4.2.2 等差數(shù)列的前n項和公式(基礎(chǔ)知識+基本題型)(含解析)-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點課堂(人教A版2019選擇性必修第二冊)_第1頁
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倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式(基礎(chǔ)知識+基本題型)知識點一等差數(shù)列前項和公式1.等差數(shù)列前項和公式已知量首項、末項與項數(shù)首項、公差與項數(shù)求和公式2.等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)設(shè)等差數(shù)列的各項為,,,...,,,,.由等差數(shù)列的通項公式,得.①再把各項的次序反過來,又可以寫成.②將①②兩邊分別相加,得.所以.這就是等差數(shù)列的前項和公式,我們將這種求和的方法叫做倒序相加法,將代入上式,得.故等差數(shù)列的前項和公式為,.◢拓展◣(1)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式共涉及5個量:,,,,,其中和稱為基本量.如果等差數(shù)列的首項與公差已知,那么此數(shù)列完全確定,因此等差數(shù)列中不少問題都可以轉(zhuǎn)化為求基本量和的問題.(2)三個公式中有2個參數(shù)(即,)和3個變量(即,,).如果給出其中任意3個量,那么就可以通過聯(lián)立方程組求出另外2個量,聯(lián)立方程組并解方程組是等差數(shù)列的基本解題方法.(3)當(dāng)已知首項,末項及項數(shù)時,用公式求前項和,用此公式時,有時要結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì);當(dāng)已知首項,公差及項數(shù)時,用公式求前項和.知識點二等差數(shù)列的前項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前項和公式.若令,,則上式可寫成,即是關(guān)于項數(shù)的函數(shù).(1)當(dāng),時(此時,),是關(guān)于的常數(shù)函數(shù);(2)當(dāng),時(此時,),是關(guān)于的一次函數(shù)(正比例函數(shù));(3)當(dāng),時(此時),是關(guān)于的二次函數(shù).前項和與二次函數(shù)的關(guān)系列表如下:區(qū)別聯(lián)系定義域為圖象是一系列孤立的點(1)解析式是二次式;(2)的圖象是拋物線上的一系列點定義域為圖象是一條光滑的拋物線◢拓展◣求等差數(shù)列的前項和的最值有兩種方法:(1)由二次函數(shù)的最值特征得解.由二次函數(shù)的最大值、最小值知識及,知當(dāng)取得接近的正整數(shù)時,取到最大值(或最小值).值得注意的是最接近的正整數(shù)有時有1個,有時有2個.(2)確定前項和的最大值和最小值.①當(dāng),時,若則最大;若則和最大.②當(dāng),時,若則最小;若則和最?。R點三等差數(shù)列前項和的主要性質(zhì)1.項數(shù)(下標(biāo))的“等和”性質(zhì):2.項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì):等差數(shù)列中,公差為:①若共有項,則;;.②若共有項,則;;.3.“片段和”性質(zhì):等差數(shù)列中,公差為,前項的和為,則,,,...,,...構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.◢拓展◣(1)對性質(zhì)“若數(shù)列有項,則;;”的證明當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)為時,,所以.因為偶數(shù)項的首項為,偶數(shù)項構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列;奇數(shù)項的首項為,奇數(shù)項構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列,且項數(shù)都為,所以,.所以,.(2)對“片段和”性質(zhì)的證明設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,則,,.又因為為數(shù)列第項到第項這項的和,所以.同理,...,,...,所以,,,...,,...構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為.考點一與等差數(shù)列前項和有關(guān)的基本計算例1已知數(shù)列為等差數(shù)列,其前項和記為.