高等電磁波理論 課件 第5、6章 導(dǎo)波與諧振、電磁散射

第五章導(dǎo)波與諧振

5.1均勻波導(dǎo)理論浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》12波導(dǎo)器件如何求解與分析波導(dǎo)模式？微波同軸線光纖集成光波導(dǎo)3均勻波導(dǎo)理論zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導(dǎo)沿z

方向傳播的電磁波：kz

：z

方向的傳播常數(shù)代入麥克斯韋方程色散關(guān)系分離縱向場(chǎng)和橫向場(chǎng)4均勻波導(dǎo)理論（2）zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導(dǎo)兩邊叉乘右邊代入整理Et類似地橫向場(chǎng)可由縱向場(chǎng)求得色散關(guān)系5均勻波導(dǎo)理論（3）zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導(dǎo)兩邊取旋度矢量運(yùn)算均勻填充波導(dǎo)Ez

模和Hz

模獨(dú)立存在TMmodes:Ez≠0,Hz=0TEmodes:Ez

=0,Hz

≠0

模式求解方程6均勻填充金屬壁波導(dǎo)zxyε,μΩΓ均勻填充亥姆霍茲方程PEC壁TM模式求解TE模式求解傳播常數(shù)行波截止衰減截止頻率相速度群速度7TEM模式zxyε,μΩΓ均勻填充PEC壁Ez=0,Hz=0均勻填充金屬壁波導(dǎo)是否存在TEM模式？ΩΓ磁荷不存在磁場(chǎng)線閉合任意形狀截面麥克斯韋方程積分形式≠0Ez≠00z方向電場(chǎng)不能為0閉合路徑積分不為0均勻填充金屬壁波導(dǎo)不支持TEM模式8金屬矩形波導(dǎo)xyzε,μabTE模式（Ez=0）分離變量法通解代入邊界條件得到kx、ky導(dǎo)波條件代入求得橫向E、H場(chǎng)9金屬矩形波導(dǎo)（2）xyzε,μabTEmn

模式場(chǎng)分布（Ez=0）導(dǎo)波條件：xy平面駐波分布z向平面波傳輸TE00

模不存在10金屬矩形波導(dǎo)（3）xyzε,μabTMmn

模式場(chǎng)分布（Hz=0）導(dǎo)波條件：xy平面駐波分布z向平面波傳輸TM00,TM0n,TMm0模不存在類似地，得到11部分填充波導(dǎo)xyze2,m2abe1,m1h波導(dǎo)截面填充不同的介質(zhì)模式求解方程留下z

分量等式與空間坐標(biāo)有關(guān)無(wú)法利用舍去出現(xiàn)混合模式TEz

模和

TMz

模僅少量特殊情況可分離一般情況下為混合模式（同時(shí)含Ez和Hz）Ez與Hz

模的耦合是由填充材料的空間非均勻帶來(lái)

在截止頻率（kt=0），混合模式退化為T(mén)Ez

和TMz

模式非均勻填充金屬壁波導(dǎo)第五章導(dǎo)波與諧振

5.2模式正交性浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》1213格林定理高斯定理代入利用矢量恒等式第一標(biāo)量格林定理第二標(biāo)量格林定理交換a、b

順序第一矢量格林定理類似地，利用高斯定理和變量替換第二矢量格林定理14zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導(dǎo)00當(dāng)考慮i、j兩個(gè)TM模式第二標(biāo)量格林定理（二維形式）代入模式正交性15zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導(dǎo)考慮i、j兩個(gè)TM模式代入第一標(biāo)量格林定理（二維）（前一頁(yè)結(jié)論）模式正交性（2）16模式正交性（3）TM

模式正交（Hz=0）TE

模式正交（Ez=0）TM、TE

模式相互正交橫向場(chǎng)可由縱向場(chǎng)求得潛在原理：格林定理中，等式右側(cè)邊界處模場(chǎng)趨于0，從而左側(cè)模場(chǎng)重疊積分也為017波導(dǎo)界面模式分析波導(dǎo)2波導(dǎo)1不連續(xù)界面（z=0）如何用模式正交性分析傳輸效率？?jī)蛇呉来纬艘圆▽?dǎo)

第i個(gè)模式并計(jì)算重疊積分波導(dǎo)1模式波導(dǎo)2模式前向后向得到映射關(guān)系求解矩陣可得各系數(shù)各模式的傳輸系數(shù)18xyzε,μabTMmn

