專題01 集合（考點講析）-【中職專用】2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末（高教版2023基礎模塊）(解析版)

專題01集合（考點講析）【中職專用】2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末（高教版2023基礎模塊）知識總結：1元素與集合的概念集合：一般地，由某些確定的對象組成的整體，簡稱為集元素：構成集合的對象2集合的元素特征特征含義舉例確定性給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了“街上的帥哥”中因為帥哥沒有明確的標準，故“帥哥”不能組成集合互異性一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的集合，就意味無序性集合中的元素無順序，可以任意排列、調(diào)換高一(1)班每周都換座位也改變不了它是(1)班的事實3元素與集合的關系若是集合的元素，則稱屬于集合，記作；若不是集合的元素，則稱不屬于集合，記作.4常用數(shù)集數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法舉例5集合的分類元素個數(shù)分類含義舉例有限集集合中含有的元素個數(shù)是有限的無限集集合中含有的元素個數(shù)是無限的空集?不含任何元素的集合方程的實數(shù)解6集合的表示方法列舉法把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號括起來表示集合的方法描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征一般格式：注意事項：———方程的解，即

———不等式的解集，即；

———函數(shù)的定義域，即；———函的值域，即；———函數(shù)的圖像點構成的集合.7集合間的關系關系含義記作子集如果集合A中每一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集真子集如果集合A?B，但至少存在一個元素不屬于集合A，稱集合A為集合B的真子集相等集合A與集合B中的元素完全相同規(guī)定：空集是任何集合的子集當集合A中元素有個，子集個數(shù)有個，真子集個數(shù)有個，非空真子集個數(shù)有個；8并集、交集、補集并集交集補集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集對于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集記號A?B(讀作:A并A?B(讀作:A交CUA(讀作:A符號AAC圖形表示題型一:集合的基本概念例1下列各組對象不能組成集合的是（

）A．不超過30的非負實數(shù) B．方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解C．近似值的全體 D．某校身高超過175的學生的全體【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義和特征依次判斷即可.【詳解】對A：對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過30的非負數(shù)”，所以能構成集合；對B：在實數(shù)范圍內(nèi)的解為或-2，是確定的對象，所以可以構成集合；對C：“3的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構成集合；對D：能構成集合，元素是“某校身高超過175的同學”，所以可以構成集合.故選：C.變式訓練1下列說法正確的是（

）A．某班級中的所有高個子同學能組成集合B．空集是任何集合的真子集C．集合與集合是同一個集合D．方程組的解集為【答案】C【分析】根據(jù)集合的概念即可解得.【詳解】選項A：某班級中的所有高個子同學中，高個子的定義不明確，不符合確定性，錯誤.選項B：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，錯誤.選項C：集合與集合是同一個集合，正確.選項D：方程組的解集為，錯誤.故選：C2下列命題中正確的是（

）A．和是兩個不同的集合B．是空集C．若，，則的最小值為2D．小于10的偶數(shù)組成的集合是有限集【答案】B【分析】根據(jù)集合、空集、自然數(shù)集和有限集的概念以及集合的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對A，由集合的互異性知，和兩個集合是相同的，A項錯誤；對B，∵，∴方程無實根，∴是空集，B項正確；對C，最小的自然數(shù)是0，∴的最小值為0，C項錯誤；對D，小于10的正偶數(shù)有有限個，但負偶數(shù)有無窮個，∴小于10的偶數(shù)組成的集合是無限集，D項錯誤.故選：B.3設表示平面直角坐標系中點的坐標，若集合，則以集合M的元素為坐標的點在（

）A．第一或第二象限 B．第一或第三象限C．第二或第三象限 D．第二或第四象限【答案】B【分析】由，可得x，y的可能的符號，根據(jù)各象限的符號特征可得所在象限．【詳解】由得或，則平面直角坐標系中點的坐標為同正或同負，所有集合M的元素為坐標的點在第一或第三象限.故選：B.4下列說法正確的個數(shù)為（

）①方程的解集為；②整數(shù)集可以表示為為所有整數(shù)或；③方程組的解集為.A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)集合的表示方法，結合一元二次方程及二元一次方程組解集的情況，逐一判斷即可得解.【詳解】對于①，方程的解集為，故①正確；對于②，整數(shù)集可以表示為，但不能表示為，故②錯誤；對于③，解二元一次方程組，得，解集為，選③正確；所以正確的個數(shù)為2個.故選：B.題型二:元素與集合、集合與集合的關系例2已知集合，則下列式子表示正確的有（

