專題09 導(dǎo)數(shù)的概念意義及運算（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 9個考點清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講

清單09導(dǎo)數(shù)的概念意義及運算（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)的平均變化率定義：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：，表示為函數(shù)從到的平均變化率，若設(shè),則平均變化率為【清單02】函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率）定義：函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.【清單03】導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖,在曲線上任取一點,如果當(dāng)點沿著曲線無限趨近于點時,割線無限趨近于一個確定的位置,這個確定位置的直線稱為曲線在點處的切線.則割線的斜率【清單04】曲線的切線問題1、在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點.第二步：計算切線斜率.第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.2、過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.【考點題型一】求平均變化率【例1】（23-24高二下·湖北·期中）函數(shù)，當(dāng)自變量x由1增加到時，函數(shù)的平均變化率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知識點】平均變化率【分析】根據(jù)平均變化率的概念計算即可得解.【詳解】，，，故選：C【變式1-1】（多選）（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）若函數(shù)，，則函數(shù)在上平均變化率的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BD【知識點】已知兩點求斜率、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、平均變化率【分析】根據(jù)平均變化率得，結(jié)合該式的幾何意義為在上任意一點與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合及導(dǎo)數(shù)幾何意義求其范圍，即可得答案.【詳解】由在上平均變化率為，故表示在上任意一點與連線的斜率，圖象如下：最大為與連線的斜率，即為；最小為在處的切線斜率，即；所以.故選：BD【變式1-2】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函數(shù)，則從1到的平均變化率為．【答案】【知識點】平均變化率【分析】借助平均變化率定義計算即可得.【詳解】.故答案為：.【考點題型二】求瞬時變化率核心方法：【例2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）在一次高臺跳水比賽中，若某運動員在跳水過程中其重心相對于水面的高度h（單位：米）與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系，則該運動員在起跳后1秒時的瞬時速度為米/秒．【答案】【知識點】瞬時變化率的概念及辨析、導(dǎo)數(shù)的乘除法、求某點處的導(dǎo)數(shù)值【分析】由瞬時速度的概念結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算即可求得答案.【詳解】由題意得，則．故答案為：.【變式2-1】（24-25高二下·全國·隨堂練習(xí)）某物體做直線運動，其運動規(guī)律是（的單位：s，的單位：m），則它在第4s末的瞬時速度為．【答案】26【知識點】求某點處的導(dǎo)數(shù)值、導(dǎo)數(shù)的運算法則、瞬時變化率的概念及辨析【分析】運用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)四則運算計算即可.【詳解】，求導(dǎo)，令，得到.故則它在第4s末的瞬時速度為26.故答案為：26.【變式2-2】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）函數(shù)在處的瞬時變化率為．【答案】/【知識點】瞬時變化率的概念及辨析【分析】根據(jù)瞬時變化率定義計算即可.【詳解】增量為．函數(shù)的平均變化率為，而．．故答案為：.【考點題型三】導(dǎo)數(shù)概念中極限的簡單計算核心方法：【例3】（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【知識點】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡單計算【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】解：因為，所以，即，所以，故選：B【變式3-1】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡單計算【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，故選：D.【變式3-2】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則.【答案】【知識點】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡單計算、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，又由.故答案為：.【考點題型四】求在某一點出切線核心方法：【例4】（24-25高三上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為.【答案】【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再把代入導(dǎo)函數(shù)中可求出切線的斜率，根據(jù)切點坐標(biāo)，從而利用點斜式可求出切線方程.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，即切線方程的斜率為，又因為切點為，所以由直線的點斜式方程為：，即.故答案為：.【變式4-1】.（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)在點處的切線方程為.【答案】【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，則切點為，因為，則，所以在點處的切線斜率為，則切線方程為，即故答案為：【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程是.【答案】【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】先求出當(dāng)時的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】當(dāng)時，，即，∴，∴，又，則曲線在點處的切線方程是，即.故答案為：.【考點題型五】求過某一點處切線核心方法：計算切線斜率【例5】（多選）（23-24高二下·貴州·期中）過點且與曲線相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識點】求過一點的切線方程、導(dǎo)數(shù)的運算法則、直線的點斜式方程及辨析【分析】運用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算，點斜式可解.【詳解】求導(dǎo)得，設(shè)切點為，則，切線方程為，又切線過點，所以，整理得，解得或.當(dāng)時，，切線方程為.當(dāng)時，，切線方程為.故選：BC.【變式5-1】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）過原點且與函數(shù)圖像相切的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求過一點的切線方程【分析】先設(shè)出切點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求出切線的斜率即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，設(shè)所求切線的切點為，則，由題知，，解得，所以切線斜率為，故所求切線方程為.