2024屆江西省寧都中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆江西省寧都中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

B.4

3

C.旦

D.5

3

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計劃去A、B、。三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)

至少一人,其中甲必須去A社區(qū)，乙不去8社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.8B.7C.6D.5

X+]

3.函數(shù)=（0<?<1）的圖象的大致形狀是（）

4.若集合A={xwN|x=面},a=2亞,則下列結(jié)論正確的是（）

A.{a}cAB.a^AC.{a\eAD.aeA

5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（l,4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B,0.3C.0.7D.0.8

6.在精準扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工

作，則不同的選法共有（）

A.60種B.70種C.75種D.150種

7.已知f（x）=Acos（5+0）（A>Qo>O，Mkg,x￡A的部分圖象如圖所示，則/（%）的表達式是（）

\乙）

B.2cosL+-

l4J

3

D.2cos

—2x---4-J

8.已知函數(shù)/（x）=1o?+x2（a>。）.若存在實數(shù)/￡（—1,0）,且小工―；，使得“X。）=/（—；）,則實數(shù)。的取

值范圍為（）

221c1Q

A.（一,5）B.（一,3）D（3,5）C.（—,6）D.（一,4）D（4,6）

3377

9.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)4=2+i,z-z,=5,則|z|二

A.1B.x/5

C.5D.575

10.已知隨機變量M的分布列如下表:

X-101

pabc

其中。，瓦c＞0.若X的方差0(X)41對所有4?(),1-〃)都成立，則()

1212

A.b￡—B.b—C.bN—D.b2一

3333

11.一個超級斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項起，每一項都等于前面所有項之和(例如3,4,

8,16…).則首項為2,某一項為2020的超級斐波那契數(shù)列的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

12.在AA3C中，。為AC的中點，E為A8上靠近點4的三等分點，且BD,CE相交于點尸，則AP=()

2-11.1

A.—ABH—ACB.—AB4—AC

3224

C.—ABT—ACD.—AB—AC

2333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標系工?！分校瑘AC:(x—機)2+)，2=，(帆＞o).已知過原點。且相互垂直的兩條直線4和/?,其中4

與圓C相交于A,8兩點，，2與圓。相切于點。?若A3=OD,則直線4的斜率為.

14.記S”為數(shù)列｛(｝的前〃項和，若〃〃二才一1,貝IJS,=.

15.已知四棱錐尸-A3a＞的底面是邊長為2的正方形，且4力3=9()。.若四棱錐尸的五個頂點在以4

為半徑的同一球面上，當以最長時，則/PQ4=:四棱錐A4BCO的體積為.

16.己知函數(shù)/*)=/(x+l)2,令/(x)=7'(x),九］*)=/：(x)(〃wN‘)，若＜(x)=，(a/2+ax+q3M

表示不超過實數(shù)〃7的最大整數(shù)，記數(shù)列＜的前〃項和為S〃'則［3S2OOO］=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在二棱柱八〃C—44G中，AB=2?BC=BB「4,AC-AB、-25且N6CG=60。.

(1)求證：平面ABG_L平面BCC/；

(2)設(shè)二面角C-4G-3的大小為e,求sine的值.

18.(12分)已知函數(shù)/(力=泥'+/+以+仇曲線)，=”“在點(OJ(O))處的切線方程為4/-2y-3=0

(1)求。，力的值；

(2)證明：/(x)>lnx.

19.(12分)如圖，在四棱錐尸—A3CD中，側(cè)棱PA_L底面A3CQ,ADUBC,ABC=90,AD=\,

PA=AB=BC=2,M是棱依中點.

(1)己知點E在棱BC上,且平面AME//平面PC。，試確定點E的位置并說明理由；

(2)設(shè)點N是線段C。上的動點，當點N在何處時，直線MN與平面A48所成角最大？并求最大角的正弦值.

20.(12分)已知,且ab》cd.

(1)請給出出的一組值，使得。+2(c+d)成立；

(2)證明不等式+d恒成立.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=l+ln('+l)(x>0).

X

(1)若f(x)>—J恒成立，求整數(shù)k的最大值；

X+1

(2)求證：(1+1X2)-(1+2X3)[l+/7x(/7+l)]>e2n-3.

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=(l+"2)/+乙一1(其中XE(O,+8)),且函數(shù)/(幻在x=2處的切線與直線

(e2+2)x—)，=O平行.

