2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦余弦與正切公式第2課時兩角和與差的正弦余弦與正切公式一學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-第2課時兩角和與差的正弦、余弦與正切公式(一)必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問學(xué)問點(diǎn)1兩角和的余弦公式簡記符號公式運(yùn)用條件C(α＋β)cos(α＋β)＝__cosαcosβ－sinαsinβ__α，β∈R思索1：(1)你能說出公式C(α＋β)的特點(diǎn)嗎？(2)如何識記兩角和與差的余弦公式？提示：(1)公式左端為兩角和的余弦，右端為角α，β的同名三角函數(shù)積的差，即和角余弦等于同名積之差．(2)可簡潔記為“余余正正，符號反”，即綻開后的兩項(xiàng)分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；綻開前兩角間的符號與綻開后兩項(xiàng)間的符號相反．學(xué)問點(diǎn)2兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式運(yùn)用條件兩角和的正弦公式__S(α＋β)__sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦公式__S(α－β)__sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R思索2：如何記憶公式S(α＋β)，S(α－β)?提示：記憶口訣：正余余正，符號相同．正余余正表示綻開后的兩項(xiàng)分別是兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符號相同表示綻開后兩項(xiàng)之間的連接符號與綻開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“＋”，兩角差時用“－”．基礎(chǔ)自測1．下列說法中正確的個數(shù)是(B)①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ對于隨意角α，β均成立．②不存在角α，β，使得sin(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.③sin(α＋β)＝sinα＋sinβ肯定不成立．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①正確，②③錯誤，故選B．2．sin(30°＋45°)＝__eq\f(\r(2)＋\r(6),4)__.[解析]sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°·sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).3．cos55°cos5°－sin55°sin5°＝__eq\f(1,2)__.[解析]原式＝cos(55°＋5°)＝cos60°＝eq\f(1,2).4．sin70°sin65°－sin20°sin25°＝__eq\f(\r(2),2)__.[解析]原式＝sin70°cos25°－cos70°sin25°＝sin(70°－25°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一給角求值例1化簡下列各式：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sineq\f(π,12).[解析](1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)sineq\f(π,12)＝sin(eq\f(π,3)－eq\f(π,4))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,4)－coseq\f(π,3)sineq\f(π,4).＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).[歸納提升]公式的奇妙運(yùn)用(1)順用：如本題中的(2)；(2)逆用：如本題中的(1)；(3)變用：變用涉及兩個方面，一個是公式本身的變用，如cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ，一個是角的變用，也稱為角的拆分變換，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，從某種意義上來說，是一種整體思想的體現(xiàn)，如cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.這些須要在平常的解題中多總結(jié)，多探討，多留心．【對點(diǎn)練習(xí)】?求下列各式的值：(1)sin347°cos148°＋sin77°cos58°；(2)eq\r(3)sineq\f(π,12)＋coseq\f(π,12).[解析](1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cos\f(π,12)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,12)cos\f(π,6)＋sin\f(π,6)cos\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).題型二給值求值例2(1)已知α為銳角，sinα＝eq\f(3,5)，β是第四象限角，cosβ＝eq\f(4,5)，則sin(α＋β)＝__0__；(2)已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求sin2α的值．[分析](1)先求出cosα，sinβ的值，再代入公式S(α＋β)．(2)由α、β的范圍，確定α－β，α＋β的范圍，求出sin(α－β)、cos(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)變形求值．[解析](1)∵α為銳角，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∵β為第四象限角，cosβ＝eq\f(4,5)，∴sinβ＝－eq\f(3,5)，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))＝0.(2)因?yàn)閑q\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，所以0<α－β<eq\f(π,4)，π<α＋β<eq\f(3,2)π.又cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\f(12,13)2)＝eq\f(5,13)，cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\r(1－－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5).所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝eq\f(5,13)×(－eq\f(4,5))＋eq\f(12,13)×(－eq\f(3,5))＝－eq\f(56,65).[歸納提升](1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．【對點(diǎn)練習(xí)】?(1)已知sinα＝eq\f(15,17)，α∈(eq\f(π,2)，π)，求sin(eq\f(π,3)－α)的值；(2)若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，cos(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1,3)，cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),3)，求cos(α＋eq\f(β,2))．[解析](1)因?yàn)閟inα＝eq\f(15,17)，α∈(eq\f(π,2)，π)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(15,17)2)＝－eq\f(8,17).所以sin(eq\f(π,3)－α)＝sineq\f(π,3)cosα－coseq\f(π,3)sinα＝eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(8,17))－eq\f(1,2)×eq\f(15,17)＝－eq\f(15＋8\r(3),34).(2)∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<eq\f(π,4)＋α<eq\f(3,4)π，∴sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(2\r(2),3)，∵－eq\f(π,2)<β<0，∴eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－eq\f(β,2)<eq\f(π,2)，∴sin(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(6),3).cos(α＋eq\f(β,2))＝cos[(eq\f(π,4)＋α)－(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))]＝cos(eq\f(π,4)＋α)cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＋sin(eq\f(π,4)＋α)sin(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).題型三給值求角例3已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α、β為銳角，求α＋β的值．[解析]∵α、β為銳角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，∵α、β為銳角，∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝45°.[歸納提升]本題型本質(zhì)上仍等同于給值求值問題，但須要依據(jù)所給條件，選擇某種適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，求出所求角的三角函數(shù)值．在選擇函數(shù)時應(yīng)盡量避開一值多角的狀況，所以若角的范圍是(0，eq\f(π,2))，(π，eq\f(3π,2))，則選正弦函數(shù)、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，則最好選正弦函數(shù)；若角的范圍是(0，π)，則最好選余弦函數(shù)．【對點(diǎn)練習(xí)】?已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α，β∈(0，eq\f(π,2))，求β的值．[解析]∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴0<α＋β<π，sinα＝eq\r(1－\f(1,49))＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－－\f(11,14)2)＝eq\f(5\r(3),14).∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2)，∴β＝eq\f(π,3).題型四協(xié)助角公式及其應(yīng)用例4(1)eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)的值是(B)A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)(2)y＝cosx＋cos(x＋eq\f(π,3))的最大值是__eq\r(3)__.[解析](1)原式＝2eq\r(2)(eq\f(1,2)coseq\f(π,12)＋eq\f(\r(3),2)sineq\f(π,12))＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,12)＋eq\f(π,6))＝2eq\r(2)sineq\f(π,4)＝2，故選B．(2)y＝cosx＋cosx·eq\f(1,2)－sinx·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx)＝－eq\r(3)(eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx)＝－eq\r(3)sin(x－eq\f(π,3))，當(dāng)x＝2kπ－eq\f(π,6)時，(k∈Z)，ymax＝eq\r(3).[歸納提升](1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ))將形如asinα＋bcosα(a，b不同時為零)的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式．(2)形式選擇：化為正弦還是余弦，要看詳細(xì)條件而定，一般要求變形后角α的系數(shù)為正，這樣更有利于探討函數(shù)的性質(zhì)．【對點(diǎn)練習(xí)】?sin15°＋sin75°的值是__eq\f(\r(6),2)__.[解析](方法一)sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)sin15°＋eq\f(\r(2),2)cos15°)＝eq\r(2)(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝eq\r(2)sin(15°＋45°)＝eq\f(\r(6),2).(方法二)sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝eq\f(\r(6),2).課堂檢測·固雙基1．計(jì)算sin43°cos13°－cos43°sin13°的結(jié)果等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).∴選A．2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值等于(C)A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(