初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)考點知識與題型專題講解18-多邊形(解析版)

1/20初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)考點知識與題型專題講解專題18多邊形【知識要點】多邊形的相關(guān)知識：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

一個n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為凸多邊形

：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。

正多邊形

：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個條件缺一不可，除了三角形以外，因為若三角形的三內(nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）

多邊形的內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°

n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)?！究键c題型】考點題型一多邊形截角后的邊數(shù)問題【解題思路】多邊形減去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰點，則少了一條邊；經(jīng)過一個頂點和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條.典例1．（2018·云南昭通市模擬）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【詳解】一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-1）邊形．故當(dāng)剪去一個角后，剩下的部分是一個18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形.故選A.變式1-1．（2019·寧波市一模）把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀不可能是()A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】A【解析】當(dāng)剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是四邊形或三角形或五邊形，不可能是六邊形.故選A.考點題型二計算多邊形的周長【解題思路】考查多邊形的周長，解題在于掌握計算公式典例2．（2020·隆化縣模擬）下列圖形中，周長不是32m的圖形是()A． B．C．D．【答案】B【提示】根據(jù)所給圖形，分別計算出它們的周長，然后判斷各選項即可．【詳解】A.L=(6+10)×2=32，其周長為32.B.該平行四邊形的一邊長為10，另一邊長大于6，故其周長大于32.C.L=(6+10)×2=32，其周長為32.D.L=(6+10)×2=32，其周長為32.采用排除法即可選出B故選B.變式2-1．（2017·海南中考模擬）如圖，□ABCD紙片，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉兩個角后，得到六邊形AEFCGH,它的每個內(nèi)角都是120°，且EF=1，HG=2，則這個六邊形的周長為()A．12 B．15 C．16 D．18【答案】B【解析】如圖，分別作直線AB、BC、HG的延長線和反向延長線使它們交于點B、Q、P.∵六邊形ABCDEF的六個角都是120°，∴六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60°.∴△APH、△BEF、△DHG、△CQG都是等邊三角形．∴EF=BE=BF=1，DG=HG=HD=2.∴FC=5-1=4，AH=5-2=3，CG=CD-DG=4?2=2.∴六邊形的周長為1+3+3+2+2+4=15.故選B.考點題型三計算網(wǎng)格中的多邊形面積【解題思路】利用分割法即可解決問題典例3．（2019·遼寧葫蘆島市模擬）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D均為格點，則四邊形的面積為()A．7 B．10 C． D．8【答案】A【提示】利用分割法即可解決問題.【詳解】解：S四邊形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7，故選：A．變式3-1．（2020·山東煙臺市模擬）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，若向正方形網(wǎng)格中投針，落在△ABC內(nèi)部的概率是()A． B． C． D．【答案】D【提示】用正方形的面積減去四個易求得三角形的面積，即可確定△ABC面積，用△ABC面積除以正方形的面積即可.【詳解】解：正方形的面積＝4×4＝16，三角形ABC的面積＝＝5，所以落在△ABC內(nèi)部的概率是，故選D．變式3-2．（2019·江西九年級零模）如圖，在邊長為的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形圖中①，②，③，④四個格點多邊形的面積分別記為下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】根據(jù)題意判斷格點多邊形的面積，依次將計算出來，再找到等量關(guān)系．【詳解】觀察圖形可得∴，故選：．考點題型四計算多邊形對角線條數(shù)【解題思路】熟記n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線是解答此題的關(guān)鍵．典例4．（2017·山東濟南市·中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°，則該多邊形的對角線的條數(shù)是（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，得：（n﹣2）?180=360°×2+180°，解得：n=7．則這個多邊形的邊數(shù)是7，七邊形的對角線條數(shù)為=14，故選C．變式4-1．（2018·山東濟南市·中考模擬）若凸n邊形的每個外角都是36°，則從一個頂點出發(fā)引的對角線條數(shù)是（

