4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(基礎(chǔ)知識+基本題型)(含解析)-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點(diǎn)課堂(人教A版2019選擇性必修第二冊)_第1頁
4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(基礎(chǔ)知識+基本題型)(含解析)-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點(diǎn)課堂(人教A版2019選擇性必修第二冊)_第2頁
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倒賣拉黑,關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑,關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(基礎(chǔ)知識+基本題型)知識點(diǎn)一等差數(shù)列前項(xiàng)和公式1.等差數(shù)列前項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式2.等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)為,,,...,,,,.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得.①再把各項(xiàng)的次序反過來,又可以寫成.②將①②兩邊分別相加,得.所以.這就是等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,我們將這種求和的方法叫做倒序相加法,將代入上式,得.故等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,.◢拓展◣(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式共涉及5個(gè)量:,,,,,其中和稱為基本量.如果等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差已知,那么此數(shù)列完全確定,因此等差數(shù)列中不少問題都可以轉(zhuǎn)化為求基本量和的問題.(2)三個(gè)公式中有2個(gè)參數(shù)(即,)和3個(gè)變量(即,,).如果給出其中任意3個(gè)量,那么就可以通過聯(lián)立方程組求出另外2個(gè)量,聯(lián)立方程組并解方程組是等差數(shù)列的基本解題方法.(3)當(dāng)已知首項(xiàng),末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)時(shí),用公式求前項(xiàng)和,用此公式時(shí),有時(shí)要結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì);當(dāng)已知首項(xiàng),公差及項(xiàng)數(shù)時(shí),用公式求前項(xiàng)和.知識點(diǎn)二等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.若令,,則上式可寫成,即是關(guān)于項(xiàng)數(shù)的函數(shù).(1)當(dāng),時(shí)(此時(shí),),是關(guān)于的常數(shù)函數(shù);(2)當(dāng),時(shí)(此時(shí),),是關(guān)于的一次函數(shù)(正比例函數(shù));(3)當(dāng),時(shí)(此時(shí)),是關(guān)于的二次函數(shù).前項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系列表如下:區(qū)別聯(lián)系定義域?yàn)閳D象是一系列孤立的點(diǎn)(1)解析式是二次式;(2)的圖象是拋物線上的一系列點(diǎn)定義域?yàn)閳D象是一條光滑的拋物線◢拓展◣求等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值有兩種方法:(1)由二次函數(shù)的最值特征得解.由二次函數(shù)的最大值、最小值知識及,知當(dāng)取得接近的正整數(shù)時(shí),取到最大值(或最小值).值得注意的是最接近的正整數(shù)有時(shí)有1個(gè),有時(shí)有2個(gè).(2)確定前項(xiàng)和的最大值和最小值.①當(dāng),時(shí),若則最大;若則和最大.②當(dāng),時(shí),若則最??;若則和最?。R點(diǎn)三等差數(shù)列前項(xiàng)和的主要性質(zhì)1.項(xiàng)數(shù)(下標(biāo))的“等和”性質(zhì):2.項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì):等差數(shù)列中,公差為:①若共有項(xiàng),則;;.②若共有項(xiàng),則;;.3.“片段和”性質(zhì):等差數(shù)列中,公差為,前項(xiàng)的和為,則,,,...,,...構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.◢拓展◣(1)對性質(zhì)“若數(shù)列有項(xiàng),則;;”的證明當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)為時(shí),,所以.因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的首項(xiàng)為,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列;奇數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)為,奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列,且項(xiàng)數(shù)都為,所以,.所以,.(2)對“片段和”性質(zhì)的證明設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,,.又因?yàn)闉閿?shù)列第項(xiàng)到第項(xiàng)這項(xiàng)的和,所以.同理,...,,...,所以,,,...,,...構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為.考點(diǎn)一與等差數(shù)列前項(xiàng)和有關(guān)的基本計(jì)算例1已知數(shù)列為等差數(shù)列,其前項(xiàng)和記為.(1)若,則;(2)若等差數(shù)列的公差,,求.解:(1)因?yàn)?,所以.?)