河北省邯鄲市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期高二年級期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線方向向量的概念求解即可.【解析】直線的斜率，其一個方向向量為，故選：C2.已知是不共面的空間向量，若與（是實數(shù)）是平行向量，則的值為（）A.16 B.-13 C.3 D.-3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合，列出方程組，求解即可.【解析】因為是不共面的空間向量且，故，則，解得，所以.故選：C.3.一個彈性小球從10米高處自由落到地面后彈起到原來的一半高度，再自由落到地面后又彈起到上一次的一半高度，如此反復(fù)進(jìn)行下去，則小球第五次落地時經(jīng)過的路程為（）A.29.375米 B.19.375米C.38.75米 D.28.75米【答案】D【解析】【分析】分別求出每次落地經(jīng)過的路程，相加即可求解.【解析】前五次落地經(jīng)過的路程分別為10米、10米、5米、2.5米、1.25米，其和為28.75米，故選：D4.已知圓過點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得圓心，半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由在圓上，故圓心在直線上，由在圓上，故圓心在直線上，即圓心，半徑，故方程為.故選：A.5.已知橢圓的左?右焦點分別為，點是該橢圓上的動點?點，則的最大值是（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】由橢圓定義得出，于是有，只要求得的最大值即可得，而，從而可得結(jié)論．【解析】由題可知，，所以，而，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)是的延長線與橢圓的交點時等號成立，故選：A.6.已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的前項和（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用構(gòu)造法、等比數(shù)列的定義和通項公式，結(jié)合數(shù)列求和中的分組求和法及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【解析】由得，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D.7.過直線上的動點向圓心為，半徑為2的圓引兩條切線（為切點），則四邊形的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓的切線性質(zhì)，四邊形的面積，當(dāng)時，最小，即可求出.【解析】由圓的切線性質(zhì)，四邊形的面積。當(dāng)時，最小，所以四邊形的面積最小，此時所以.故選：B.8.如圖，已知雙曲線的一條弦所在直線的傾斜角為，點關(guān)于原點的對稱點為，若，雙曲線的離心率為，則（）A.3 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合兩角和的正切公式求出，設(shè)，利用點差法可推出，再根據(jù)，即可求得答案.【解析】由題可知，弦所在直線的傾斜角為，，則直線的傾斜角為，.設(shè)，則，則，，兩式相減可得，即，即，則，故，故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知點到直線的距離相等，則斜率的值可以是（）A. B.2 C.0 D.【答案】AC【解析】【分析】解法1：利用點到直線距離公式得到方程，求出斜率的值；解法2：分直線與平行和直線經(jīng)過的中點兩種情況，求出答案.【解析】解法1：點到的距離相等，即，解得或；解法2：直線過定點，線段的斜率為，直線與平行時，點到直線的距離相等，此時；直線經(jīng)過的中點時，點到直線的距離相等，此時，綜上，或.故選：AC.10.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓中心為圓心的圓（稱為橢圓的蒙日圓）.已知橢圓的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，點是該橢圓的蒙日圓上的動點，則下列說法正確的是（）A.該橢圓的蒙日圓的方程為B.存在點使的面積為25C.使的點有四個D.直線的斜率之積【答案】ACD【解析】【分析】利用設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合判別式為0，求出蒙日圓方程判斷A；求出的面積的最大值，即可判斷B；判斷以為直徑的圓與橢圓的交點個數(shù)，即可判斷C；設(shè)，求出的表達(dá)式，結(jié)合橢圓方程化簡，求出其值，判斷D.