專題07 圖形的軸對稱、平移與旋轉（講練）（原卷版）

專題07圖形的軸對稱、平移與旋轉目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點圖形的軸對稱、平移與旋轉【真題研析·規(guī)律探尋】題型01圖形的識別題型02與圖形變化有關的作圖問題題型03幾何圖形的平移變化題型04與函數(shù)圖象有關的平移變化題型05幾何圖形的折疊問題題型06與函數(shù)圖象有關的軸對稱變化題型07幾何圖形的旋轉變化題型08與函數(shù)圖象有關的旋轉變化題型09利用平移、軸對稱、旋轉的性質解決多結論問題題型10與圖形變化有關的最值問題【核心提煉·查漏補缺】【好題必刷·強化落實】

考點要求命題預測圖形的軸對稱、平移與旋轉圖形變換問題主要包括圖形的軸對稱、圖形的平移及圖形的旋轉，其中對稱常常以折疊的形式考察，個別壓軸題中還會與特殊圖形結合;平移則一般是直接考察;旋轉也是直接考，但是其結合性也比較廣,特別是特殊三角形和特殊四邊形,經(jīng)常和旋轉一起出壓軸題.在涉及圖形變化的考題中，解決問題的方法較多，關鍵在于解決問題的著眼點，從恰當?shù)闹埸c出發(fā)，再根據(jù)圖形變換的特點發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律很重要.近幾年來各地中考試題中,有較多問題需要利用圖形變換進行思考和求解.這類問題考查學生的思維靈活性及深刻性，具有很好的選拔與區(qū)分功能，成為近年來各地中考試題的熱點問題.考點圖形的軸對稱、平移與旋轉題型01圖形的識別平移的概念：在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．軸對稱圖形定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.中心對稱圖形定義：如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形.在判斷一個圖形是否為軸對稱圖形、中心對稱圖形時，要明確以下兩點:1）如果能找到一條直線(對稱軸)把一個圖形分成兩部分，且直線兩旁的部分完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形;2）把一個平面圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能和原圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形.1．（2023·湖南郴州·中考真題）下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）

A．

B．

C．

D．

2．（2023·黑龍江大慶·中考真題）搭載神舟十六號載人飛船的長征二號F遙十六運載火箭于2023年5月30日成功發(fā)射升空，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名航天員開啟“太空出差”之旅，展現(xiàn)了中國航天科技的新高度．下列圖標中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·湖北荊州·中考真題）觀察如圖所示的幾何體，下列關于其三視圖的說法正確的是（）A．主視圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形B．左視圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形C．俯視圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形D．主視圖、左視圖、俯視圖都是中心對稱圖形4．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（

）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉 D．位似題型02與圖形變化有關的作圖問題解決圖形變化有關的作圖問題方法：1）平移與旋轉作圖都應抓住兩個要點:一是平移、旋轉的方向；二是平移的距離及旋轉的角度.2）基本的作圖方法是先選取已知圖形的幾個關鍵點，再根據(jù)平移或旋轉的性質作它們的對應點，然后以“局部帶動整體”的思想方法作變換后的圖形.3）無論是平移、軸對稱與旋轉，都不改變圖形的大小和形狀.1．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A2,-1,

(1)將△ABC向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到△A1(2)請畫出△ABC關于y軸對稱的△(3)將△A2B2C2著原點O順時針旋轉90°，得到2．（2023·四川達州·中考真題）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC

(1)將△ABC向下平移3個單位長度得到△A1(2)將△ABC繞點C順時針旋轉90度得到△A2(3)在（2）的運動過程中請計算出△ABC3．（2022·廣西河池·中考真題）如圖、在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；(2)以原點O為位似中心，在第三象限內畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2:1，并寫出點B2的坐標．題型03幾何圖形的平移變化平移變換問題:分幾何圖形平移變換和函數(shù)圖像平移變換.平移是將一個圖形沿某一方向移動一段距離，不會改變圖形的大小和形狀，只改變圖形的位置.在圖形的變化過程中，解決此類問題的方法很多，而關鍵在于解決問題的著眼點，從恰當?shù)闹埸c出發(fā)，再根據(jù)具體圖形變換的特點確定其變化.1．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為-2,0，∠AOC=60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形OA'