）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】360°÷36°=10，10?3=7.故從一個頂點出發(fā)引的對角線條數(shù)是7.故選：B.變式4-2．（2020·莆田市二模）從邊形的一個頂點出發(fā)可以連接8條對角線，則（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【提示】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可得n-3=8，求出n的值即可．【詳解】解：由題意得：n-3=8，解得n=11，故選：D．變式4-3．（2020·湖南長沙市模擬）已知一個正n邊形的每個內(nèi)角為120°，則這個多邊形的對角線有（）A．5條 B．6條 C．8條 D．9條【答案】D【提示】多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°，則每個外角是60°，而任何多邊形的外角是360°，則求得多邊形的邊數(shù)；再根據(jù)多邊形一個頂點出發(fā)的對角線＝n﹣3，即可求得對角線的條數(shù)．【詳解】解：∵多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°，∴每個外角是60度，則多邊形的邊數(shù)為360°÷60°＝6，則該多邊形有6個頂點，則此多邊形從一個頂點出發(fā)的對角線共有6﹣3＝3條．∴這個多邊形的對角線有（6×3）＝9條，故選：D．變式4-4．（2019·廣東茂名市·中考模擬）若一個多邊形從同一個頂點出發(fā)可以作5條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【提示】可根據(jù)n邊形從一個頂點引出的對角線有n-3條，即可求解．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則n-3=5，解得n=8，故這個多邊形的邊數(shù)為8，故選：C．變式4-5．（2019·河北模擬）過某個多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成7個三角形，則這個多邊形是（）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形【答案】D【提示】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可組成n-2個三角形，依此可得n的值．【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意得，n-2=7，解得：n=9，即這個多邊形是九邊形，故選:D．考點題型五多邊形內(nèi)角和問題【解題思路】考查多邊形的內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是牢記多邊形的內(nèi)角和公式．典例5．（2018·山東濟寧市·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分別平分∠EDC、∠BCD，則∠P的度數(shù)是()A．60° B．65° C．55° D．50°【答案】A【解析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，進一步求得∠P的度數(shù)．解：∵五邊形的內(nèi)角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故選A．變式5-1．（2019·甘肅慶陽市·中考真題）如圖，足球圖片正中的黑色正五邊形的內(nèi)角和是()．A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【提示】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式即可求出結(jié)果．【詳解】解：黑色正五邊形的內(nèi)角和為：，故選C．變式5-2．（2019·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真題）已知一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】D【提示】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和=（n﹣2）?180°，列方程可求解.【詳解】設(shè)所求多邊形邊數(shù)為n，∴（n﹣2）?180°＝1080°，解得n＝8.故選D.考點題型六正多邊形內(nèi)角和問題【解題思路】掌握并能運用多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵典例6．（2020·湖南懷化市·中考真題）若一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【提示】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由n邊形的內(nèi)角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，解此方程即可求得答案：n=8．故選C．變式6-1．（2020·湖北宜昌市·中考真題）游戲中有數(shù)學(xué)智慧，找起點游戲規(guī)定：從起點走五段相等直路之后回到起點，要求每走完一段直路后向右邊偏行．成功的招數(shù)不止一招，可助我們成功的一招是（）．A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要長【答案】A【提示】根據(jù)題意可知封閉的圖形是正五邊形，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)即可解決問題．【詳解】根據(jù)題意可知，從起點走五段相等直路之后回到起點的封閉圖形是正五邊形，∵正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為：∴它的鄰補角的度數(shù)為：180°-108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，故選：A．變式6-2．（2020·河北中考真題）正六邊形的一個內(nèi)角是正邊形一個外角的4倍，則_________．【答案】12【提示】先根據(jù)外角和定理求出正六邊形的外角為60°，進而得到其內(nèi)角為120°，再求出正n邊形的外角為30°，再根據(jù)外角和定理即可求解．【詳解】解：由多邊形的外角和定理可知，正六邊形的外角為：360°÷6=60°，故正六邊形的內(nèi)角為180°-60°=120°，又正六邊形的一個內(nèi)角是正邊形一個外角的4倍，∴正n邊形的外角為30°，∴正n邊形的邊數(shù)為：360°÷30°=12．故答案為：12．變式6-3．（2020·福建中考真題）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則等于_______度．【答案】30【提示】先證出內(nèi)部的圖形是正六邊形，求出內(nèi)部小正六邊形的內(nèi)角，即可得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：由題意六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成，可得BD=AC，BC=AF，∴CD=CF，同理可證小六邊形其他的邊也相等，即里面的小六邊形也是正六邊形，∴∠1=，∴∠2=180°-120°=60°，∴∠ABC=30°，故答案為：30．考點題型七截角后的內(nèi)角和問題【解題思路】剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少一個是解決本題的關(guān)鍵．典例7．（2020·五蓮縣一模）一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，這個多邊形的內(nèi)角和是（）A．360° B．540°C．180°或360° D．540°或360°或180°【答案】D【提示】剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少一個，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】n邊形的內(nèi)角和是(n﹣2)?180°，邊數(shù)增加1，則新的多邊形的內(nèi)角和是(4+1﹣2)×180°＝540°，所得新的多邊形的角不變，則新的多邊形的內(nèi)角和是(4﹣2)×180°＝360°，所得新的多邊形的邊數(shù)減少1，則新的多邊形的內(nèi)角和是(4﹣1﹣2)×180°＝180°，因而所成的新多邊形的內(nèi)角和是540°或360°或180°，故選D．