【解析】因為橢圓方程為，故，當(dāng)橢圓的兩條互相垂直的切線，一條斜率不存在，另一條斜率為0時，切線分別經(jīng)過長軸端點和短軸端點，此時切線的交點為；當(dāng)橢圓的兩條互相垂直的切線斜率均存在時，設(shè)兩切線交點為，切點為，切線方程設(shè)為，聯(lián)立，整理得，由于直線與橢圓相切，故，即，由于兩切線的斜率即為該方程的兩個根，即，又因為，則，即，此時兩切線交點的軌跡方程為，而也適合該方程，故該橢圓的蒙日圓的方程為，A正確；當(dāng)Q點位于圓與y軸的交點處時，取到最大值，最大值為,即不存在點使的面積為25，B錯誤；由于，故以為直徑的圓的方程為，而橢圓的短半軸長為，故圓與橢圓有四個交點，正確；由題意知，設(shè)，則，故，故，D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列的前項和分別為，若，則下列說法正確的是（）A.是首項為2的等差數(shù)列B.是首項為1的等比數(shù)列C.當(dāng)時，均為奇數(shù)，均為偶數(shù)D.存在，使得【答案】BC【解析】【分析】由與的關(guān)系可得、的通項公式，即可得A、B、C，假設(shè)存在對應(yīng)，使得，結(jié)合奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)可得其矛盾，即可得D.【解析】對A：由，則當(dāng)時，有，故，當(dāng)時，，不符合上式，故，故A錯誤；對B：由，則當(dāng)時，有，故，當(dāng)時，，符合上式，故，故B正確；對C：由，，則當(dāng)時，均為奇數(shù)，均為偶數(shù)，故C正確；對D：若存在使得，則，等式兩邊均為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，設(shè)，則，所以，此時等號兩邊分別為偶數(shù)和奇數(shù)，不可能相等，故D錯誤.故選：BC.12.如圖，平行六面體的校長均為3，且兩兩向量的夾角都是，過的平面與分別交于點，則（）A.截面的面積為9B.C.的夾角是D.平行六面體的體積為【答案】ABD【解析】【分析】由平行六面體各棱對應(yīng)向量的位置關(guān)系，結(jié)合線線角向量求法，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義及數(shù)量積的運算律逐項判斷.【解析】菱形中，所以，菱形為正方形，故面積為，正確；平面與側(cè)面的交線平行，平行，則是平行四邊形，，B正確；因為，所以，所以，故的夾角不是不正確；由上知的夾角的正弦值是，所以平行六面體的高為，則平行六面體體積為，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若點在拋物線上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為______.【答案】【解析】【分析】先求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，再求準(zhǔn)線方程.【解析】將點代入，得，所以拋物線解析式為，即，故其準(zhǔn)線方程為.故答案為：.14.已知等差數(shù)列的前項和分別為，且，則______.【答案】【解析】【分析】利用計算可得答案.【解析】因為，所以，所以，故.故答案為：.15.如圖，正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為為的中點，設(shè)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量求兩點間的距離，求最值即可.【解析】設(shè)的中點為，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由，可得，則，所以當(dāng)時，取最小值.故答案為：.16.已知雙曲線的左焦點為，過點的直線分別與漸近線和交于點，且（是坐標(biāo)原點）.若，則的值為______.【答案】或【解析】【分析】分類討論，即分別在軸兩側(cè)或在軸左側(cè)，求出，，分別確定和，結(jié)合解直角三角形，求出的關(guān)系，即可求得答案.【解析】若分別在軸兩側(cè)（如圖），到的距離.由，得.設(shè)的傾斜角為，則，且,在中，，所以，所以，,所以.若均在軸左側(cè)（如圖），在中，，,所以，所以，,所以，故答案為：或四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項和為，首項，公差.從①；②成等比數(shù)列；③三個條件中任選一項，解答下列問題.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別作答，則按第一個解答計分.【答案】（1）選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）選項①，根據(jù)條件求出，從而得出，即可求出結(jié)果；選②：利用條件成等比數(shù)列，求出，即可求出結(jié)果；選項③：利用等差數(shù)列的前項和公式，得到，再根據(jù)條件求出，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件得到，利用等比數(shù)列及等差數(shù)列前項和公式，分組求和即可求出結(jié)果.小問1解析】選①：因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，得到，又，所以，所以數(shù)列的通項公式為.選②：因為等差數(shù)列中成等比數(shù)列，則，解得或（舍），又，所以數(shù)列的通項公式為.