(1)若,則;(2)若等差數(shù)列的公差,,求.解:(1)因為,所以.(2)由,解得.故.一般地,對于等差數(shù)列的五個量:,,,,,知道其中任意三個量,通過解方程組可以求得另外兩個量,即“知三求二”.對此類問題,注意利用等差數(shù)列的性質(zhì)以簡化計算過程.例2在等差數(shù)列中,,.求數(shù)列的前項和解:由,,知等差數(shù)列的公差,所以.由,知,即,故中前項是負(fù)數(shù),從第項起為非負(fù)數(shù).設(shè)和分別表示和的前項和.當(dāng)時,.當(dāng)時,.綜上可知,.對于含有絕對值的問題,首先要考慮去絕對值號,所以需要由不等式組或來找出滿足條件的臨界值.考點二等差數(shù)列的前項和的最值問題例3數(shù)列是等差數(shù)列,,.(1)從第幾項開始有?(2)求此數(shù)列的前項和的最大值.解:(1)因為,,所以.令,則.由于,故當(dāng)時,,即從第項開始各項均小于.(2)方法1:.當(dāng)取接近于的自然數(shù),即時,取到最大值.方法2:因為,,由(1),知,,所以,且.所以.解決此類問題有兩種思路:一是利用等差數(shù)列的前項和公式,可用配方法求最值,也可用頂點坐標(biāo)法求最值;二是依據(jù)等差數(shù)列的通項公式,當(dāng)時,數(shù)列一定為遞增數(shù)列,當(dāng)時,數(shù)列一定為遞減數(shù)列.所以當(dāng),且時,無窮等差數(shù)列的前項和有最大值,其最大值是所有非負(fù)項的和;當(dāng),且時,無窮等差數(shù)列的前項和有最小值,其最小值是所有非正項的和,求解非負(fù)項是哪一項時,只要令即可.考點三等差數(shù)列的前項和性質(zhì)的應(yīng)用例4項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項之和為,偶數(shù)項之和為,求這個數(shù)列的中間項及項數(shù).分析:根據(jù)等差數(shù)列中的奇數(shù)項依次仍成等差數(shù)列,偶數(shù)項依次仍成等差數(shù)列可求解.解:設(shè)等差數(shù)列共有項,則奇數(shù)項有個,偶數(shù)項有個,中間項是第項,即,所以,解得.又因為,所以.故這個數(shù)列的中間項為,共有(項).此類問題的常規(guī)解法是先通過構(gòu)造方程組,求得數(shù)列的基本量,再代入求解,運算量較大.若運用等差數(shù)列前項和的性質(zhì)求解,則可化簡計算,優(yōu)化解題過程.例5已知,是兩個等差數(shù)列,且滿足,求.分析:,分別為等差數(shù)列,的前項和,因此可利用等差數(shù)列前項和公式或其他相關(guān)性質(zhì)解答.解:方法1:設(shè)等差數(shù)列,的公差分別為,,則,所以.①又因為,②觀察①②,可在①中取,得.故.方法2:設(shè),的前項和分別為,,則有,其中.由于,即,故.同理,.故.故.方法3:設(shè),的前項和分別為,.因為等差數(shù)列的前前項和,根據(jù)已知,可令,.所以..所以.若兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和,則由結(jié)論:.考點四等差數(shù)列前項和的實際應(yīng)用例6某單位用分期付款的方式為職工購買套住房,共需萬元,購買當(dāng)天先付萬元,以后每月這一天都交付萬元,并加付欠款利息,月利率為.若交付萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月,則分期付款的第個月應(yīng)付多少錢?全部按期付清后,買這套房實際花了多少錢?分析:設(shè)每次付款數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列設(shè)每次付款數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列判斷此數(shù)列為等差數(shù)列結(jié)論求求首項、公差、項數(shù)、末項解:因為購房時先付萬元,所以欠款為萬元.依題意,知分次付款.設(shè)每次付款數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列,則,,,,所以.所以是以為首項,以為公差的等差數(shù)列.所以.因為,所以.所以實際共付(萬元),所以第個月應(yīng)付萬元,實際共付萬元.應(yīng)用等差數(shù)列解決實際問題的一般思路:(1)根據(jù)題設(shè)條件,建立數(shù)學(xué)模型:①分析實際問題的結(jié)構(gòu)特征;②找出所含元素的數(shù)列關(guān)系;③確定為何種數(shù)學(xué)模型.(2)利用相關(guān)的數(shù)列知

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