2025屆廣東省東莞市重點(diǎn)中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆廣東省東莞市重點(diǎn)中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.2.的展開式中的系數(shù)為()A. B. C. D.3.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題:將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612424.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺莞生一日,長一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長倍?”意思是:“今有蒲草第天長高尺,蕪草第天長高尺以后,蒲草每天長高前一天的一半,蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍?”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是()(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.6.木匠師傅對一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件,則該木件的體積()A. B. C. D.7.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.8.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C.2 D.9.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且10.若均為任意實(shí)數(shù),且,則的最小值為()A. B. C. D.11.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.12.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為__________.14.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____16.在中,、的坐標(biāo)分別為,,且滿足,為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線上的定點(diǎn)在曲線外且其到上的點(diǎn)的最短距離為,試求點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時(shí),需要送維修處維修.工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個(gè)工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個(gè)數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個(gè)數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個(gè)數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天,隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個(gè)數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個(gè)維修工人每天維修元件A的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個(gè),至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)19.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若均為正實(shí)數(shù),且滿足,為的最小值,求證:.20.(12分)已知非零實(shí)數(shù)滿足.(1)求證:;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由21.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.22.(10分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.2、C【解析】由題意,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式,得展開式的通項(xiàng)為,則展開式的通項(xiàng)為,由,得,所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛:此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識與技能,屬于中低檔題,也是??贾R點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中,注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù),先求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)所求問題,通過確定未知的次數(shù),求出,將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算,從而問題可得解.3、C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。4、B【解析】

由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度,進(jìn)而可得:,解出即可得出.【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得:,解得2n=12,∴n21.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.6、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為,底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為,圓錐的高,圓錐母線,截去的底面弧的圓心角為120°,底面剩余部分的面積為,故幾何體的體積為:.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.7、B【解析】

設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.8、C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,可得時(shí),取得最大值,即,,,當(dāng)時(shí),解得,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題;據(jù)平移變換“左加右減,上加下減”的規(guī)律求解出,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí),取得最大值,求解可得實(shí)數(shù)的值.9、B【解析】

連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.10、D【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題,結(jié)合圖形,可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決,從而求得切點(diǎn)坐標(biāo),即滿足條件的點(diǎn),代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得,其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心,以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值,可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值,在曲線上取一點(diǎn),曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為,從而有,即,整理得,解得,所以點(diǎn)滿足條件,其到圓心的距離為,故其結(jié)果為,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用,考查圓的程,兩條直線垂直的斜率關(guān)系,屬中檔題.11、A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減以及采用排除法,可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),,由在遞增,所以在遞增又是增函數(shù),所以在遞增,故排除B、C當(dāng)時(shí),若,則所以在遞減,而是增函數(shù)所以在遞減,所以A正確,D錯(cuò)誤故選:A【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷,關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解,記住常用的結(jié)論:增+增=增,增-減=增,減+減=減,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,屬中檔題.12、C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷ΨQ中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、56【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.14、【解析】

如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球?yàn)殚L方體的外接球,長、寬、高分別為,計(jì)算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球?yàn)殚L方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長方體是解題的關(guān)鍵.15、80211【解析】

由,利用二項(xiàng)式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】

由正弦定理可得點(diǎn)在曲線上,設(shè),則,將代入可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解:由正弦定理得,則點(diǎn)在曲線上,設(shè),則,,又,,因?yàn)?,則,即的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生計(jì)算能力,有一定的綜合性,但難度不大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的普通方程為.的直角坐標(biāo)方程為(2)(-1,0)或(2,3)【解析】

(1)對直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程,對整理并兩邊乘以,結(jié)合,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程。(2)由(1)得:曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,由題可得:,利用兩點(diǎn)距離公式列方程即可求解?!驹斀狻拷猓海?)由消去參數(shù),得.即直線的普通方程為.因?yàn)橛郑嗲€的直角坐標(biāo)方程為(2)由知,曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)P到上的點(diǎn)的最短距離為|PQ|即,整理得,解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0)或(2,3)【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程及極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,還考查了轉(zhuǎn)化思想及兩點(diǎn)距離公式,考查了方程思想及計(jì)算能力,屬于中檔題。18、(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結(jié)果,判斷至少增加2人.【詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),a,b的值可能為:,或,或.經(jīng)計(jì)算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差,屬于中等題.19、(1)或(2)證明見解析【解析】

(1)將寫成分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),恒成立,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由解得所以的解集為或(2)由(1)可求得最小值為,即因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù),且(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”)所以,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的求法,考查利用基本不等式證明不等式,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)存在,【解析】

(1)利用作差法即可證出.(2

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