A．(-2,3-1) B．-2,1 C．2．（2023·河南·中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設計的問題，請你解答．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標系中，過點M4,0的直線l∥y軸，作△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1，再分別作△A1B1C1關于x軸和直線l對稱的圖形△A(2)探究遷移：如圖2，?ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P為直線AB下方一點，作點P關于直線AB的對稱點P1，再分別作點P1關于直線AD和直線CD的對稱點P①若∠PAP2=β②若AD=m，求P，(3)拓展應用：在（2）的條件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，連接P2P3．（2023·吉林·中考真題）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的部分構成一個四邊形EFMN．轉動其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據(jù)是__________．【探究提升】取兩張短邊長度相等的平行四邊形紙條ABCD和EFGH（AB<BC，F(xiàn)G≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，將它們按圖②放置，EF落在邊BC上，F(xiàn)G【結論應用】保持圖②中的平行四邊形紙條ABCD不動，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移，且EF始終在邊BC上．當MD=MG時，延長CD，HG交于點P，得到圖③．若四邊形ECPH的周長為40，sin∠EFG=

4．（2023·天津·中考真題）在平面直角坐標系中，O為原點，菱形ABCD的頂點A(3,0),B(0,1),(1)填空：如圖①，點C的坐標為________，點G的坐標為________；(2)將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，點E，F(xiàn)，G，H的對應點分別為E'，F(xiàn)'，G'，

①如圖②，當邊E'F'與AB相交于點M、邊G'H'與BC相交于點N，且矩形E'F'②當233≤題型04與函數(shù)圖象有關的平移變化1．（2023·湖南益陽·中考真題）我們在學習一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時知道：將一次函數(shù)y=2x的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)=2x+1的圖象；將二次函數(shù)y=x2+1的圖象向左平移2

2．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨OA，OB的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA，OB關于y軸對稱．OC=1分米，點A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點之間的距離是4

(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求E，F(xiàn)兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S1，將拋物線向右平移mm>0個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S2．若3．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx

(1)b=_______(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點(k,0)作x(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點P4．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點E，F(xiàn)為平面內兩點，若以E、F、B、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點F的左側．這樣的E，F(xiàn)兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線y1=ax2+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線y2，此拋物線的圖象與x軸交于M，N兩點（M點在N點左側）．點P是拋物線y2上的一個動點且在直線NC下方．已知點P的橫坐標為m題型05幾何圖形的折疊問題軸對稱變換問題:分折疊變換和與函數(shù)圖象有關的軸對稱變化.軸對稱變換通常有兩種情況:一是題目的背景圖形是軸對稱圖形，二是題目的背景不是軸對稱圖形時，要善于發(fā)現(xiàn)和運用其中的軸對稱的性質，如把軸對稱和等腰三角形結合起來，找出軸對稱特征并探索出規(guī)律，達到解決問題的目的.折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．【解題思路】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關系，借助勾股定理建立關系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數(shù)學思想方法．1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應點記為B'，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)【活動猜想】（1）如圖2，當點B'與點D重合時，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：【問題解決】（2）如圖3，當AB=4，AD=8，BF=3時，求證：點A'，B【深入探究】（3）如圖4，當AB與BC滿足什么關系時，始終有A'B'與對角線（4）在（3）的情形下，設AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B'D，EF2．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖1，在?ABCD紙片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，點E為BC邊上的一點（點E不與點C重合），連接AE，將?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點C，D的對應點分別為C'、D

(1)求證：AF=(2)如圖2，當EF⊥AF時，DF的長為(3)如圖3，當CE=2時，過點F作FM⊥AE，垂足為點M，延長FM交C'D'于點N，連接3．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質．已知AB=AC,∠A>90°，點E為AC獨立思考：小明：“當點D落在BC上時，∠EDC=2∠小紅：“若點E為AC中點，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”實踐探究：奮進小組的同學們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC（1）如圖1，當點D落在BC上時，求證：∠EDC（2）如圖2，若點E為AC中點，AC=4,CD=3問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=4．（2022·河南·中考真題）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關系，并說明理由．(3)拓展應用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．題型06與函數(shù)圖象有關的軸對稱變化1．（2022·四川巴中·中考真題）函數(shù)y=ax2+bx+ca①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④將圖象向上平移A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④2．（2023·四川德陽·中考真題）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(-4,0)，B(2,0)，與y軸交于點

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內的直線y=kx+6(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點D，與拋物線的交點分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點H，過點F作FG⊥CH于點G，若DFHG3．（2023·山東日照·中考真題）在平面直角坐標系xOy內，拋物線y=-ax2+5ax+2a>0交y