故選：C.【變式5-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）過點且與曲線相切的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】求過一點的切線方程【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及斜率公式，計算可得切點坐標(biāo)，即可求得切線方程.【詳解】，點不在曲線上，設(shè)切點為，則，解得：，得切點，則切線方程為：，故選：．【考點題型六】已知切線求參數(shù)【例6】（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線方程為，則．【答案】【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，可得，因為函數(shù)在點處的切線方程為，可得，解得，所以.故答案為：.【變式6-1】.（23-24高二下·吉林四平·期中）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則點的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】設(shè)點Ax0,y0【詳解】設(shè)，點Ax0,y由在點處的切線與直線垂直可得，即，又，.故選：D【變式6-2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┲本€與曲線相切，則．【答案】【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由于，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，，故答案為：.【考點題型七】已知某點處的導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)【例7】（24-25高三上·上?！卧獪y試）已知，其中，且，則．【答案】2【知識點】已知某點處的導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)或自變量、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【分析】利用可得答案.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：2．【變式7-1】.（23-24高二下·寧夏吳忠·期中）已知函數(shù)，．若，則．【答案】【知識點】已知某點處的導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)或自變量、導(dǎo)數(shù)的運算法則、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)值及三角函數(shù)值即可求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，即，所以，又因為，所以.故答案為：.【變式7-2】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）設(shè)函數(shù)，若，則．【答案】2【知識點】已知某點處的導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)或自變量、導(dǎo)數(shù)的運算法則【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入求出的值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，所以.故答案為：2【考點題型八】導(dǎo)數(shù)的加減乘除，復(fù)合運算【例8】（23-24高二下·海南?？凇て谥校┣笙铝泻瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【知識點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算法則、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、積的導(dǎo)數(shù)、商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式逐項求導(dǎo)即可．【詳解】（1）（2）（3）（4），則（5）【變式8-1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【分析】運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則計算即可.【詳解】．故選：D.【變式8-2】（多選）（24-25高三上·陜西咸陽·期中）下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知識點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算法則【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則可得選項A，B，C正確，選項D錯誤.【詳解】A.，選項A正確.B.，選項B正確.C.為常數(shù)，選項C正確.D.，選項D錯誤.故選：ABC.【變式8-3】（多選）（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知識點】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算法則、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式【分析】借助導(dǎo)數(shù)運算法則逐項計算即可得.【詳解】對A：，故A錯誤；對B：，故B正確；對C：，故C錯誤；對D：，故D正確.故選：BD.【考點題型九】已知切線的條數(shù)求參數(shù)【例9】（23-24高二上·廣東深圳·期末）若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是.【答案】【知識點】求過一點的切線方程【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求曲線過坐標(biāo)的切線方程，再列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】由得，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率，切線方程為，又因為切線過，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，所以該方程有兩個實數(shù)解，所以，解得或，所以的取值范圍是，故答案為：.【變式9-1】（23-24高二上·山東臨沂）已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求過一點的切線方程【解析】首先設(shè)過點的切線方程，切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式，轉(zhuǎn)化為有三個解，通過設(shè)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為與有三個交點，求的取值范圍.【詳解】設(shè)過點的直線為，，設(shè)切點為，則，得有三個解，令，，當(dāng)，得或，，得，所以在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，，有三個解，得，即.故選：D【點睛】方法點睛：本題考查根據(jù)方程實數(shù)根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時需要根據(jù)零點個數(shù)合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍.【變式9-2】（24-25高三上·河南信陽·階段練習(xí)）已知.若曲線存在兩條過點的切線，則的取值范圍是.【答案】或【知識點】求過一點的切線方程、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】求導(dǎo)函數(shù)設(shè)切點坐標(biāo)為，寫出切線方程并代入點得，由于有兩條切線，故方程有兩非零的根，結(jié)合判別式即可求解．【詳解】由題得，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，又切線過點，可得，整理得，因為曲線存在兩條切線，故方程有兩個不等實根且若，則，為兩個重根，不成立即滿足，解得或．故的取值范圍是或故答案為：或提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·福建·期中）若直線與曲線相切，則（

