專題08 圓錐曲線中向量問題+定點(diǎn)+定值+定直線問題（期末壓軸專項訓(xùn)練30題）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

專題08圓錐曲線中向量問題+定點(diǎn)+定值+定直線問題（期末壓軸專項訓(xùn)練30題）一、單選題1．若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，且在第一象限，的內(nèi)心為，直線與直線的斜率分別為、，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】橢圓中的定值問題、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題【分析】設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)求距離公式求出PF1，由橢圓的定義求出，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)求出點(diǎn)I的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)表示斜率公式化簡計算即可求解.【詳解】設(shè)，，則，易知F1?1,0，，由橢圓焦半徑公式可得，，設(shè)分別為的內(nèi)切圓與邊，，的切點(diǎn)，則，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)知，，，因此，即，解得.在中，，解得，因此，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查橢圓的定義和方程、性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，同時考查直線的斜率公式的運(yùn)用，考查分析問題，解決問題的能力.2．黃金分割比被譽(yù)為“人間最巧的比例”.離心率的橢圓被稱為“優(yōu)美橢圓”已知一“優(yōu)美橢圓”的左右頂點(diǎn)分別為A，B；橢圓上有一動點(diǎn)P（異于橢圓的左右頂點(diǎn)），設(shè)直線，斜率分別為，則為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】橢圓中的定值問題、由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍【分析】設(shè)出點(diǎn)P的參數(shù)形式，再結(jié)合直線的斜率公式，以及橢圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】點(diǎn)P為橢圓C上的動點(diǎn)，則可設(shè)，又，則.故選：D.3．已知橢圓，兩條直線：；：，過橢圓上一點(diǎn)P作，的平行線，分別交，于M，N，若為定值，則（

）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【知識點(diǎn)】橢圓中的定值問題、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合為定值可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，由已知可得，則，所以，為定值，則，可得.故選：A4．已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若且，則E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率、橢圓中向量共線比例問題【分析】根據(jù)“點(diǎn)差法”以及中點(diǎn)弦即可求解．【詳解】如圖所示：

因?yàn)闄E圓E的右焦點(diǎn)為，所以，不妨設(shè)，由題意等價于是的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在橢圓E上面，所以，進(jìn)一步有，即，所以直線的斜率可以表示為，又、在直線上，所以直線的斜率為，從而，所以解得，即E的方程為.故選：D.5．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)（在線段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】橢圓中向量點(diǎn)乘問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、求橢圓中的最值問題【分析】由題意畫出圖形，分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解，當(dāng)直線斜率不存在時，求得，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得的范圍，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系寫出數(shù)量積，由得范圍求得的范圍．【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，，，此時；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，設(shè),則直線方程為，聯(lián)立，得，，得．，．．，，，則，綜上，的取值范圍是．故選：D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[－，] B．[－，] C．[－，] D．[－，]【答案】D【知識點(diǎn)】橢圓中向量點(diǎn)乘問題、求橢圓的焦點(diǎn)、焦距【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積建立不等式求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)，，所以，，因?yàn)椋?，解得，故選：D7．已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（

）A．[8，12] B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】橢圓中向量點(diǎn)乘問題、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】由題意可得圓心恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，將化簡得，由橢圓的性質(zhì)可知，從而可求出的取值范圍【詳解】由，得，則，圓的圓心恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，圓的半徑為2，因?yàn)椋驗(yàn)镻為橢圓上任意一點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，即，所以，所以，所以的取值范圍為，故選：C8．已知為雙曲線（）的離心率為，焦點(diǎn)為，且，為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為，則的值為（