選③：因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，又，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2解析】由（1）知，則，所以.而，所以.18.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點距離之比為常數(shù)且）的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓被稱為阿波羅尼斯圓.已知中，.（1）求的頂點的軌跡方程；（2）若圓和頂點的軌跡交于兩點，求直線的方程和圓心到的距離.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）解法1：設(shè)出，根據(jù)得到方程，求出軌跡方程；解法2：由阿波羅尼圓的定義得到，頂點的軌跡為圓，圓心在直線上，求出該圓與軸的兩交點，故的軌跡是以為直徑的圓，求出軌跡方程；（2）兩圓相減得到直線的方程，并利用點到直線距離公式求出答案.【小問1解析】解法1：設(shè)頂點，則，故，化簡得的軌跡方程為.解法2：由阿波羅尼圓的定義，頂點的軌跡為圓，圓心在直線上，設(shè)圓與軸的兩交點為，根據(jù)得，，解得或9，故當(dāng)或時，都滿足，所以頂點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為.【小問2解析】將圓和相減可得，即所求直線的方程為.圓心到的距離.19.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，且.（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)已知求出，再求；（2）求出，利用裂項相消求和可得答案.【小問1解析】設(shè)公比為，因為，所以，又，解得，所以；【小問2解析】由（1）知，則，所以，所以數(shù)列的前項和.20.如圖，四邊形是平行四邊形，為的中點.以為軸，將折起，使得點到達(dá)點的位置，且平面平面，以為軸，將折起，使得點到達(dá)點的位置，且平面平面，設(shè)平面平面直線.（1）求證：直線平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用合理轉(zhuǎn)化證明線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法計算即可.【小問1解析】由題意知，分別取的中點，連接，則，.因為平面平面，平面平面平面，所以平面，同理平面，所以//.因為平面平面，所以//平面.因為平面平面直線，所以//.又平面，所以直線平面.【小問2解析】不妨設(shè)，所以平行四邊形中，，所以.又平行四邊形中，，所以，所以，即.以為原點，所在直線分別為軸，軸，直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.又，則，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，則得令，則，所以平面的一個法向量為.由（1）知，是平面的一個法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.21.已知曲線的左?右焦點分別為，傾斜角為的直線經(jīng)過左焦點.直線與曲線的交點為（在軸上方），過點作的平分線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點.（1）若，求內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)和的長；（2）若，求的面積和的長.【答案】21.圓心的橫坐標(biāo)為，22.，【解析】【分析】（1）設(shè)內(nèi)切圓分別與切于點，由切線長關(guān)系可得，，結(jié)合雙曲線定義得，求得圓心的橫坐標(biāo)為；設(shè)與的延長線交于點，則，可得，而得解；（2）設(shè)與的延長線交于點，令，則，所以，在中，由余弦定理求出，得解.【小問1解析】由題意曲線，則.設(shè)內(nèi)切圓分別與切于點，則，，所以，即圓心的橫坐標(biāo)為.設(shè)與的延長線交于點，則，所以.因為分別為的中點，所以.【小問2解析】曲線，則.設(shè)與的延長線交于點，令，則，所以.因為分別為的中點，所以.在中，由余弦定理得，即，解得，所以.在中，.【小結(jié)】思路小結(jié)：第一問，由圓的切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義求得圓心的橫坐標(biāo)，再根據(jù)平面幾何得，因為分別為的中點，所以得解.第二問，設(shè)與的延長線交于點，令，結(jié)合橢圓定義，，在中，由余弦定理求出，又因為分別為的中點，所以以及三角形面積公式運算得解.22.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，且當(dāng)為的中點時，.（1）求拋物線的方程.（2）記拋物線在兩點處的切線的交點為，是否存在直線使與的面積相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）不存，理由見解析【解析】【分析】（1）由為的中點，分別表示出，，的坐標(biāo)，再利用拋物線的定義表示出即可求出的值，從而得到拋物線的方程；（2）設(shè)直線，將直線與拋