“多邊形的面積”單元教材分析和教學建議

摘要：“多邊形的面積”單元以面積單位的度量為起點，以轉化和推理為基本方法，以圖形內在聯(lián)系為線索，以動手操作探究為基礎，讓學生經(jīng)歷推導圖形的面積計算公式的過程。教學中需以度量為本質，借助標準，引導學生生成“單位”思想；以轉化為主線，溝通聯(lián)系，發(fā)展空間推理能力；以“經(jīng)驗”為紐帶，聯(lián)系實際，提升綜合應用意識。關鍵詞：度量；轉化；整體建構；多邊形面積“多邊形的面積”是人教版小學數(shù)學教材五年級上冊第六單元的教學內容，屬于小學數(shù)學“圖形與幾何”中“圖形的認識與測量”板塊。此前，學生已經(jīng)認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形，并學習了長方形、正方形面積的計算方法，也具備了度量面積的經(jīng)驗。本單元以面積單位的度量為起點，以轉化和推理為基本方法，讓學生通過觀察、拼擺、剪拼等活動，推導各種圖形的面積計算公式，積累活動經(jīng)驗，形成空間觀念和推理意識，為后續(xù)探究圓的面積、立體圖形的表面積和體積積累活動經(jīng)驗，奠定思想和方法基礎[1]。本文主要結合教學實踐，對多邊形的面積單元進行教材簡析并提出教學建議。一、教材簡析多邊形的面積以一幅“校園主題圖”引入，開啟平面圖形面積的計算學習，主題圖中包含平行四邊形、三角形等，既能喚起學生對圖形特征的認識，又能為多邊形面積的計算做鋪墊。單元主要內容包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積以及解決問題，各板塊內容的編排既有一致性和統(tǒng)整性，同時又各有側重，體現(xiàn)出清晰的層次性和關聯(lián)性。下面基于圖形的認識與測量一致性的角度，結合教材編寫特點對本單元做簡要分析。（一）以面積單位的度量為起點，促進學生整體建構知識長度是對一維空間的度量，面積是對二維空間的度量，體積是對三維空間的度量，其本質具有一致性，即計算所要度量的圖形包含多少個度量單位[2]?！抖噙呅蔚拿娣e》這一單元以度量作為起點，在平行四邊形的面積探究中，通過數(shù)格子、填表格，尋找平行四邊形與長方形的關系，感受計算平行四邊形的面積就是看它包含了多少個面積單位，從而進一步深刻領會計算面積的度量本質。教材在解決問題中編排了借助方格紙估計不規(guī)則圖形面積的內容，并引導學生根據(jù)估計的事物找到合適的標準進行估測，這也是對面積單位度量本質的鞏固和運用。教材從“認識面積和面積單位”到“長方形、正方形的面積”再到“多邊形的面積”，以面積單位貫穿始終，讓學生經(jīng)歷了“量的認識———量的比較———用公式求量”的過程。這樣的邏輯體系還將貫穿于后續(xù)體積的學習過程，充分體現(xiàn)出數(shù)學知識內在的邏輯性和系統(tǒng)性，有助于學生理解知識的本質，更有利于學生構建整體知識圖譜。（二）以圖形內在聯(lián)系為主線，促進學生自主遷移本單元的內容編排體現(xiàn)出各圖形間緊密的內在聯(lián)系。首先，平行四邊形的面積公式推導是將平行四邊形轉化成長方形，三角形的面積公式推導是將三角形轉化為平行四邊形，梯形的面積公式推導是將梯形轉化為平行四邊形或者三角形，組合圖形的面積是將組合圖形轉化為幾個學過的圖形。將未知轉化為已知的前提是清晰地認識各個圖形的特征和關系。其次，轉化完成后，需要更進一步分析轉化前后圖形的內在聯(lián)系，從而成功推導出新圖形的面積計算公式。這種“轉化———找聯(lián)系———推導公式”的活動經(jīng)驗和思維方式，在后續(xù)學習圓的面積、圓柱體的體積等活動中，能提高學生自主遷移和學習能力。教材在編排的過程中，還通過練習題引導學生感悟和發(fā)現(xiàn)各種圖形間的內在聯(lián)系。如人教版小學數(shù)學教材五年級上冊第88頁第8題，溝通長方形與平行四邊形的聯(lián)系；第10題安排在平行四邊形面積的后面，為三角形面積的探究做鋪墊；第102頁第5題，通過深度對比可以發(fā)現(xiàn)，其實長方形的面積也可以看成是底×高，當梯形的上底和下底相等時，就變成了平行四邊形，當梯形的上底為0時，其實就是三角形，從而使學生進一步了解幾種圖形面積與底和高的關系。（三）以動手實踐為主要學習方式，鼓勵學生自主探索本單元各部分內容編排遵循“生活情境———抽象圖形———活動探究———公式推導———公式運用”的基本流程，且教材都沒有呈現(xiàn)公式推導的過程，留給學生觀察、猜想、操作、推理、驗證的空間，讓學生在剪、拼、擺等動手實踐、推理驗證的過程中，逐步發(fā)展空間觀念、推理意識并提高解決問題的能力。