模式場(chǎng)分布（Hz=0）TM00,TM0n,TMm0模不存在金屬矩形波導(dǎo)模場(chǎng)圖（TM）導(dǎo)波條件：模式正交關(guān)系TM11TM22TM12TM13TM14TM31TM41TM2119金屬矩形波導(dǎo)模場(chǎng)圖（TE）xyzε,μabTEmn

模式場(chǎng)分布（Ez=0）導(dǎo)波條件：TE00

模不存在模式正交關(guān)系TE10TE01TE11TE12TE13TE21TE31TE22第五章導(dǎo)波與諧振

5.3波導(dǎo)中的場(chǎng)激勵(lì)浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》2021波導(dǎo)中的源波導(dǎo)里施加任意電流源，如何分析激發(fā)的導(dǎo)波模式？22面電流激勵(lì)波導(dǎo)中激勵(lì)一個(gè)面電流：（沿+z方向傳播的總場(chǎng)）（沿-z方向傳播的總場(chǎng)）z=0其中，第i

個(gè)波導(dǎo)模式：（+z方向）（-z方向）待解未知數(shù)：ai,bi23面電流激勵(lì)（2）在面電流所在位置運(yùn)用邊界條件：z=0模式正交性兩邊點(diǎn)乘兩邊積分模式正交性（歸一化常數(shù)）24體電流激勵(lì)波導(dǎo)中激勵(lì)任意體電流z=z1z=z2總場(chǎng)表達(dá)式：待求系數(shù)函數(shù)其中，第i

個(gè)波導(dǎo)模式：（+z方向）（-z方向）25體電流激勵(lì)（2）z=z1z=z2系數(shù)函數(shù)需滿足邊界條件朝右向傳播的模式場(chǎng)應(yīng)為0朝左向傳播的模式場(chǎng)應(yīng)為026互易定理體電流激勵(lì)（3）在區(qū)域[z1,z2]內(nèi)運(yùn)用互易定理令右側(cè)源產(chǎn)生的左向波體電流

Jimp的輻射波z=z1z=z227體電流激勵(lì)（4）z=z1z=z2金屬壁切向電場(chǎng)為0剩余2個(gè)面積分左側(cè)截面右側(cè)截面模式正交性0僅留下i=j

的模式積分28體電流激勵(lì)（5）z=z1z=z2得到右向傳播模場(chǎng)系數(shù)類似地，令左側(cè)源產(chǎn)生的右向波體電流

Jimp的輻射波得到左向傳播模場(chǎng)系數(shù)29思考z=z1z=z2z=0取體電流激勵(lì)面電流激勵(lì)檢驗(yàn)是否相同？第五章導(dǎo)波與諧振

5.4諧振腔與微擾法浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》3031封閉波導(dǎo)矩形波導(dǎo)兩端封閉，能否構(gòu)成諧振腔？xyzε,μabTEmn

模式TMmn

模式xy平面駐波xyzabcz

兩端封閉32矩形諧振腔xyzabc金屬矩形諧振腔TEz

模式（+z方向傳播）（-z方向傳播）前向+后向疊加z方向邊界條件要求：諧振模式諧振條件33矩形諧振腔（2）xyzabc金屬矩形諧振腔TMz

模式（+z方向傳播）（-z方向傳播）前向+后向疊加諧振條件諧振模式z方向邊界條件要求：34材料微擾材料微擾原諧振腔新諧振腔如何分析材料微擾下的諧振模式變化？35原諧振腔新諧振腔兩式相減材料微擾（2）36原諧振腔新諧振腔兩邊體積分，運(yùn)用高斯定理邊界條件要求面積分為0介電常數(shù)增加諧振頻率降低材料微擾（3）37形狀微擾形狀微擾原諧振腔新諧振腔運(yùn)用邊界條件0跟材料微擾類似的推導(dǎo)方法，可以得到0強(qiáng)磁場(chǎng)地方凹陷諧振頻率會(huì)提高38精益求精原諧振腔微小擾動(dòng)材料微擾形狀微擾影響全局（諧振頻率）“中國(guó)天眼”500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡精益求精毫米級(jí)精度言治骨角者，既切之而復(fù)磋之；治玉石者，既琢之而復(fù)磨之，治之已精，而益求其精也。-南宋·朱熹《論語(yǔ)集注》第六章電磁散射

