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2025屆廣東汕頭高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在等腰直角三角形中,,為的中點(diǎn),將它沿翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.2.已知集合,則()A. B. C. D.3.若的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.44.若,,,則()A. B.C. D.5.在中,在邊上滿足,為的中點(diǎn),則().A. B. C. D.6.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.58.馬林●梅森是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物,梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作,人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn),將形如2P﹣1(其中p是素?cái)?shù))的素?cái)?shù),稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.69.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.10.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.11.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則A. B.C. D.12.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線C:(,)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為,則的最小值________.14.已知“在中,”,類比以上正弦定理,“在三棱錐中,側(cè)棱與平面所成的角為、與平面所成的角為,則________.15.若,則的最小值是______.16.若函數(shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)將棱長(zhǎng)為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,底面為梯形.,且與均為正三角形.為的中點(diǎn)為重心,與相交于點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求三棱錐的體積.19.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計(jì),可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓的半徑為,設(shè),圓錐的側(cè)面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時(shí)腰的長(zhǎng)度.21.(12分)已知,且滿足,證明:.22.(10分)已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求的值;(2)若,問(wèn)函數(shù)有無(wú)極值點(diǎn)?若有,請(qǐng)求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);若沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),這樣根據(jù)幾何關(guān)系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設(shè)外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),設(shè)幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計(jì)算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時(shí),一般可以用補(bǔ)形法,因正方體,長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.2、B【解析】
計(jì)算,再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、C【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4、C【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系,進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則,即;指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則;指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù),則.綜上所述,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較,一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由,可得,,再將代入即可.【詳解】因?yàn)?,所以,?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.6、D【解析】
因?yàn)椋?,所以且在上單調(diào)遞減,且所以,所以,又因?yàn)?,,所以,所?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對(duì)數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.7、B【解析】
還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.8、C【解析】
模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運(yùn)行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時(shí),不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(),所以,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,則,即.故選D.12、B【解析】
求出中不等式的解集確定出集合,之后求得.【詳解】由,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點(diǎn),再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個(gè)頂點(diǎn),所以,解得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
類比,三角形邊長(zhǎng)類比三棱錐各面的面積,三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角.【詳解】,故,【點(diǎn)睛】本題考查類比推理.類比正弦定理可得,類比時(shí)有結(jié)構(gòu)類比,方法類比等.15、8【解析】
根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),等號(hào)成立.時(shí),取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式,構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.16、【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?,求出?dǎo)函數(shù),利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,解得,,聯(lián)立解得的值.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,.由,可得.聯(lián)立,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接、,連接,證明出四邊形為平行四邊形,可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得二面角的余弦值,進(jìn)而可求得其正弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接、、,且,四邊形為平行四邊形,且,、分別為、中點(diǎn),且,則四邊形為平行四邊形,且,且,且,所以,四邊形為平行四邊形,且,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,,,因此,二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)第(1)問(wèn),連交于,連接.證明//,即證平面.(2)第(2)問(wèn),主要是利用體積變換,,求得三棱錐的體積.【詳解】(1)方法一:連交于,連接.由梯形,且,知又為的中點(diǎn),為的重心,∴在中,,故//.又平面,平面,∴平面.方法二:過(guò)作交PD于N,過(guò)F作FM||AD交CD于M,連接MN,G為△PAD的重心,又ABCD為梯形,AB||CD,又由所作GN||AD,FM||AD,得//,所以GNMF為平行四邊形.因?yàn)镚F||MN,(2)方法一:由平面平面,與均為正三角形,為的中點(diǎn)∴,,得平面,且由(1)知//平面,∴又由梯形ABCD,AB||CD,且,知又為正三角形,得,∴,得∴三棱錐的體積為.方法二:由平面平面,與均為正三角形,為的中點(diǎn)∴,,得平面,且由,∴而又為正三角形,得,得.∴,∴三棱錐的體積為.19、(1),,.(2)填表見解析;在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)(3)詳見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,即可得解;(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表,再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可;(3)獲獎(jiǎng)的概率為,隨機(jī)變量,再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖可知,,因?yàn)闃?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,所以,解得,所以,.故,,.(2)獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人,因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為,所以400人中文科生的數(shù)量為,理科生的數(shù)量為.由表可知,獲獎(jiǎng)的文科生有6人,所以獲獎(jiǎng)的理科生有人,不獲獎(jiǎng)的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下:文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)61420不獲獎(jiǎng)74306380合計(jì)80320400所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).(3)由(2)可知,獲獎(jiǎng)的概率為,的可能取值為0,1,2,,,,分布列如下:012數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與
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