變式7-1．（2020·河北九年級其他模擬）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為2520°，則原多邊形的邊數(shù)是（）A．17 B．16 C．15 D．16或15或17【答案】D【詳解】多邊形的內(nèi)角和可以表示成(且n是整數(shù))，一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)解得：n=16，則多邊形的邊數(shù)是15，16，17．故選D．變式7-2．（2020·貴州銅仁市·九年級零模）一個多邊形切去一個角后得到的另一個多邊形的內(nèi)角和為，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A．6或7或8 B．6或7 C．7或8 D．7【答案】A【提示】首先求得內(nèi)角和為900°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù).【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為900°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n-2）?180°=900°，解得：n=7，如圖，有如下幾種切法，則原多邊形的邊數(shù)為6或7或8．故選：A．考點題型八正多邊形的外角問題【解題思路】解決問題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于360度．典例8．（2020·江蘇無錫市·中考真題）正十邊形的每一個外角的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【提示】利用多邊形的外角性質(zhì)計算即可求出值．【詳解】解：360°÷10＝36°，故選：A．變式8-1．（2020·江蘇揚州市·中考真題）如圖，小明從點A出發(fā)沿直線前進10米到達點B，向左轉(zhuǎn)后又沿直線前進10米到達點C，再向左轉(zhuǎn)后沿直線前進10米到達點D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程為（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【答案】B【提示】根據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360°除以45°求出邊數(shù)，然后再乘以10米即可．【詳解】解：∵小明每次都是沿直線前進10米后再向左轉(zhuǎn)，∴他走過的圖形是正多邊形，邊數(shù)n=360°÷45°=8，∴小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程=8×10=80米．故選：B．變式8-2．（2020·湖南婁底市·中考真題）正多邊形的一個外角為60°，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【提示】根據(jù)正多邊形的外角和以及一個外角的度數(shù)，求得邊數(shù)．【詳解】解：正多邊形的一個外角等于60°，且外角和為360°，則這個正多邊形的邊數(shù)是：360°÷60°=6，故選：B．考點題型九多邊形外角和的實際應(yīng)用【解題思路】典例9．（2020·湖北黃岡市·中考真題）如果一個多邊形的每一個外角都是36°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【提示】根據(jù)多邊形的外角的性質(zhì)，邊數(shù)等于360°除以每一個外角的度數(shù)．【詳解】∵一個多邊形的每個外角都是36°，∴n=360°÷36°=10．故選D．變式9-1．（2020·山東德州市·中考真題）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進8米，又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（）A．80米 B．96米 C．64米 D．48米【答案】C【提示】根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360÷45=8次才會回到原點，所以一共走了8×8=64米．故選：C考點題型十多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用【解題思路】熟悉多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°；多邊形的外角和是360度．典例10．（2020·西藏中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【提示】利用多邊形的內(nèi)角和公式及外角和定理列方程即可解決問題．【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，則有（n-2）×180°=360°×4，所有n=10．故選C．變式10-1．（2020·陸豐市模擬）一個正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個正多邊形的每一個外角等于（）A．108° B．90° C．72° D．60°【答案】C【提示】首先設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多邊形的外角和等于360°，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴這個正多邊形的每一個外角等于：=72°．故選C．變式10-2．（2020·中江縣模擬）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比是3：1，這個多邊形的邊數(shù)是A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【解析】試題提示：設(shè)這個多邊形的外角為x°，則內(nèi)角為3x°，根據(jù)多邊形的相鄰的內(nèi)角與外角互補可的方程x+3x=180，解可得外角的度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可得到邊數(shù)．解：設(shè)這個多邊形的外角為x°，則內(nèi)角為3x°，由題意得：x+3x=180，解得x=45，這個多邊形的邊數(shù)：360°÷45°=8，故選A．變式10-3．（2020·西寧市模擬）一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的2倍還大180°，這個多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，（n-2）?180°=2×360°+180°，n=7．故選C．考點題型十一平面鑲嵌【解題思路】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．典例11.下列多邊形中，不能夠單獨鋪滿地面的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【提示】由鑲嵌的條件知，在一個頂點處各個內(nèi)角和為360°．【詳解】∵正三角形的內(nèi)角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6個正三角形可以鋪滿地面一個點，∴正三角形可以鋪滿地面；∵正方形的內(nèi)角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4個正方形可以鋪滿地面一個點，∴正方形可以鋪滿地面；∵正五邊形的內(nèi)角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五邊形不能鋪滿地面；∵正六邊形的內(nèi)角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3個正六邊形可以鋪滿地面一個點，∴正六邊形可以鋪滿地面．故選C．變式11-1小王到瓷磚店購買一種正多邊形瓷磚鋪設(shè)無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【提示】平面圖形鑲嵌的條件：判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360，則說明能夠進行平面鑲嵌；反之則不能.【詳解】解：因為用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案，所以小王到瓷磚店購買一種正