(1)求上的值;

(2)若函數(shù)g(x)=-xlnx,求證：/(x)>g(x)恒成立.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中，利用體積分割求解即可.

【詳解】

如圖，三棱錐的直觀圖為4-CRE,體積

匕-CQE=%方儂%~^BBiE-AAlF~^E-ABC~^E-CCxr\一%-/肛尸一%-ADC

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了錐體的體積的求解，利用的體積分割的方法，考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.

2、B

【解析】

根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（T）;A（甲，乙）B（T）C（丙）；A（甲，丙）B（T）C（乙）；

A（甲，?。〣（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（T）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁,

乙）；共7種，選B.

3、C

【解析】

對X分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.

【詳解】

Tog’D，v<-l,

X+1

log”犬，x>0.

故選C.

【點睛】

識圖常用的方法

（1）定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征分析解決問題;

⑵定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；

⑶函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

4、D

【解析】

由題意）={X￡N|,E=J2020}=0,分析即得解

【詳解】

由題意4={XEN|X=12020}=0,故。gA,A^{a}

故選：D

【點睛】

本題考杳了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出P（X<0）=P（X>2）,進而可得出結(jié)果.

【詳解】

???x7V（1,4）,所以，P（X<0）=P（X>2）=03.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

根據(jù)題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計數(shù)原

理計算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有C；=15種取法，

從5名女干部中選出1名女干部，有C；=5種取法，

則有15x5=75種不同的選法；

故選：C.

【點睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

/\

由圖象求出A以及函數(shù)），=/（x）的最小正周期丁的值，利用周期公式可求得切的值，然后將點2的坐標代入函

數(shù)）'=/"）的解析式，結(jié)合。的取值范圍求出夕的值，由此可得出函數(shù)），=/（x）的解析式.

【詳解】

由圖象可得4=2,函數(shù)的最小正周期為7=2x］：?-?=?，.?.口=字='.

將點自2）代入函數(shù)，=/（"的解析式得，?）=2COS（；X?+Q）=2,得COS8+?,=1'

7T7T71兀371a71c71

---<69<一,/.<0+—<,貝!=0,：.①=---,

2244444

因此，/（^）=2cos-.

I247

故選：D.

【點睛】

本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

8、D

【解析】

首先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)

果.

【詳解】

22

f\x）=ax+2xf令f\x）=0,得$=09%2-—■

a

其單調(diào)性及極值情況如下：

(2)2

X一8,——0（0,+8）

ka)a

/'3+0一0+

極小

“X)z極大值、/

值

4-；，0;使得/(見)=/|

若彳?在X?！?

<-2>

”_2<-1

2

_2-312

則，>-1（如圖1）或—<—<—(如皆32).

a2a

/H)<:建)

于是可得亍,4ju（4,6）,

故選：D.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,

畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.

9、B

【解析】

由ZR=5可得z=9,所以|z|=R="三=2=石，故選B.

4|zj|2+i|J5

10、D

【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望，方差，再利用〃+/升。=1將方差變形為O(X)=-4(〃-寧)+1-仇從而可以利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為1-/?</進而得出結(jié)論.

【詳解】

由X的分布列可得X的期望為E(X)=-a+c,

又4+/?+C=1,

所以X的方差￡>(X)=(-1+4-Q+(4-C)2Z?+(1+^-C)2C

=(￡7-C|2(?4-Z?+C)-2(67-C)2+4+C

=-(6Z-C)-+〃+C

=-(2a-\+h)2+l-b

(—Y.,

=-4Aa-------+\-b

I2J9

因為所以當且僅當〃時,。(X)取最大值”仇

又o(x)w：對所有。?0,1-與成立，

所以1一人工!,解得力之名，

33

故選:D.

【點睛】

本題綜合考查了隨機變量的期望、方差的求法，結(jié)合了概率、二次函數(shù)等相關(guān)知識，需要學(xué)生具備一定的計算能力,屬于中

檔題.

11>A

【解析】

根據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項并等于2020.結(jié)合〃的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個數(shù).

【詳解】

由題意可知首項為2,設(shè)第二項為則第三項為2+Z,第四項為2（2+1）,第五項為22（2+7）…第n項為

2"-3（2+f）,〃、feN*,且〃之3,

貝lj2〃-3（2+f）=2020,

因為2020=22x5x101，

當〃—3的值可以為0』,2；

即有3個這種超級斐波那契數(shù)列，

故選：A.