(1)求點C，D的坐標；(2)當a=13時，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），點P為直線AD上方拋物線上一點，將直線PD沿直線AD翻折，交x軸于點M(3)坐標平面內有兩點E1a,a+1①若a=1，求正方形EFGH②當正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為52時，求a4．（2022·遼寧沈陽·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點B6,0和點D4,-3與(1)①求拋物線的函數(shù)表達式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達式．(2)點E是直線AD下方拋物線上一點，連接BE交AD于點F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(3)點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為C1，點C的對應點C'，點G的對應點G'，將曲線C1，沿y軸向下平移n個單位長度（0<n<6）．曲線C1與直線BC的公共點中，選兩個公共點作點P題型07幾何圖形的旋轉變化旋轉變換問題:分為幾何圖形旋轉變換和與函數(shù)圖象有關的旋轉變化.在實際解題中，若我們能恰當?shù)剡\用圖形的旋轉變換，往往能起到集中條件、開闊思路、化難為易的效果，圖形的旋轉變換，既要借助于推理，但更要借助于直覺和觀察，變換的意識與變換的視角，會使這種直覺更敏銳，使這種觀察更具眼力.1．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉三角尺時，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線分別相交于點M，N，連接MN，可得△CMN

【探究一】如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉90°得到△CBH，同時得到點H在直線AB上．求證：【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點E，F(xiàn)．求證：△CEF【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點E，F(xiàn)．連接AC交BD于點O，求EFNM2．（2023·湖南·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，D為AB上的一點，過點D作BC的平行線DE交AC于點E，點P是線段DE上的動點（點P不與D、E重合）．將△ABP繞點A逆時針方向旋轉60°，得到△ACQ，連接EQ、

(1)證明：在點P的運動過程中，總有∠PEQ(2)當APDP為何值時，△3．（2022·山東濟南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為_______；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．題型08與函數(shù)圖象有關的旋轉變化1．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=12x與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點A，AB⊥x軸于點（1）求OB的長和反比例函數(shù)的解析式；（2）將△AOB繞點О旋轉90°，請直接寫出旋轉后點A的對應點A'2．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A(1,4)，且與x軸交于點B(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P(m,0)旋轉180°，此時點A、B的對應點分別為點C①連結AB、BC、CD、②在①的條件下，若點M是直線x=m上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點3．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=13x2+bx+c

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)點E，G在y軸正半軸上，OG=2OE，點D在線段OC上，OD=3OE．以線段OD，OE為鄰邊作矩形①連接FC，當△GOD與△FDC相似時，求②當點D與點C重合時，將線段GD繞點G按逆時針方向旋轉60°后得到線段GH，連接FH，F(xiàn)G，將△GFH繞點F按順時針方向旋轉α(0°<α≤180°)后得到△G'FH'，點G，H的對應點分別為G'、4．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數(shù)y=-3x2+23x的圖象與x軸分別交于點O,A，頂點為B．連接OB,AB，將線段AB繞點A按順時針方向旋轉60°得到線段AC，連接BC

(1)求點A,(2)隨著點E在線段BC上運動．①∠EDA②線段BF的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當線段DE的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，△BDE的面積為題型09利用平移、軸對稱、旋轉的性質解決多結論問題1．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合．DE交BC于點F，交AB延長線于點E．DQ交BC于點P，DM⊥AB于點M，AM=4，則下列結論，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④2．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結CE．下列結論：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，則CFAF=45；④在△A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點C逆時針旋轉90°至△HBC，點D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點G，延長HE與CD的延長線交于點F，HB=2①∠EDC=135°；②EC2=CD?CF；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點P在對角線BD上，過點P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點M，N，過點M作ME⊥AD交BD于點E，連接EN，BM，DN．下列結論：①EM=EN；②

題型10與圖形變化有關的最值問題1．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，點P是邊AD上一點（不與點A，D重合），連接PB，PC．點M，N分別是PB，PC的中點，連接MN，AM，DN，點E在邊

A．23 B．3 C．32 D2．（2023·湖北十堰·中考真題）在某次數(shù)學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC∠A=90°硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點，G，H分別為DE，BF的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為

3．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長的最小值是

4．（2023·四川自貢·中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M，N分別是斜邊DE，AB的中點，DE=2,

(1)將△CDE繞頂點C旋轉一周，請直接寫出點M，N(2)將△CDE繞頂點C逆時針旋轉120°（如圖2），求MN5．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當△ABC的三個內角均小于120°如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉60°得到△A'