）A．2 B．e C． D．【答案】C【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】設(shè)切點，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)切點為，則對求導(dǎo)有，故在處切線的斜率為，則由在直線上可得，解得，故.故選：C2．（2024·廣東肇慶·一模）曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，再代入直線的點斜式方程化簡即可【詳解】令，則，即，f1=0，所以曲線在處的切線方程為，即，故選：D.3．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【知識點】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡單計算【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算可得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，.故選：C.4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知曲線在點處的切線斜率為1，則曲線在點處的切線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡單計算、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義將切線斜率轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值，然后利用導(dǎo)數(shù)的定義及兩個極限式子的結(jié)構(gòu)關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】曲線在點0,1處的切線斜率為1，所以，則曲線在點0,1處的切線斜率為．故選：C.5．（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、由奇偶性求參數(shù)【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解出參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，且在處有定義，所以，因為，所以，故，而，得到切點為，又，設(shè)切線斜率為，由斜率的幾何意義得，故切線方程為，化簡得，故D正確.故選：D6．（23-24高二下·新疆烏魯木齊·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【知識點】求曲線切線的斜率（傾斜角）、斜率與傾斜角的變化關(guān)系、已知兩點求斜率【分析】結(jié)合圖形，利用曲線上兩點所在直線的斜率和過兩點的切線斜率的比較即可得到.【詳解】

如圖，設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點，經(jīng)過點的切線分別為,則直線的斜率依次為，由圖知直線的傾斜角滿足，，因函數(shù)在上遞增，故，即.故選：B.7．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）若存在過原點的直線與函數(shù)的圖象切于軸右側(cè)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】求過一點的切線方程、導(dǎo)數(shù)的乘除法【分析】先求得，設(shè)切點為，根據(jù)，列出方程，得到，結(jié)合方程的根，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點為，可得，即，整理得，解得或（舍去），因為存在過原點的直線與函數(shù)的圖象切于軸右側(cè)，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【知識點】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題【分析】設(shè)出切點，寫出切線方程，利用對應(yīng)系數(shù)相等建立方程，解出即可.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為且，與曲線的切點為且，又，，則直線與曲線的切線方程為，即，直線與曲線的切線方程為，即，則，解得，故，故選：A.二、多選題9．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．B．C．設(shè)函數(shù)，若，則D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則【答案】BC【知識點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的加減法、導(dǎo)數(shù)的乘除法、求某點處的導(dǎo)數(shù)值【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求解即可.【詳解】對于選項A:結(jié)合題意可得：,故選項A錯誤；對于選項B:結(jié)合題意可得：,故選項B正確；對于選項C:,由，，解得，故選項C正確；對于選項D:結(jié)合題意可得：,，解得，故選項D錯誤.故選：BC.10．（23-24高三上·福建廈門·階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則下列直線中可能與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線斜率的取值范圍，結(jié)合垂直關(guān)系得出的取值范圍，再判斷各選項.【詳解】的定義域為，，即直線的斜率，設(shè)與垂直的直線的斜率為，則，所以，.對于A，直線的斜率為，故A正確；對于B，直線的斜率為，故B錯誤；對于C，直線的斜率為，故C正確；對于D，直線的斜率為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題11．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，若，則.【答案】【知識點】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡單計算【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：12．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）曲線的一條切線為，則．【答案】【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)切線斜率求出切點坐標(biāo)，代入切線方程后可得結(jié)論．【詳解】，令，則，切點代入直線得．故答案為：．四、解答題13．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求曲線上任意一點處的切線斜率；(2)求曲線在點處的切線方程．【答案】(1)(2)【知識點】利用定義求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)（切線斜率）、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、求過一點的切線方程、導(dǎo)數(shù)的運算法則【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點的斜率；（2）先求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值得出斜率再點斜式求出切線方程.【詳解】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線y=fx上任意一點x0,f則由導(dǎo)數(shù)的定義，可得．即曲線y=fx上任意一點x0,f（2）f3=0，由（1）知，曲線y=fx在點處的切線斜率為所以切線方程為，即．14．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）（1）已知二次函數(shù)，其圖象過點，且，求的值；（2）設(shè)函數(shù)