【點睛】

本題考杳了數(shù)列新定義的應(yīng)用，注意自變量的取值范圍，對題意理解要準確，屬于中檔題.

12、B

【解析】

3x

設(shè)AP=.xA8+），AC,則AP=xA8+2），AO,AP=—AE+yACt

3x

由8,Pt。三點共線，C,尸，E三點共線,可知為+2y=l,萬+y=l,解得乂）即可得出結(jié)果.

【詳解】

________—?3%

設(shè)AP=xA8+yAC,則AP=+2）乂。，AP=AE+yAC,

因為5,P,。三點共線，C,P,￡三點共線，

3xII

所以x+2），=l,=+y=i,所以X=/,y=-.

故選:B.

【點睛】

本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、土述

5

【解析】

設(shè)4：kJ.-y=Ofl2：x+抬，=0,利用點到直線的距離，列出式子

,求出女的值即可.

【詳解】

解：由原C:(x—w『+y2一/可知圓心C(J小0),半徑為尸.

設(shè)直線4：米-y=0,則6：x+ky=0f

圓心。(皿,0)到直線4的距離為

OD=d病一產(chǎn)，AB=OD

「?AB=\j府一產(chǎn)?

圓心。(皿,0)到直線〃的距離為半徑，即衣寸

解得女=±2叵.

5

故答案為：士撞.

5

【點睛】

本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結(jié)合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔題.

14、-254

【解析】

利用%=s〃—S“T(〃>2)代入即可得到S”-2=2(5^-2)(,7>2),即｛S.一2｝是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項

公式計算即可.

【詳解】

由己知外=；1,得%=；1,即S.S,I=：’1,所以S”—2=2(S,i—2)5'2)

匕乙乙

又4二2一1,即鳥二一2,W—2=Y,所以｛，-2｝是以.4為首項，2為公比的等比數(shù)

列，所以所_2=-4X2"T,即Sn=2-2叫所以$7=2-28=-254。

故答案為：-254

【點睛】

本題考查已知S“與巴的關(guān)系求S”，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道中檔題.

15、90°

3

【解析】

易得A8_L平面力。，尸點在與BA垂直的圓面。?內(nèi)運動，顯然，PA是圓。1的直徑時，PA最長；將四棱錐P-ABCD

補形為長方體易得心為球的直徑即可得到尸"從而求得四棱錐的體積.

【詳解】

如圖，由NB48=90"及/WJ_AP,得AB_L平面出。，

即P點在與BA垂直的圓面01內(nèi)運動，

易知，當尸、。］、A三點共線時，以達到最長，

此時，以是圓。1的直徑，貝!)NPD4=90;

又ABSD,所以PD_L平面A8c。，

此時可將四棱錐P-ABCD補形為長方體4B?P_ABCD,

其體對角線為"=2足=8,底面邊長為2的正方形，

易求出，高PD=2屈,

故四棱錐體積丫=3、4、2E=半.

故答案為：(1)90°；(2)二一,

3

【點睛】

本題四棱錐外接球有關(guān)的問題，考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.

16、4

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算，結(jié)合數(shù)列的通項公式的求法，求得4〃=1,a=2〃+l,g="+〃+l,進而得到==,

再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=/(x+l)2,且工(%)=/'(%),fn+iM=f'(x)(neN*),

可得/。)=f\x)=e'，+4x+3),f2(x)=f\x)=e'(F+6x+7)

x2x2

f3(x)=f；(x)=e(x+8x+13),f4(x)=f；｛x)=e(x+10x+21),

又由/；(.T)="(a〃x2+〃d+c“)，可得｛4｝為常數(shù)列，且4=1,

數(shù)列也J表示首項為%公差為2的等差數(shù)列，所以2=2〃+2,

其中數(shù)列卜〃｝滿足瞑一6二4,「3-。2=6,q-R=&=2〃，

.、,、...(n—1)(4+2/!)7.