）A． B．C． D．與點(diǎn)的位置有關(guān)【答案】B【知識點(diǎn)】雙曲線中的定值問題、根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求點(diǎn)到直線的距離【分析】由題意求出雙曲線的方程，可得其漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得的表達(dá)式，結(jié)合點(diǎn)P在雙曲線上，化簡即可求得答案.【詳解】由題意知，即雙曲線的焦距，又雙曲線離心率為，故，故，則雙曲線方程為，則其漸近線方程為，即，設(shè)，則，即，不妨設(shè)分別在和上，故，故選：B9．已知A，B是雙曲線Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，動點(diǎn)P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分別為k1，k2，則以下總為定值的是（）A．k1＋k2 B．|k1－k2|C．k1k2 D．【答案】C【知識點(diǎn)】雙曲線中的定值問題、已知兩點(diǎn)求斜率【分析】設(shè)A(－a，0)，B(a，0)，P(m，n)(m＞0，n＞0)，計算可得k1＝，結(jié)合依次分析即得解【詳解】由題意可得A(－a，0)，B(a，0)，設(shè)P(m，n)(m＞0，n＞0)，可得即又k1＝，所以k1k2＝，所以k1k2為定值，不為定值；，不為定值；，不為定值故選：C10．已知點(diǎn)P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點(diǎn)，若，則漸近線l的斜率為（）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】雙曲線定義的理解、已知方程求雙曲線的漸近線、雙曲線向量共線比例問題【分析】設(shè)漸近線l的方程，由兩直線垂直的條件可得直線的方程，聯(lián)立兩直線方程求得A的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，化簡整理可得所求直線的斜率．【詳解】解：設(shè)，漸近線l的方程為，①直線的方程為，②聯(lián)立①②可得，，即有，由，可得，，解得，，即，由P在雙曲線上，可得，化為，即，可得，所以直線l的斜率為．故選：D．11．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】雙曲線向量共線比例問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】設(shè)，，聯(lián)立圓與雙曲線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，將利用坐標(biāo)表示計算可得表示，再將點(diǎn)代入雙曲線方程可得關(guān)于的齊次方程，結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)，，由整理可得：，即，因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個交點(diǎn)，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，則，，由可得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，整理可得：，所以，即，兩邊同時平方可得：，所以，即，，可得：或（舍），所以，故選：B.12．已知橢圓與雙曲線有相同的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個交點(diǎn)，且.過作傾斜角為45°的直線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】雙曲線中向量點(diǎn)乘問題、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為零對應(yīng)的垂直關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義求解出的長度，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求解出橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可求解出的縱坐標(biāo)，通過用表示出，則的值可求.【詳解】不妨設(shè)為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，橢圓方程為，，由雙曲線定義可知：，又因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓方程為，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過已知的條件求解出橢圓的方程，后續(xù)求解的過程中，除了聯(lián)立思想的運(yùn)用，還要注意利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)去分析求解問題.13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若在曲線的方程中，以且代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.(1)若不過原點(diǎn)的直線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，證明:是與平行的直線;(2)已知伸縮比時，曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，且與軸有A，B兩個交點(diǎn)（在的左側(cè)），過點(diǎn)且斜率為的直線與在軸的右側(cè)有，兩個交點(diǎn).①求的取值范圍;②若直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、雙曲線中的定值問題、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)伸縮比的定義，計算證明即可.（2）①直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計算即可；②結(jié)合①的結(jié)論，直接運(yùn)算即可.【詳解】（1）證明：設(shè)不過原點(diǎn)的直線的方程是都是常數(shù)，且a，b不同時為，則曲線的方程是，且，即，因?yàn)槎际浅?shù)，且a，b不同時為，所以曲線是一條直線，且與直線平行（2）①解：伸縮比時，曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，所以曲線的方程是，即.與軸的兩個交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，因?yàn)橹本€點(diǎn)，斜率為，所以直線的方程為，代入，消去并整理得，設(shè)，則，，因?yàn)榕c在軸的右側(cè)有兩個交點(diǎn)，所以，且，解得或，所以的取值范圍是.②證明:由①知或，所以，，，所以為定值.14．已知雙曲線的實(shí)軸長為，且過點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程.(2)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l，l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求(3)若M，N是雙曲線C上不同的兩點(diǎn).且直線MN的斜率為，線段MN的中點(diǎn)為P，證明：點(diǎn)P在直線上.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)雙曲線過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中的弦長、雙曲線中存在定點(diǎn)滿足某條件問題【分析】（1）根據(jù)題意可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，即可求解.（2）由（1）得，進(jìn)而得直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，得韋達(dá)定理，進(jìn)而求解.（3）利用點(diǎn)差法即可證明.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，則將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）得，則，則直線l的方程為設(shè)，由，得，，，，所以（3）設(shè)，，則，兩式相減得設(shè)，則，所以，即，所以，即，所以點(diǎn)P在直線上.15．已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)為上一點(diǎn)．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與相交于，兩點(diǎn)，且的垂直平分線過點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中的定值問題【分析】（1）依題意得到關(guān)于、、的方程組，解得、，即可得解；（2）設(shè)Ax1,y1，B【詳解】（1）依題意可得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)Ax1,由，得，顯然，∴，即，且，則，∴的中點(diǎn)，又的中垂線過點(diǎn)，且，∴，整理得，即為定值.16．已知雙曲線的實(shí)軸長為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求；(3)若，是雙曲線上不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率為2，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在直線上.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中的弦長、雙曲線中的動點(diǎn)在定直線上問題【分析】（1）根據(jù)題意可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，即可求解.（2）由（1）得，進(jìn)而得直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理即可求解.（3）利用點(diǎn)差法即可證明.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故雙曲線的方程為；（2）由（1）得，則，則直線的方程為，設(shè)，由，得，，，所以；（3）設(shè)，則，兩式相減得，設(shè)，則，所以，即，所以，即，所以在直線上.17．已知雙曲線(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)已知點(diǎn)、，直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，，，求的值.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】已知方程求雙曲線的漸近線、雙曲線向量共線比例問題【分析】（1）根據(jù)雙曲線的方程可得出其漸近線方程；（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、B【詳解】（1）在雙曲線中，，，所以，該雙曲線的漸近線方程為.（2）由題意可知，直線的方程為，即，且，設(shè)點(diǎn)Ax1,聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，且，，則，所以，，.18．已知雙曲線：（，）的離心率是，焦距為6.(1)求的方程；(2)若直線：與相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中向量點(diǎn)乘問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）依題意求出、，即可求出，從而求出方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，代入，求出的值.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線：（，）的離心率是，焦距為6，所以，，其中，解得，，所以.所以的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立方程消去得，因?yàn)橹本€：與相交于，兩點(diǎn)，所以，即且，由韋達(dá)定理得，，又，，所以，所以，將韋達(dá)定理代入上式，得，即，解得，滿足且.19．已知橢圓和拋物線.從兩條曲線上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)混合記錄如下：.