6.1柱面波函數(shù)浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》3940柱形結(jié)構(gòu)柱形結(jié)構(gòu)，如何分析電磁波問(wèn)題？光纖同軸線諧振腔41柱坐標(biāo)系yxzρ?坐標(biāo)變換關(guān)系直角→柱柱→直角矩陣形式42yxzρ?柱坐標(biāo)波動(dòng)方程亥姆霍茲矢量波動(dòng)方程亥姆霍茲標(biāo)量波動(dòng)方程代入柱坐標(biāo)的拉普拉斯算符柱坐標(biāo)標(biāo)量波動(dòng)方程43yxzρ?柱坐標(biāo)波動(dòng)方程的解柱坐標(biāo)標(biāo)量波動(dòng)方程分離變量法兩邊除以與變量z

無(wú)關(guān)必須為常數(shù)44柱坐標(biāo)波動(dòng)方程的解（2）與變量z

無(wú)關(guān)必須為常數(shù)其中乘以ρ2三條待解常系數(shù)微分方程45三條待解常系數(shù)微分方程第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)（也記作Nm(kρρ)）通解形式（z方向平面波）（

?

方向平面波）柱坐標(biāo)波動(dòng)方程的解（3）46貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)（也記作Nm(kρρ)）貝塞爾方程解駐波形式47漢克爾函數(shù)實(shí)部虛部駐波向外行波向內(nèi)行波復(fù)數(shù)第六章電磁散射

6.2柱體散射浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》4849柱體散射問(wèn)題柱體的散射如何計(jì)算？柱體入射波散射50波變換yxρ?考慮一個(gè)x方向傳播的平面波分解為柱面波疊加乘以對(duì)?

積分平面波的柱面波疊加形式51金屬柱散射yxρ?入射電場(chǎng)激發(fā)柱面感應(yīng)電流散射電場(chǎng)第一類Hankel函數(shù)：向外行波邊界條件各階散射系數(shù)散射電場(chǎng)TM模式52金屬柱散射（2）yxρ?TM模式y(tǒng)xρ?TE模式53金屬柱散射（3）yxρ?入射磁場(chǎng)激發(fā)柱面感應(yīng)電流散射場(chǎng)第一類Hankel函數(shù)：向外行波外部總磁場(chǎng)TE模式

E?

分量外部電場(chǎng)代入麥克斯韋方程54金屬柱散射（4）yxρ?TE模式外部電場(chǎng)邊界條件各階散射系數(shù)散射磁場(chǎng)55散射寬度yxρ?散射寬度（Scatteringwidth）僅與角度?

和波數(shù)k

有關(guān)單位：m對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，通常對(duì)單位長(zhǎng)度或波長(zhǎng)進(jìn)行歸一化單位：dBm單位：dB56介質(zhì)柱散射yxρ?入射電場(chǎng)激發(fā)柱面感應(yīng)電流散射電場(chǎng)TM模式內(nèi)部電場(chǎng)代入麥克斯韋方程外部磁場(chǎng)內(nèi)部磁場(chǎng)57介質(zhì)柱散射（2）yxρ?邊界條件TM模式各階散射系數(shù)（外部）各階散射系數(shù)（內(nèi)部）58思考yxρ?多層介質(zhì)柱體的散射如何計(jì)算？第六章電磁散射

6.3分層介質(zhì)散射浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》5960多層平板散射問(wèn)題分層平板介質(zhì)的散射如何計(jì)算？J、M介質(zhì)1介質(zhì)2介質(zhì)3海底、大氣層、地表等輻射源61譜系格林函數(shù)自由空間格林函數(shù)輻射問(wèn)題的格林函數(shù)求解方程傅里葉變換形式自由空間譜系格林函數(shù)代入方程求解62譜系格林函數(shù)（2）yxzρ?轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)系利用貝塞爾函數(shù)索末菲恒等式(Sommerfeldidentity)球面波分解為一系列z方向傳播的平面波63電偶極子輻射場(chǎng)變換xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlanez

方向的電偶極子輻射場(chǎng)代入場(chǎng)-源關(guān)系取z

分量64xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子輻射場(chǎng)變換（2）z

分量輻射場(chǎng)代入索末菲恒等式平面波疊加橫向場(chǎng)可由縱向場(chǎng)得到65xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子分層介質(zhì)散射入射場(chǎng)（偶極子輻射場(chǎng)）反射場(chǎng)第l