所以=q+G-q)+G_Q)++6—c\_1)=4H------------=〃“+〃+1,

、2__________2xj_________J_

以2g-b“2(/?2+7?+1)-(2/?+2)n2

11I1111*2),

又由~>-------=--------，-7<-------=----

n~/?(/?+1)nn+\n~n[n-1)n-\

可得數(shù)列｛丁二｝的前〃項和為1一:+!-:+

摘+1)223n〃+1〃+1

數(shù)列b—『｝的前〃項和為1+!一!+!一!+1_31

(n-l)n2334nn+\2n+\

24-L<s<2-L

所以數(shù)列J的前〃項和為S“，滿足1n

2%-2,〃+1〃2〃+1

1q14QQ

所以3(1-----)<38網(wǎng)<3(------),即3-一—<35,(刈<------

20012加220012001a022001

又由上〃］表示不超過實數(shù)〃?的最大整數(shù)，所以［3S2aM=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計算，以及等差數(shù)列的通項公式，累加法求解數(shù)列的通項公式，以及裂項法求數(shù)列的和

的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)巫.

4

【解析】

(1)要證明平面A8G，平面8。。產(chǎn)，只需證明ABJL平面8。。出即可；

(2)取CG的中點連接〃氏以方為原點，以BD，BB184的方向分別為X，y，z軸的正方向，建立空間直

角坐標系，分別計算平面ACC.A的法向量為〃與平面ABC1的法向量為B】C,利用夾角公式cosG^Q=百能計

算即可.

【詳解】

(1)在eA5c中，AB2+BC2=20=AC2?

所以N43C=90,即A3_L3c.

因為BC=BB[,AC=AB},AB=ABf

所以ABCWABB].

所以NABq=NA3C=90,即

又所以平面BCG4.

又Abi平面A6C1,所以平面A6a_L平面ACG修.

y

（2）由題意知，四邊形BCG片為菱形，且NBCG=60,

則BCQ為正三角形,

取CG的中點。，連接80,則BO_LCG，

以笈為原點，以BD，BB-BA的方向分別為X，Wz軸的正方向，

建立空間直角坐標系3-與立，則

5（0,0,0）,B,（0,4,0）,4（002）,C（2在-2,0）,C,（2>/3,2,0）.

設(shè)平面ACC^的法向量為〃=（戈,乂z）,

且AC=（2G,—2,—2）,CC,=（0,4,0）.

由產(chǎn)得磨—=0,取〃加的.

CC,/2=0,[4y=0,\，

由四邊形3CG4為菱形，得BG工B。；

又AB_L平面BCC",所以A8J.8C；

又ABcBC】=B,所以BC，平面ABC一

所以平面ABC,的法向量為8c=（26,-6,0）.

/-'D7^\小3c261

所以cos（4B]C）=-~，=—/=-=-.

歷|?||B,C|473X24,

故sin。=

4

【點睛】

本題考杳面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時，關(guān)鍵是點的坐標要寫準確,

本題是一道中檔題.

18、(1)a=1,b=—；(2)見解析

2

【解析】

分析：第一問結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點在切線上也在函數(shù)圖像上，從而建立關(guān)于。力的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)

果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，從而求得結(jié)果，二是利用

中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡化運算.

/(。)=1+咤2

詳解：(1)解：/'(x)=(x+l)/+2尢+4,由題意有,、3，解得4=1/=一大

/(0)=/?=--2

3

(2)證明：(方法一)由(1)知，/(工)=工。'+工2+工一5.設(shè)/2(%)=注'+冗2+/-1nx

3

則只需證明

/?/(x)=(x+l)ev+2x+l--=(x+l)[e'+2--,設(shè)g(x)=e'+2-，

X\A/X

則g，(力="+二>0,：.g(x)在(o,-w)上單調(diào)遞增

(I\1/|\1

43

?/g—=e+2-4<0fv-=e+2-3>0

zii\i

???士()￡—,使得*(.0)*?*"?—*0

、43)x9

且當xw(O,x0)時，g(x)<0,當xw(%+oo)時,g(x)>0

.,.當xw(O,/)時，/f(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減

當XE(M，+8)時，//(x)>0,/?(工)單調(diào)遞增

.?.〃(x)dn=〃(/)=依"+片+/_山0，由e'°+2---=0,得d=-5--2,

/7(xo)=x0-----2+x：+/-lnx)=^-x04-1-1ILV0,

\xo7

設(shè)0(x)=7+1-lar,xe—(x)=2x-l——=--------八----乙

143Jxx

.,.當時，"(無)<0,。(可在(gg)單調(diào)遞減，

??.〃(與)=以％)>?之=--+\-\n-=-+ln3>-,因此〃(x)>8

\3JJDz，

(方法二)先證當xNO時，f(x)=xex-vx2+x-->2x--即證W+V-KNO

22t

設(shè)g(.v)=工e'—x,xNO貝!jg'(R)=(x+l)e'+21-1,且g'(O)=O

gM)=(x+2)e'+2>0,.?.9")在［0,”)單調(diào)遞增，g'(x)Ng'(O)=O

「.g'(x)在［0,收)單調(diào)遞增，則當x20時，^(x)=^v+x2-x>g(0)=0

33

(也可直接分析工/+%2+X一二22工一二<=>xex+x2-x>0<=>/+x—120顯然成立)