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)為實(shí)數(shù)，已知點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn).記直線的斜率分別為，判斷是否為定值，并說明理由.【答案】(1)，；(2)為定值，理由見解析.【知識點(diǎn)】根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線中的定值問題【分析】（1）算出四點(diǎn)對應(yīng)的的拋物線方程，注意到對應(yīng)的p一樣，即可得拋物線與橢圓方程；（2）聯(lián)立拋物線與直線方程，由韋達(dá)定理可判斷是否為定值.【詳解】（1）將四個點(diǎn)代入拋物線方程解得的值分別為，注意到對應(yīng)的p一樣，在拋物線上，故拋物線方程為.故為橢圓上的點(diǎn)，則，橢圓方程；（2）是定值，理由如下：設(shè)，則由韋達(dá)定理：，又因?yàn)?，所以，同理所以為定?20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且.(1)求和的值；(2)過點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.【答案】(1)，；(2)證明見解析【知識點(diǎn)】拋物線的焦半徑公式、拋物線中的定值問題、根據(jù)拋物線的方程求參數(shù)、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）由焦半徑公式求得，得拋物線方程，點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程可得；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，再利用在拋物線上求得，然后計算可得．【詳解】（1）由題意，，拋物線方程為，在拋物線上，因此，所以；（2）由（1）知焦點(diǎn)為，顯然直線與不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，因此，又，，所以所以．21．設(shè)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為4，點(diǎn)到軸的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)經(jīng)過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線的斜率為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線中的定值問題【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由已知，可得，，代入拋物線的方程，解得，即可得到拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時，得到直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，消去，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得直線的斜率為0，討論當(dāng)和時，可得直線的斜率均為0，即直線的斜率為定值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由已知，所以，又點(diǎn)到軸的距離為，即，即，由點(diǎn)在拋物線上，所以，解得或（舍去），故拋物線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則直線的方程為，①拋物線的準(zhǔn)線方程為，②聯(lián)立①②，可解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由（1）知焦點(diǎn)，當(dāng)，即時，直線的方程為，聯(lián)立消去，可得，即，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，于是直線的斜率為0，當(dāng)時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線的方程為，與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，此時直線的斜率為0，當(dāng)時，同理可得直線的斜率為0，綜上，直線的斜率為定值0.22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線及點(diǎn)，動直線過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時，.（1）求的值；（2）若與軸不垂直，設(shè)線段中點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于直線，記，相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）1；（2）證明見解析.【知識點(diǎn)】由弦長求參數(shù)、拋物線中的定直線【分析】（1）當(dāng)直線過點(diǎn)且垂直于軸時，由知拋物線所過的點(diǎn)，代入拋物線方程求得的值；（2）設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消去化簡得關(guān)于的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的方程，再根據(jù)垂直關(guān)系求出直線的方程，由此求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）因?yàn)檫^，且當(dāng)垂直于軸時，，所以拋物線經(jīng)過點(diǎn)，代入拋物線方程，得，解得.（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為：，，.聯(lián)立消去，得，則，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則直線方程為：.因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與垂直，則直線方程為：，聯(lián)立，解得即，所以，點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了直線與方程的應(yīng)用問題，屬于中檔題．23．已知橢圓：（）過的三個頂點(diǎn)，，，當(dāng)直線垂直于軸時，直線過橢圓的一個焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若的平分線垂直于軸，求證：直線的斜率為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題【分析】（1）由題意得，解得，，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得的橫坐標(biāo)，同理求得的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得、的縱坐標(biāo)的差，代入斜率公式得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，則有，解得，，所以，橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的斜率為，由題意知，直線的斜率為，設(shè)Ax1,直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，消去得，因?yàn)?，為直線與橢圓的交點(diǎn)，所以，把換成得：，所以，，所以直線的斜率，故直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬中檔題.24．如圖，已知橢圓：（）上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為和，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；(2)若，求直線的方程；(3)當(dāng)直線，均不與軸垂直時，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長、橢圓中的定值問題【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為和，由求解；（2）設(shè)直線的方程為，，，由，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式求解；（3）利用（2）中的韋達(dá)定理，由證明.【詳解】（1）解：由橢圓：上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為和，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得，解得，則，故橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，，.由消去，整理得.由，得，則，.，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，此時直線過點(diǎn)；當(dāng)時，直線的方程為，滿足題目條件.所以直線的方程為.（3）證明：因?yàn)橹本€，均不與軸垂直，所以直線：不經(jīng)過點(diǎn)和，則且，由（2）可知，，，為定值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第三問的基本思路是先建立模型，再根據(jù)點(diǎn)在直線上進(jìn)行消元，然后利用韋達(dá)定理求解.25．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的動點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線交直線于點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)橢圓的方程為(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的直線過定點(diǎn)問題、橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問題【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及的周長，可得的值，從而可求解橢圓方程；（2）（i）先利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出兩條直線的斜率，再結(jié)合橢圓的方程，代入化簡即可；（ii）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理與（i）中斜率乘積為定值，化簡求得定點(diǎn)坐標(biāo)，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）依題意可設(shè)橢圓，且，又的周長為，即，所以，所以橢圓的方程為．（2）證明：（i）設(shè),，,，，由（1）可知，，所以，，因?yàn)?，即，所以，所以，又，所以，所以；（ii）因?yàn)橹本€的方程為，,，,，聯(lián)立，得，所以，，由（i）可知，，即，所以，即，化簡得，解得或（舍去），所以直線的方程為，所以直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．26．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，短軸長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的動點(diǎn)，，直線與曲線的另一個公共點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)變化時，點(diǎn)恒在一條定直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析.【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定直線、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓短半軸長，結(jié)合離心率求出長半軸長即可.（2）設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓，再表示出直線與的方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)，即可計算推理得證.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由短軸長為，得，由離心率為，得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，，而，由消去得：，，則，，又直線的方程為：，即，又直線的方程為：，即，由，得，所以當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)恒在定直線上.