層介質(zhì)的場(chǎng)前向波后向波待求系數(shù)（2M+1）66xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子分層介質(zhì)散射（2）待求系數(shù)（2M+1）邊界條件：切向EH連續(xù)遞歸關(guān)系67xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane思考遞歸關(guān)系各系數(shù)與多層平板透反射系數(shù)是否有關(guān)？第六章電磁散射

6.4周期表面反射浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》6869周期粗糙表面的散射周期表面的散射如何計(jì)算？入射波散射波周期粗糙表面（超表面、光柵等）70Floquet定理令Q(x)是一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)分段連續(xù)函數(shù)，且具有最小周期π那么差分方程有兩個(gè)連續(xù)可微解特征方程：特征值：①如果ρ1

和ρ2

是兩個(gè)不同的根其中p1(x)和p2(x)以π

為周期Floquet定理方程①有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解波動(dòng)方程的解包含L為周期函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)波動(dòng)方程K(x)=k2(x)具有最小周期L71周期波紋金屬表面入射波反射波Floquet

模式（一系列等頻圓）xzwpd周期金屬表面H周期區(qū)域1區(qū)域2k

surfaceskxkznn=-1n=1倏逝波72周期波紋金屬表面（2）凹槽內(nèi)的場(chǎng)分解為波導(dǎo)模式疊加xzwpd周期金屬表面H周期區(qū)域1區(qū)域2x

方向駐波z方向駐波峰值點(diǎn)：x=±w/2峰值點(diǎn)：z=-d73周期波紋金屬表面（3）取垂直入射的情況（kx=0），各區(qū)域總場(chǎng)74周期波紋金屬表面（4）待求系數(shù)Rn，Gm利用模式正交性求解邊界條件：切向磁場(chǎng)連續(xù)（atz=0）①邊界條件：切向電場(chǎng)為0（atw/2<|x|<p/2，z=0）③邊界條件：切向電場(chǎng)連續(xù)（at–w/2<x<w/2，z=0）②75周期波紋金屬表面（5）兩邊乘以在–w/2<x<w/2

范圍內(nèi)積分第①條邊界條件等式右側(cè)模式正交性，重疊積分為076周期波紋金屬表面（6）兩邊乘以在–p/2<x<p/2范圍內(nèi)積分左側(cè)模式正交性，重疊積分為0第②條邊界條件等式77周期波紋金屬表面（6）可求得數(shù)學(xué)表達(dá)式和值待求系數(shù)Rn，Gm矩陣求解78周期波紋金屬表面（7）當(dāng)kw<<1時(shí)（深亞波長(zhǎng)凹槽）反射相位隨凹槽深度的變化PMCPEC79思考存在透射的周期金屬結(jié)構(gòu)如何計(jì)算散射？透射型周期金屬結(jié)構(gòu)H區(qū)域1區(qū)域2區(qū)域3第六章電磁散射

6.5

球面波函數(shù)浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院《高等電磁波理論》8081球體球體的電磁波散射如何分析？灰塵、水滴、球形物體、納米顆粒等82球坐標(biāo)系直角→球球

→直角矩陣形式y(tǒng)xzrsinθ?rθ83柱坐標(biāo)波動(dòng)方程亥姆霍茲矢量波動(dòng)方程亥姆霍茲標(biāo)量波動(dòng)方程代入球坐標(biāo)的拉普拉斯算符球坐標(biāo)標(biāo)量波動(dòng)方程yxzrsinθ?rθ84球坐標(biāo)波動(dòng)方程的解yxzrsinθ?rθ球坐標(biāo)標(biāo)量波動(dòng)方程分離變量法不含?必須為常數(shù)不含?含?85球坐標(biāo)波動(dòng)方程的解（2）僅含r三條待解常系數(shù)微分方程僅含θ三條待解常系數(shù)微分方程86通解形式球坐標(biāo)波動(dòng)方程的解（3）關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式球貝塞爾函數(shù)87球貝塞爾函數(shù)第一類球貝塞爾函數(shù)第二類球貝塞爾函數(shù)（也記作nm(kr)）貝塞爾方程的解88球漢克爾函數(shù)實(shí)部虛部駐波向外球面波向內(nèi)球面波復(fù)數(shù)89關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式第一類關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式第二類關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式勒讓德微分方程解勒讓德多項(xiàng)式90勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)形式前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式第六章電磁散射

6.6球體散射浙江