22

3

再證2x—>lav

2

設(shè)〃(%)=2%一'|一1111,則/(力=2-L=2--,令〃(x)=0,得x=g

且當％{0,；)時，/7(%)<0,人(可單調(diào)遞減;

當時，h\x)>Ot〃(x)單調(diào)遞增.

,、3(I3

/./?(x)=2x---\nx>h—j=--+ln2>0,即2x-/>liu:

33

又/(x)=xex+x2+x-->2x-^,：.f(x)>\nx

點睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研窕函數(shù)的綜合問題，在求解的過程中，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有關(guān)

切線的問題，還有就是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可以構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題來解決，也可以借用不等式的傳遞性,

借助中間量來完成.

19、(1)E為8c中點，理由見解析；(2)當點N在線段QC靠近C的三等分點時，直線/WN與平面243所成角最

大’最大角的正弦值乎

【解析】

(1)E為BC中點，可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明ME7/PC,AE//DC,從而證明平面AME//平面PC。；

(2)以A為原點，分別以4。，AB,AP所在直線為X、)'、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出當點N在

線段。C靠近。的三等分點時，直線/WN與平面八旬所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

【詳解】

(1)E為5C中點,證明如卜：

M、E分別為中點,

..ME//PC

又MEz平面尸0cpeu平面PDC

.?.M￡7/平面PDC

又,?EC11AD,且EC=A。..?四邊形EAOC為平行四邊形，

AE//DC

同理，AE7/平面POC,又、.AEcME=E

平面AMEII平面PDC

(2)以4為原點，分別以A。，AB,AP所在直線為工、》、z軸建立空間直角坐標系

則A(0,0.0),3(020),C(2,2,0),D(l,0,0),P(0,0,2),M(0,l,l)

設(shè)直線MN與平面PA3所成角為。，DN=4OC(0S/lWl)則

MN=MA+AO+=(4+1,2%-1,-1)

取平面P43的法向量為〃=(1,0,0)則

/l+lG+l)2

sin<9=cos<MN,n>

+1尸+(24-I"]5儲―24+3

(?+1)2_-_]<5

令"+1=/41,4則5萬一24+3=5'—2'+3'O(1)2721十5一】

所以sin。W'石

7

59

當「二2=4=一時，等號成立

33

即當點N在線段0c靠近。的三等分點時，直線MN與平面以A所成角最大，最大角的正弦值空.

7

【點睛】

本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學(xué)生的直觀想象與運算求解能力.

20、(1)?=2,Z?=l,c=U=-l(答案不唯一)(2)證明見解析

【解析】

(1)找到一組符合條件的值即可；

cd

(2)由a'c'd可得(a—c)(a—")20,整理可得/+〃，兩邊同除。可得a+—2c+”,再由

a

abRcd可得〃，且，兩邊同時加。可得〃+人2a+色，即可得證.

aa

【詳解】

解析：(1)a=2,b=\,c=\,d=-1(答案不唯一)

(2)證明:由題意可知,awO,因為a'c'd,所以(cLc)(a—/)20.

所以a?~{c+d)a+cd20,即/+cd2(c+d)a.

因為，所以。+支2c+d,

a

因為ab2cd,所以b2畫,

a

cd

所以a+62a+—2c+d.

a

【點睛】

考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.

21、(1)整數(shù)女的最大值為3；(2)見解析.

【解析】

/、//\k，(x+l)+(x+l)ln(x+l)=3,/、(x+l)+(x+l)ln(x+l)

(1)將不等式〃x)〉qy變形為4——二——』——L,構(gòu)造函數(shù)/?(力=^——口——」——I,利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù))，=〃(刈的單調(diào)性并確定其最值，從而得到正整數(shù)k的最大值;

（2）根