27．已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，Px0,y0為橢圓上的動點(diǎn)，過動點(diǎn)Px0,y0作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點(diǎn)，四邊形的對角線相交于點(diǎn)，記動點(diǎn)的軌跡為.(1)證明：橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.(2)求動點(diǎn)的軌跡的方程.(3)過點(diǎn)作斜率不為的直線與相交于點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，判斷點(diǎn)是否在定直線上.【答案】(1)證明見解析(2)(3)在【知識點(diǎn)】軌跡問題——橢圓、橢圓中的定直線、求橢圓的切線方程【分析】（1）直曲聯(lián)立，求出交點(diǎn)，證明即可；（2）令，得坐標(biāo)，求出直線方程，求出交點(diǎn)，得到動點(diǎn)的軌跡的方程.（3）設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，得到,聯(lián)立，方程，得到滿足的條件即可.【詳解】（1）證明：聯(lián)立方程組，消去整理得，又，即，整理得，解得，所以直線與橢圓有且僅有一個交點(diǎn)Px0,即切線方程為.（2）解：由（1）中切線方程，令，得，令，得，因?yàn)?，所以直線，①因?yàn)?，所以直線，②由①②得.因?yàn)?，得，所以動點(diǎn)的軌跡的方程為）.（3）解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則，所以.因?yàn)橹本€的方程為，直線的方程為，所以，所以，所以，整理得所以，即點(diǎn)在定直線上.

28．已知橢圓：的左?右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程.(2)若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【知識點(diǎn)】橢圓中的定直線、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）根據(jù)題意列方程組解出，即可得出方程；（2）根據(jù)題意設(shè)直線及交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的方程求交點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理整理求解.【詳解】（1）依題意可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，直線的方程為：，聯(lián)立方程組可得，得到，，則或，由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，因?yàn)橹本€：，直線：，聯(lián)立兩直線方程得到：，即，即，整理得：，所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】在解決圓錐曲線中的定直線問題時，常采取的策略有：①根