平行四邊形的面積是讓學生在數(shù)格子的活動中逐步引發(fā)猜想，從而通過剪、拼把平行四邊形轉化成長方形；三角形的面積是讓學生把三角形轉換為已經(jīng)學過的圖形；梯形的面積留給學生更大的探索空間，讓學生用學過的知識自主探索梯形的面積計算公式。同時，教材內容的編排促使學生將動手實踐與推理結合起來，在面積公式的推導過程中，需要學生的思維從操作層面上升到推理層面，以等積變換或者倍積變換的方式，將新圖形轉化為已知圖形，然后經(jīng)歷對比觀察、尋找聯(lián)系、整合信息、重建表達等思維活動，找到轉化前后圖形的關系，推導出圖形的面積計算公式，這個推理的過程既是學生認知結構重建的過程，也是積累經(jīng)驗，提升素養(yǎng)的過程。二、教學建議基于上述教學內容分析，結合自身的教學實踐，教學這部分內容時有以下幾點建議。（一）以度量為本質，借助標準，引導生成“單位”思想度量的本質在于用標準單位刻畫描述物體某一方面的屬性。面積度量的本質是相同面積單位個數(shù)的累加。研究長方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積就是在計數(shù)這些圖形里面包含多少個面積單位。長方形、正方形的面積是用每行的面積單位個數(shù)乘行數(shù)，即長乘寬。求平行四邊形、三角形和梯形的面積，也可以將這些圖形看作是一行有幾個面積單位，通過觀察有這樣的幾行，進而推導出這些圖形的面積。本單元可以借助每個面積為1cm的方格紙作為度量標準，幫助學生自主轉化圖形，推導面積公式，生成“單位”思想。例如，教學“平行四邊形的面積”時，學生借助方格紙，數(shù)平行四邊形的面積，可以通過多次拼湊把每一行移成整格，數(shù)出有這樣的幾行，也可以直接一次移拼把平行四邊形轉化為一個長方形，再用每行個數(shù)乘行數(shù)。不同計數(shù)面積的方式都得到了平行四邊形包含了幾個1平方厘米，即面積就是幾平方厘米。通過比較，發(fā)現(xiàn)先轉化為長方形再計算的方法會更快。脫離方格的情況下，再讓學生通過操作、觀察、比較、交流發(fā)現(xiàn)平行四邊形和轉化后的長方形之間的聯(lián)系，領會平行四邊形的底和高的長度與面積單位計數(shù)之間的內在聯(lián)系，深化面積公式的理解，深入理解度量本質。在研究三角形、梯形等其他平面圖形和的面積時，也可以通過“單位”思想的方法“數(shù)”出來。（二）以轉化為主線，溝通聯(lián)系，發(fā)展推理意識“轉化”是數(shù)學學習和研究的一種重要思想方法，在本單元的學習中，不論是推導基本圖形的面積公式，還是計算組合圖形的面積，每出現(xiàn)一種新的圖形，都要突出“將未知轉化為已知”這一基本轉化思想。例如，教學“三角形的面積”時，可適當放手讓學生自主探究，通過計數(shù)、剪拼、觀察、歸納推理活動中，借助“單位”思想和已有知識經(jīng)驗，在面積單位湊整的過程中學生生成自主轉化意識。通過“割補法”的等積變換和“倍拼法”的倍積變換兩種不同方法把三角形轉化為已學的長方形和平行四邊形，再推導出它的面積。探索過程中，讓學生體會圖形的特征、關系和轉化，體驗圖形的平移、旋轉以及轉化的數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的推理意識。在教學“梯形的面積”“組合圖形的面積”時，可完全放手讓學生自主探索。在單元整理復習課中，引導學生發(fā)現(xiàn)研究這些平面圖形的面積都是應用轉化思想推導出面積計算公式。同時，轉化思想也是后期學習其他知識的基礎。（三）以“經(jīng)驗”為紐帶，聯(lián)系實際，提升應用意識五年級學生已有面積、面積單位、長方形的面積等知識經(jīng)驗，教師在教學中要著重關注新舊知識之間的聯(lián)系。例如，學習“平行四邊形的面積”時，要進行面積、平行四邊形相關概念以及長方形面積計算的復習回顧，把握學生的認知基礎，找準教學起點，有效開展教學。本單元在引入新課環(huán)節(jié)創(chuàng)設了真實的生活情境，學生可以運用已有的生活經(jīng)驗把實物的形狀抽象為平面圖形，進而探索其大小，能較好地激發(fā)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界。在實際生活中，有一些不規(guī)則圖形，無法直接算出面積，教師可以引導學生確定一個適合的測量標準去估計，也可以將不規(guī)則圖形近似看作規(guī)則圖形來估計面積，靈活采用不同的估