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海西市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.12.將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.3.在聲學(xué)中,聲強(qiáng)級(jí)(單位:)由公式給出,其中為聲強(qiáng)(單位:).,,那么()A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.5.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形,若,則A. B.C. D.6.在空間直角坐標(biāo)系中,四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:.假設(shè)螞蟻窩在點(diǎn),一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點(diǎn)留下信息,然后再返回點(diǎn).那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是()A. B. C. D.7.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.8.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),沿把折起,使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí),四棱錐的體積為()A. B. C. D.9.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率為,、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是().A. B.C. D.12.若集合,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.14.已知,那么______.15.已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),P為拋物線(xiàn)上的點(diǎn),且,若雙曲線(xiàn)C中心在原點(diǎn),F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),且過(guò)P點(diǎn),當(dāng)m取最小值時(shí),雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_____.16.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是,則的值等于__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商在其開(kāi)發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且米,景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米.開(kāi)發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作.設(shè).(1)用表示線(xiàn)段并確定的范圍;(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng),求的最大值.19.(12分)已知,.(1)當(dāng)時(shí),證明:;(2)設(shè)直線(xiàn)是函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn),若直線(xiàn)也與相切,求正整數(shù)的值.20.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.21.(12分)在創(chuàng)建“全國(guó)文明衛(wèi)生城”過(guò)程中,運(yùn)城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過(guò)隨機(jī)抽樣,得到參加問(wèn)卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:.組別頻數(shù)(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問(wèn)卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求;(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:①得分不低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話(huà)費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話(huà)費(fèi);②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話(huà)費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為:贈(zèng)送話(huà)費(fèi)的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問(wèn)卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話(huà)費(fèi),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式:,若,則,,22.(10分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,若同時(shí)滿(mǎn)足下列四個(gè)條件中的三個(gè):①;②;③;④.(1)滿(mǎn)足有解三角形的序號(hào)組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組,并求對(duì)應(yīng)的面積.(若所選條件出現(xiàn)多種可能,則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),分子分母同時(shí)乘以,進(jìn)而求得復(fù)數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)y=Acos(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,根據(jù)定義域求出的范圍,再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求得ω的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得的圖象,再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,∴周期,若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),∴,∴,,解得,又,解得,當(dāng)k=0時(shí),解,當(dāng)k=-1時(shí),,可得,.故答案為:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象變換及零點(diǎn)問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建不等關(guān)系式,求解可得,屬于較難題.3、D【解析】
由得,分別算出和的值,從而得到的值.【詳解】∵,∴,∴,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出,再寫(xiě)出,進(jìn)而求出.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由可得,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形,所以,故選A.6、C【解析】
將四面體沿著劈開(kāi),展開(kāi)后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開(kāi),展開(kāi)后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內(nèi)容,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過(guò)的中點(diǎn)的面的垂線(xiàn)上,又是等邊三角形,所以球心也在過(guò)的外心面的垂線(xiàn)上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.8、D【解析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn),的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過(guò)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,點(diǎn)必在上,、分別為、的中點(diǎn),則必有,,即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形,如圖:因?yàn)槭堑冗吶切?,、、分別為、、的中點(diǎn),必有,所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心,即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問(wèn)題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.9、B【解析】
首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
由已知先確定出雙曲線(xiàn)方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線(xiàn)方程為,不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支上運(yùn)動(dòng),則,當(dāng)時(shí),此時(shí),所以,,所以;當(dāng)軸時(shí),,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.11、B【解析】
由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù),由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,由此知在上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為,解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知:定義域?yàn)?,,為偶函?shù),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,由得:,解得:或,的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題;奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱(chēng)區(qū)間的單調(diào)性,單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式.12、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出的范圍,再由函數(shù)值為零,得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】詳解:由題可知,或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由已知利用誘導(dǎo)公式可求,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線(xiàn)方程,由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程;過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,根據(jù)拋物線(xiàn)定義可得,可知當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切時(shí),取得最小值;利用拋物線(xiàn)切線(xiàn)的求解方法可求得點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)雙曲線(xiàn)定義得到實(shí)軸長(zhǎng),結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的一點(diǎn)拋物線(xiàn)方程為,準(zhǔn)線(xiàn)方程為過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,則設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為,則當(dāng)取得最小值時(shí),最小,此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切設(shè)直線(xiàn)的方程為,代入得:,解得:或雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為,焦距為雙曲線(xiàn)的離心率故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解問(wèn)題,涉及到拋物線(xiàn)定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切,進(jìn)而根據(jù)拋物線(xiàn)切線(xiàn)方程的求解方法求得點(diǎn)坐標(biāo).16、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知,,,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,要注意在某點(diǎn)的切線(xiàn)與過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)的區(qū)別,本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)對(duì)分三種情況討論,分別去掉絕對(duì)值符號(hào),然后求解不等式組,再求并集即可得結(jié)果;(2).作出函數(shù)的圖象,當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí),方程有三個(gè)解,由圖可得結(jié)果.【詳解】(1)不等式,即為.當(dāng)時(shí),即化為,得,此時(shí)不等式的解集為,當(dāng)時(shí),即化為,解得,此時(shí)不等式的解集為.綜上,不等式的解集為.(2)即.作出函數(shù)的圖象如圖所示,當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí),方程有三個(gè)解,所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的解法:法一:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想;法三:通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.18、(1),;(2)米.【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解:過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)則,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因?yàn)?化簡(jiǎn)得,令,,且,因?yàn)?故令即,記,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),的最大值為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長(zhǎng)度間的關(guān)系,進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)的最值即可.屬于難題.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)令,求導(dǎo),可知單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),在此取得最小值,再證最小值大于零即可.(2)根據(jù)題意得到在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程①,再設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn),有,即,再求得在點(diǎn)處的切線(xiàn)直線(xiàn)的方程為②由①②可得,即,根據(jù),轉(zhuǎn)化為,,令,轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點(diǎn),則只需,求解.【詳解】(1)證明:設(shè),則,單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而的最小值為.所以,即.(2),故,故切線(xiàn)的方程為①設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn),注意到,從而切線(xiàn)斜率為,因此,而,從而直線(xiàn)的方程也為②由①②可知,故,由為正整數(shù)可知,,所以,,令,則,當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),且,從而在上無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使得在上存在零點(diǎn),則只需,,因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),,所以;因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),且,因此;因?yàn)闉檎麛?shù),且,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2)最小值為1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時(shí),即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)取等號(hào).又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=
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