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廣東省興寧市水口中學(xué)2025屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},則A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}2.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.3.若函數(shù)在時取得極值,則()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.7.正三棱柱中,,是的中點,則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.8.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則9.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點,則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線10.已知等差數(shù)列的前13項和為52,則()A.256 B.-256 C.32 D.-3211.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.12.已知集合,集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.14.已知向量,,,則_________.15.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.16.在正方體中,分別為棱的中點,則直線與直線所成角的正切值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.18.(12分)某動漫影視制作公司長期堅持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評,同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)).年份年份代號年利潤(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該公司年(年份代號記為)的年利潤;(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為級利潤年,否則稱為級利潤年.將(Ⅰ)中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年,求恰有年為級利潤年的概率.參考公式:,.19.(12分)△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.20.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)如圖,在直三棱柱中,分別是中點,且,.求證:平面;求點到平面的距離.22.(10分)已知圓M:及定點,點A是圓M上的動點,點B在上,點G在上,且滿足,,點G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點,與直線和分別交于P、Q兩點.當(dāng)時,求(O為坐標(biāo)原點)面積的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故選:A.【點睛】此題考查求集合的并集,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式,根據(jù)描述法表示的集合,準(zhǔn)確寫出集合中的元素.2、C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因為,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.3、D【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,又函數(shù)在時取得極值,所以,解得.故選D【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,屬于??碱}型.4、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因為當(dāng)時,,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故選:D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.6、B【解析】
利用換元法設(shè),則等價為有且只有一個實數(shù)根,分三種情況進(jìn)行討論,結(jié)合函數(shù)的圖象,求出的取值范圍.【詳解】解:設(shè),則有且只有一個實數(shù)根.當(dāng)時,當(dāng)時,,由即,解得,結(jié)合圖象可知,此時當(dāng)時,得,則是唯一解,滿足題意;當(dāng)時,此時當(dāng)時,,此時函數(shù)有無數(shù)個零點,不符合題意;當(dāng)時,當(dāng)時,,此時最小值為,結(jié)合圖象可知,要使得關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,此時.綜上所述:或.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)方程根的個數(shù)的應(yīng)用.利用換元法,數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.7、C【解析】
取中點,連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點,連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設(shè),則,,,則,∴.故選:C.【點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角,考查計算能力.8、C【解析】
根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果.【詳解】對于,若,則可能為平行或異面直線,錯誤;對于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯誤;對于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對于,若,只有當(dāng)垂直于的交線時才有,錯誤.故選:.【點睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.9、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因為,所以平面,故A正確.因為,所以,所以平面故B正確.因為,所以平面,故D正確.因為與相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.10、A【解析】
利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由,,得.選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.11、D【解析】
討論的取值范圍,然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時,,故切線的斜率變小,當(dāng)時,,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時,,故切線的斜率變大,當(dāng)時,,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.12、D【解析】
可求出集合,,然后進(jìn)行并集的運算即可.【詳解】解:,;.故選.【點睛】考查描述法、區(qū)間的定義,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及并集的運算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)雙曲線方程為,代入點,計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為,則設(shè)雙曲線方程為:,代入點,則.故雙曲線方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線,設(shè)雙曲線方程為是解題的關(guān)鍵.14、2【解析】
由得,算出,再代入算出即可.【詳解】,,,,解得:,,則.故答案為:2【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算,向量垂直的性質(zhì),向量的模的計算.15、【解析】
利用公式計算出,其中為的周長,為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,,,,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.16、【解析】
由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點,∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設(shè)存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,即,解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】(1)由題意可知:有兩種組合滿足條件:①,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.②,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.(2)若選擇①,.則.若,,成等比數(shù)列,則,即,整理,得,即,此方程無正整數(shù)解,故不存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.若選則②,,則,若,,成等比數(shù)列,則,即,整理得,因為為正整數(shù),所以.故存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和,涉及到等比數(shù)列的性質(zhì),是一道中檔題.18、(Ⅰ),該公司年年利潤的預(yù)測值為億元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進(jìn)而可求得關(guān)于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤的估計值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù),然后利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算可得,,,又,,,關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元),該公司年的年利潤的預(yù)測值為億元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、(單位:億元),其中實際利潤大于相應(yīng)估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年,評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年,恰有年為級利潤年”的概率為,.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,同時也考查了古典概型概率的計算,涉及組合計數(shù)原理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)(2).【解析】試題分析:(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和計算出,從而求出角,根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值,從而求出的周長為.試題解析:(1)由題設(shè)得,即.由正弦定理得.故.(2)由題設(shè)及(1)得,即.所以,故.由題設(shè)得,即.由余弦定理得,即,得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個條件,求面積或周長的值”,這類問題的通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.20、(1),,.(2)填表見解析;在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)(3)詳見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,即可得解;(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表,再用的計算公式運算即可;(3)獲獎的概率為,隨機變量,再根據(jù)二項分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖可知,,因為構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,所以,解得,所以,.故,,.(2)獲獎的人數(shù)為人,因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,所以400人中文科生的數(shù)量為,理科生的數(shù)量為.由表可知,獲獎的文科生有6人,所以獲獎的理科生有人,不獲獎的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下:文科生理科生合計獲獎61420不獲獎74306380合計80320400所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).(3)由(2)可知,獲獎的概率為,的可能
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