由,解得.故.一般地,對于等差數(shù)列的五個(gè)量:,,,,,知道其中任意三個(gè)量,通過解方程組可以求得另外兩個(gè)量,即“知三求二”.對此類問題,注意利用等差數(shù)列的性質(zhì)以簡化計(jì)算過程.例2在等差數(shù)列中,,.求數(shù)列的前項(xiàng)和解:由,,知等差數(shù)列的公差,所以.由,知,即,故中前項(xiàng)是負(fù)數(shù),從第項(xiàng)起為非負(fù)數(shù).設(shè)和分別表示和的前項(xiàng)和.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.綜上可知,.對于含有絕對值的問題,首先要考慮去絕對值號,所以需要由不等式組或來找出滿足條件的臨界值.考點(diǎn)二等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問題例3數(shù)列是等差數(shù)列,,.(1)從第幾項(xiàng)開始有?(2)求此數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.解:(1)因?yàn)椋?,所以.令,則.由于,故當(dāng)時(shí),,即從第項(xiàng)開始各項(xiàng)均小于.(2)方法1:.當(dāng)取接近于的自然數(shù),即時(shí),取到最大值.方法2:因?yàn)椋?,由?),知,,所以,且.所以.解決此類問題有兩種思路:一是利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可用配方法求最值,也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值;二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,當(dāng)時(shí),數(shù)列一定為遞增數(shù)列,當(dāng)時(shí),數(shù)列一定為遞減數(shù)列.所以當(dāng),且時(shí),無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值,其最大值是所有非負(fù)項(xiàng)的和;當(dāng),且時(shí),無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值,其最小值是所有非正項(xiàng)的和,求解非負(fù)項(xiàng)是哪一項(xiàng)時(shí),只要令即可.考點(diǎn)三等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例4項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)之和為,偶數(shù)項(xiàng)之和為,求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).分析:根據(jù)等差數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依次仍成等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)依次仍成等差數(shù)列可求解.解:設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng),則奇數(shù)項(xiàng)有個(gè),偶數(shù)項(xiàng)有個(gè),中間項(xiàng)是第項(xiàng),即,所以,解得.又因?yàn)椋裕蔬@個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)為,共有(項(xiàng)).此類問題的常規(guī)解法是先通過構(gòu)造方程組,求得數(shù)列的基本量,再代入求解,運(yùn)算量較大.若運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解,則可化簡計(jì)算,優(yōu)化解題過程.例5已知,是兩個(gè)等差數(shù)列,且滿足,求.分析:,分別為等差數(shù)列,的前項(xiàng)和,因此可利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式或其他相關(guān)性質(zhì)解答.解:方法1:設(shè)等差數(shù)列,的公差分別為,,則,所以.①又因?yàn)椋谟^察①②,可在①中取,得.故.方法2:設(shè),的前項(xiàng)和分別為,,則有,其中.由于,即,故.同理,.故.故.方法3:設(shè),的前項(xiàng)和分別為,.因?yàn)榈炔顢?shù)列的前前項(xiàng)和,根據(jù)已知,可令,.所以..所以.若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,則由結(jié)論:.考點(diǎn)四等差數(shù)列前項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用例6某單位用分期付款的方式為職工購買套住房,共需萬元,購買當(dāng)天先付萬元,以后每月這一天都交付萬元,并加付欠款利息,月利率為.若交付萬元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月,則分期付款的第個(gè)月應(yīng)付多少錢?全部按期付清后,買這套房實(shí)際花了多少錢?分析:設(shè)每次付款數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列設(shè)每次付款數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列判斷此數(shù)列為等差數(shù)列結(jié)論求求首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)解:因?yàn)橘彿繒r(shí)先付萬元,所以欠款為萬元.依題意,知分次付款.設(shè)每次付款數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列,則,,,,所以.所以是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.所以.因?yàn)?,所以.所以?shí)際共付(萬元),所以第個(gè)月應(yīng)付萬元,實(shí)際共付萬元.應(yīng)用等差數(shù)列解決實(shí)際問題的一般思路:(1)根據(jù)題設(shè)條件,建立數(shù)學(xué)模型:①分析實(shí)際問題的結(jié)構(gòu)特征;②找出所含元素的數(shù)列關(guān)系;③確定為何種數(shù)學(xué)模型.(2)利用相關(guān)的數(shù)列知

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