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文檔簡介
湖北省荊門市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等2.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i3.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種4.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.6.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.7.已知,則()A. B. C. D.28.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.9.將函數(shù)向左平移個(gè)單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.圖象關(guān)于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個(gè)根10.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11.已知直線:()與拋物線:交于(坐標(biāo)原點(diǎn)),兩點(diǎn),直線:與拋物線交于,兩點(diǎn).若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.12.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則______.14.已知向量,,滿足,,,則的取值范圍為_________.15.展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)為______.16.過拋物線C:()的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過線段的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,若,則l的斜率為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,是正方形,點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時(shí),求二面角的余弦值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中,把曲線α為參數(shù))上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變,得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)M在上,點(diǎn)N在上,求|MN|的最小值以及此時(shí)M的直角坐標(biāo).19.(12分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,求證:.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),直線與曲線相交于,,求的值.21.(12分)已知,,求證:(1);(2).22.(10分)某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品,如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖:設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表:設(shè)備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,對合格品進(jìn)行等級細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品,每件售價(jià)240元;質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品,每件售價(jià)180元;其他的合格品定為三等品,每件售價(jià)120元,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對于甲,;對于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對于甲,方差.5,對于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為3、B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于??碱}型.4、A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計(jì)算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),,且平面,,的中點(diǎn)為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.5、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.7、B【解析】
結(jié)合求得的值,由此化簡所求表達(dá)式,求得表達(dá)式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.8、D【解析】
通過取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,排除B和C;當(dāng)時(shí),,排除A.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段,屬中檔題.9、C【解析】
由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù),則,將向左平移個(gè)單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項(xiàng)中的對稱中心錯(cuò)誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對稱;當(dāng)時(shí),,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當(dāng),,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時(shí)僅有一個(gè)解為,所以D錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.10、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
設(shè),,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達(dá)定理,再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設(shè),,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用,弦長公式的應(yīng)用,屬于中檔題.12、D【解析】
根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù),進(jìn)一步求出的值.【詳解】解:若,則,即,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn):定積分的應(yīng)用,被積函數(shù)的原函數(shù)的求法,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè),,,,由,,,根據(jù)平面向量模的幾何意義,可得A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,為的距離,利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè),,,,如圖所示:因?yàn)?,,,所以A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,則即的距離,由圖可知,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模及運(yùn)算的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.15、2【解析】
變換得到,展開式的通項(xiàng)為,計(jì)算得到答案.【詳解】,的展開式的通項(xiàng)為:.含項(xiàng)的系數(shù)為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】
分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,根據(jù)拋物線定義和求得,從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,由拋物線的定義知,,,因?yàn)椋?,所以,即直線的傾斜角為,又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為,.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義,根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解,屬于較易題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】
(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得,由此證得平面.(2)判斷出三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系,通過平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫危云矫?因?yàn)槠矫?,所?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上,所以.又,所以平面.(2)解:顯然,當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí),的面積最大,三棱錐的體積也最大.不妨設(shè),記中點(diǎn)為,以為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則令,得.設(shè)平面的法向量為,則令,得,所以.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)最小值為,此時(shí)【解析】
(1)由的參數(shù)方程消去求得的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式求得最小值的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意知的參數(shù)方程為(為參數(shù))所以的普通方程為.由得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離,因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用曲線參數(shù)方程求解點(diǎn)到直線距離的最小值問題,屬于中檔題.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論;(2)設(shè)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為、,由(1)知,,且滿足,,于是得出,由得,利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】(1),,,當(dāng)時(shí),,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,,.所以,函數(shù)在與不存在零點(diǎn),在區(qū)間和上各存在一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為;(2),.由(1)得,在區(qū)間與上存在零點(diǎn),所以,函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個(gè)極值點(diǎn)、,且,,且滿足即,,,又,即,,,,,由在上單調(diào)遞增,得,再由在上單調(diào)遞減,得,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于難題.20、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(為參數(shù))直接消去參數(shù),可得直線的普通方程,把兩邊同時(shí)乘以,結(jié)合,可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)把代入,化為關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數(shù)),消去參數(shù),可得.∵,∴,即.∴曲線的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)把代入
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