂直的性質(zhì)定理、判定定理解決問題，明確運用線面垂直判定、性質(zhì)定理的條件，提升邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng).【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生理清思路，并做規(guī)范化的解答，為學(xué)生后面熟練的應(yīng)用定理打下基礎(chǔ).四、課堂小結(jié)1.本節(jié)課你學(xué)會了哪些判定直線與平面垂直的方法？（1）定義法：強調(diào)是“任何一條直線”.（2）判定定理法：必須是“兩條相交直線”.2.直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？轉(zhuǎn)化、化歸、類比，先猜想后論證.3.線面垂直性質(zhì)定理的實質(zhì)是什么？線面垂直，線線平行4.如何求線面所成的角？通過作輔助線，轉(zhuǎn)化為求直線與直線所成的角.設(shè)計意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，優(yōu)化重組認(rèn)識結(jié)構(gòu)，并鼓勵學(xué)生多總結(jié)，多反思.【師生互動】學(xué)生發(fā)言，互相補充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法.五、布置作業(yè)1.教材第171頁練習(xí)第5題；教材第173頁練習(xí)第6，7題.2.請借助信息網(wǎng)絡(luò)，以“生活中的垂直”為題，寫一篇數(shù)學(xué)應(yīng)用小論文3.探究：（1）線面垂直判定定理的證明;（2）有沒有線面平行的相關(guān)結(jié)論類比推理成線面垂直的正確命題？設(shè)計意圖：進一步鞏固新知，提高運用直線與平面垂直的定義和判定定理解決問題的能力；研究性作業(yè)的設(shè)計可以提高學(xué)生獨立思考、自主探究的能力，滿足學(xué)有余力的同學(xué)需要.板書設(shè)計第2課時直線與平面垂直和直線與平面所成的角一、情境引入二、探索新知1.定義：a垂直于內(nèi)的任意一條直線畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直2.定義應(yīng)用3.（1）分組探究直線與平面垂直的判定定理（2）探究判定定理的實驗4.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語言：符號語言:若,則5.直線與平面垂直的性質(zhì)定理（1）歸納定理文字語言:垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言:,則圖形語言：（2）證明定理（反證法）6.兩個距離7.線面所成的角如圖,過平面外一點向平面引斜線和垂線,那么過斜足和垂足的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影,線段就是斜線段在平面內(nèi)的射影平面的一條斜線與它在這個平面