）①②③④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用元素與集合、集合與集合的關系可解.【詳解】，①，集合與集合之間不能用屬于符號，所以①不正確；②，元素與集合之間不能用包含于符號，所以②不正確；③，空集是任何集合的子集，所以③正確：④，子集包括本身，所以④正確，綜上正確的式子有2個，故選：B.變式訓練1下列各組集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合中元素的性質(zhì)、集合的分類及集合的表示可判斷.【詳解】對A選項，表示點組成的集合，表示組成的集合，不是同一集合，故錯誤；對B選項，根據(jù)集合中元素的無序性可知，它們表示同一集合，故正確；對C選項，表示直線上的點組成的集合，表示線上的點的橫坐標組成的集合，故不是同一集合，故錯誤；對D選項，表示由2，3組成的集合，表示點組成的集合，不是同一集合，故錯誤；故選：B2已知集合，，則與之間的關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的關系判斷即可.【詳解】因為集合，，集合中的元素是3的整數(shù)倍，集合B中的元素是6的整數(shù)倍，所以集合的元素全部屬于集合，而集合中存在元素不屬于集合，即集合真包含集合B.故選：D.3用符號“”“”“”“”或“”填空：（1）；（2）；（3）9；（4）是奇數(shù)}；（5）.【答案】【分析】由元素與集合的關系，真子集的定義及集合的相等即可得解.【詳解】不是集合的元素，所以；是集合的元素，所以；因為，所以；為整數(shù)集，所以是奇數(shù)}；，，則故答案為：.4方程組的解集是．【答案】【分析】根據(jù)集合的表示方法，結合二元一次方程組的解法即可求解.【詳解】因為方程組，兩式相加得，即，代入得，所以.即方程組的解集為.故答案為：.5設集合，若A中僅有一個元素，則a的值為.【答案】0或1【分析】若集合A中僅有一個元素，則需要滿足方程有一個根或有兩個相等的實根，據(jù)此即可求解.【詳解】若集合A中僅有一個元素，則需要滿足方程有一個根或有兩個相等的實根，當時，，符合條件；當時，需滿足，綜上所述，若集合A中僅有一個元素，則a的值為0或1，故答案為：0或1.題型三:常見的數(shù)集例3下列所給出的關系中，正確的個數(shù)是（

）.①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合之間的關系判斷即可解得.【詳解】①因為π是實數(shù)，則，正確.②3是無理數(shù)，則，正確.③0不是正整數(shù)，則，錯誤.④是整數(shù)，則，錯誤.所以①②正確，③④錯誤，故選：B.變式訓練1已知集合(1)用列舉法表示集合(2)寫出集合的所有子集【答案】(1).(2)，，，.【分析】（）解一元二次方程求出集合的元素，根據(jù)列舉法的定義即可得解.（）根據(jù)子集的定義即可寫出集合的子集.【詳解】（1）因為，解得或，所以用列舉法表示為.（2）集合，所以子集為，，，.題型四:集合的特性例4由，，三個元素組成集合A，若，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合與元素的關系計算，并通過集合元素互異判別.【詳解】∵，而，∴或.當時，解得或，而時，，不滿足集合的互異性，故舍去；當時，.當時，解得，此時,符合題意；所以，或符合題意.故選：D.變式訓練1已知集合，若，則（

）A．0 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)A和B的包含關系，進而求解參數(shù)即可.【詳解】因為，所以或，解得或1，得或1或2，將m的值代入集合知，不成立，不符合元素的互異性，所以綜上或2.故選:C．2若，則．【答案】1【分析】根據(jù)題意，分類討論的取值，結合構成集合元素的特性，即可求解.【詳解】因為，所以或，當，即時，，不滿足集合元素的互異性，舍去；當時，解得或（舍去），當時，集合，滿足條件．綜上，．故答案為：1．3設，集合，則．【答案】0【分析】根據(jù)相等集合的概念結合集合中元素的互異性，列方程求解即可.【詳解】已知集合，根據(jù)集合中元素的互異性可得且，則，又，則，解得，，故答案為：.題型五:集合的表示方法例5已知集合，則集合M用列舉法可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將集合中的元素一一列舉出來，再由列舉法表示即可.【詳解】表示整數(shù)集，由集合可得，，故選：D.變式訓練1集合的子集的個數(shù)是（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】D【分析】先用列舉法寫出集合M，再根據(jù)求解子集的個數(shù)即可.【詳解】由題意得，集合，有2個元素.所以集合的子集個數(shù)是.故選：D.2已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】，故只能取1、2、3、6，再解出a的值.【詳解】由得：或或或，可得，故選：D.題型六:并集、交集、補集例6已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖可知，陰影部分為集合與集合的交集，由交集的定義求解即可.【詳解】由圖可知，陰影部分為，根據(jù)交集定義可得：.故選：D.變式訓練1已知全集，，，則實數(shù)等于（）A．0或2 B．0C．1或2 D．2【答案】D【分析】由題意根據(jù)補集的運算性質(zhì)和元素與集合的關系，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，，，，得到，，，可得，可化為，解得或.而集合中有一個元素是2，故.綜上，.故選：D.2設，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合的交集運算，聯(lián)立兩方程，解之即可得解.【詳解】因為，，聯(lián)立，解得，所以.故選：C.3已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)集合交集的運算，結合空集的定義，即可列出不等式求解.【詳解】因為，又，所以或，解得或，即實數(shù)的取值范圍是或．故選：D．4已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先通過聯(lián)立方程，求解的元素，再根據(jù)集合的形式，判斷選項即可．【詳解】已知集合，聯(lián)立得，所以．故選：C．5設集合，則集合（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合B，根據(jù)集合并集的運算即可求解.【詳解】因為集合，所以.故選：D.6如圖，全集，集合，，則陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)韋恩圖寫出集合的運算式，即可求陰影部分集合.【詳解】因為全集，集合，，由題可知陰影部分為，，則；故選：D.7已知集合A=xx>0，則【答案】【分析】根據(jù)并集的運算求解.【詳解】因為，，則.故答案為:.8，，則.【答案】【分析】根據(jù)交集的概念運算即可.【詳解】已知，，則.故答案為：.9已知集合，集合，若，則．【答案】【分析】根據(jù)交集的概念可知，求解即可得出值.【詳解】已知集合，集合，且，則中含有元素，所以，解得.故答案為：.10已知全集，集合，則【答案】或【分析】根據(jù)補集的概念求解.【詳解】因為全集，集