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知由②可知，當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的已知當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”(2)如圖4，在△ABC中，三個內角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/km，a元/km，軸對稱與軸對稱圖形軸對稱軸對稱圖形圖形定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.區(qū)別1）軸對稱是指兩個圖形折疊重合.2）軸對稱對稱點在兩個圖形上.3）軸對稱只有一條對稱軸.1）軸對稱圖形是指本身折疊重合.2）軸對稱圖形對稱點在一個圖形上.3）軸對稱圖形至少有一條對稱軸.聯(lián)系1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合.2)如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形；反過來,如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分(即看成兩個圖形),那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱.性質1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.2）兩個圖形關于某直線對稱那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線.判定1）兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱.2）兩個圖形關于某條直線成軸對稱,那么對稱軸是對折重合的折痕線.常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.1.對稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.2.軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的存在多條對稱軸（例：正方形有四條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸等）.3.成軸對稱的兩個圖形中的任何一個都可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換得到的，一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎,經(jīng)軸對稱變換得到的.4.軸對稱的性質是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據(jù)之一,例如:若已知兩個圖形關于某直線成軸對稱,則它們的對應邊相等,對應角相等.中心對稱與中心對稱圖形：中心對稱中心對稱圖形圖形定義如果一個圖形繞某點旋轉180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱.如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.區(qū)別中心對稱是指兩個圖形的關系中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形聯(lián)系兩者可以相互轉化，如果把中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱.中心對稱的性質：1）中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；中心對稱的兩個圖形是全等圖形.找對稱中心的方法和步驟：方法1：連接兩個對應點，取對應點連線的中點，則中點為對稱中心.方法2：連接兩個對應點，在連接兩個對應點，兩組對應點連線的交點為對稱中心.平移的三大要素：1）平移的起點，2）平移的方向，3）平移的距離．平移的性質：1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個圖形全等.2）平移前后對應線段平行且相等、對應角相等.3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應點之間的距離就是平移的距離.旋轉的三大要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度．旋轉的性質：1）對應點到旋轉中心的距離相等；2）每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；3）旋轉前后的圖形全等．1.圖形的旋轉由旋轉中心、旋轉方向與旋轉的角度所決定.2.旋轉中心可以是圖形外的一點，也可以是圖形上的一點，還可以是圖形內的一點.3.對應點之間的運動軌跡是一段圓弧，對應點到旋轉中心的線段就是這段圓弧所在圓的半徑.4.旋轉是一種全等變換，旋轉改變的是圖形的位置，圖形的大小關系不發(fā)生改變，所以在解答有關旋轉的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質的運用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關系起著關鍵的作用．一、單選題1．（2023·山西呂梁·模擬預測）在我國“福祿壽喜”一般是指對人的祝福，代表健康長命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表著物質生活的順利又代表著精神生活的滿足．下圖是“福祿壽喜”變形設計圖，其中是軸對稱，但不是中心對稱的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·廣東肇慶·三模）如圖，一個萬花筒圖案，其中平行四邊形FJKG變成平行四邊形FDAC，如果看成是經(jīng)過以點F為旋轉中心、旋轉角為α的旋轉移動得到的，那么α的度數(shù)為（）

A．60° B．120°C．180° D．以上答案都不對3．（2023·江蘇宿遷·二模）點Am,n在直線L1:y=2x-2上，將直線L1繞點AA．1 B．133 C．1或0 D．1或4．（2023·福建廈門·模擬預測）如圖，一套三角板沿著它們的斜邊疊放在一起，記其中一個三角板為△ABC，∠ACB=30°．記AB=6，將△ABC繞點A順時針旋轉α°

A．332π B．212π C．5．（2023·廣東佛山·三模）如圖，在Rt△BDF中，∠BDF=90°，∠F=30°，DC是BF邊上的中線，把線段CD沿著CB方向平移到點B，使得點C與點B重合，連接AD，AC，AC與BD相交與點O，則下列結論：①四邊形ABCD為菱形；②OC=12DF；

A．4 B．3 C．2 D．16．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一點，將菱形ABCD沿DE折疊，使B、C的對應點分別是B'、C'，當∠BEB

A．5+5 B．25+2 C．67．（2023·湖南懷化·模擬預測）如圖，已知反比例函數(shù)y=2x與一次函數(shù)y=-x+3的圖象交于A、B兩點，P為y軸上一動點，連接PA、PB，當

A．1 B．32 C．43 D8．（2023·河北石家莊·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠A=45°，∠B>∠C．P為BC邊上一動點（包含端點），分別作點P關于AB，AC所在直線的對稱點D，E，連接DE交AB，甲說：DE最大值為2AC乙說：DF丙說：當BP=DF時，四邊形下列判斷正確的是（

）A．甲乙丙都對 B．甲丙對，乙錯 C．甲乙對，丙錯 D．乙丙對，甲錯二、