2024屆安徽省安慶某中學(xué)碧桂園分校高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆安徽省安慶二中碧桂園分校高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將木試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)？滿足貝ijz=（)

c,也一亞iD,也怎

A.1-ZB.1+/

2222

2.雙曲線入2一上=1的漸近線方程為（)

2

?）,=±萬、B.y=±xC.y=±y/2xD.y=±y/3x

3.復(fù)數(shù)z=（2+1）（1+i）的共物復(fù)數(shù)為（)

A.3-3/B.3+3ZC.1+3/

的圖象經(jīng)過點［卷，（），則函數(shù)=+圖象的一條

4.若函數(shù)），=2S〃?（2.E+川網(wǎng)<

\Z/

對稱軸的方程可以為（

7137乃177r13乃

A.X=-----B.x=-----C.x=-----D.X-------

24242424

5.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為A、B、C>0、E五個等級.某班共有36名學(xué)生且全部選考

物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中，這兩科等級均為A的學(xué)生有5人，這兩科中僅

有一科等級為A的學(xué)生，其另外一科等級為8,則該班（）

\^級

ABCDE

M11\

物理1016910

化學(xué)819720

A.物理化學(xué)等級都是5的學(xué)生至多有12人

B.物理化學(xué)等級都是8的學(xué)生至少有5人

C.這兩科只有一科等級為3且最高等級為4的學(xué)生至多有18人

D.這兩科只有一科等級為4且最高等級為3的學(xué)生至少有1人

6.若〃力是定義域為R的奇函數(shù),且/（x+2）=-/（x）,則

A./卜）的值域為RB./（同為周期函數(shù)，且6為其一個周期

C./卜）的圖像關(guān)于工=2對稱D.函數(shù)/（X）的零點有無窮多個

7.若直線），=依-2與曲線y=l+31nx相切，則％=（）

11

A.3B.-C.2D.-

32

8.設(shè)M是AA3C邊BC上任意一點，N為AM的中點，若AN=2AB+〃AC,則2+〃的值為（）

1八11

A.1B.—C.—D.一

234

9.如圖，在底面邊長為1,高為2的正四棱柱ABC。-4與GR中，點尸是平面內(nèi)一點，則三棱錐尸一3CO

的正視度與側(cè)視圖的面積之和為（）

正視

A.2B.3C.4D.5

—,x<0

10.已知函數(shù)/")=已，若函數(shù)尸(x)=/0)-丘在R上有3個零點，則實數(shù)上的取值范圍為()

Inx八

——,x>0

A.(0,—)B.(0,-^-)C.(-0>,上)D.(J,)

e2e2e2ee

11.己知正方體A8C。-AACQ的極長為2,點M為棱。。的中點，則平面ACM截該正方體的內(nèi)切球所得截面

面積為()

兀c2乃cn4乃

A.-B.—C.兀D.

333

12.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列

與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,

在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”,現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為

、…P…、〃(〃+1)(2〃+1)、

()(注：1-+2-+3-++/?-=—-----------------)

6

A.1624B.1024C.1198D.1560

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量〃=(1,X+1),b=(x,2),若滿足且方向相同，則無=

14.在AA8C中，角A,B,。的對邊長分別為b,C,滿足/-2a(sin8+Gcos8)+4=0,〃=2J7,則AABC

的面積為一.

15.已知關(guān)于x的不等式(G-層?4)(x?4)>0的解集為A,且A中共含有〃個整數(shù)，則當(dāng)〃最小時實數(shù)〃的值

為.

16.設(shè)集合A=｛1,3｝,B=1X|X2-2X-3<0｝,則Afi8=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛〃“｝,仇｝,數(shù)列￡｝滿足％=［：；'；為編數(shù)，破N"

⑴若見=〃，。=2",求數(shù)列｛qj的前2〃項和百；

(2)若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且對任意〃wN*，恒成立.

①當(dāng)數(shù)列低｝為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列｛q｝,｛4｝的公差相等；

②數(shù)列出｝能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列也｝；若不能，請說明理由.

x=2+2cose

18.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為，八.，(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，工軸

y=4+2sina

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=4sin0.

(1)把G的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：

⑵求G與G交點的極坐標(biāo)(夕>0,0<6?<2^).

x=-l+2cos0

19.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方程為八.(夕為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸正

y=2s\n(p

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點P的直角坐標(biāo)為(-2,0),過P的直線/與曲線。相交于M,N兩點.

(D若/的斜率為2,求/的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

I艮艮y

(2)求PM.PN的值.

20.(12分)某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路44,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山

隧道/WN,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路4,和山區(qū)邊界的直線型公路/,以乙，所在

](Y)

的直線分別為工軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系尤。丫，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為C：y=——(1>()),設(shè)公路/與

X

曲線C相切于點。的橫坐標(biāo)為

(1)當(dāng)，為何值時，公路/的長度最短?求出最短長度；

(2)當(dāng)公路/的長度最短時，設(shè)公路/交X軸，).軸分別為A,B兩點,并測得四邊形A5MN中，/BAN

2

ZMBA=-;rtAN=10及千米，比0=156千米，求應(yīng)開鑿的隧道MN的長度.

21.(12分)已知函數(shù)〃力=忸_2H2x+l|.

(1)求不等式/(x)Nl的解集；

(2)若關(guān)于大的不等式/(x)W3—2?在區(qū)間卜]』內(nèi)無解，求實數(shù)，的取值范圍.

22.(10分)已知橢圓5+《=l(a>b>0)的右焦點為6(3,0),離心率為仁

(1)若e二立，求橢圓的方程；

2

(2)設(shè)直線)，二質(zhì)與橢圓相交于A、8兩點，M、N分別為線段人工、8乃的中點，若坐標(biāo)原點。在以MN為直

徑的圓上，且亞求我的取值范圍.

22

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.

【詳解】

解,"1=/=何1)田一)二6回

?1+z1+Z(1+/)(l-z)222

故選：C

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

雙曲線21=1,

2

???雙曲線的漸近線方程為)，=士岳，

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.

3、D

【解析】

直接相乘，得1+3L由共朝復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果

【詳解】

???z=(2+i)(l+i)=l+3i

?,?其共朝復(fù)數(shù)為J3i.

故選：D

【點睛】

熟悉復(fù)數(shù)的四則運算以及共施復(fù)數(shù)的性質(zhì).

4、B

【解析】

由點(t，。)求得9的值，化簡/(x)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得/(x)的對稱軸，由此確定正確選項.

【詳解】

由題可知25〃2x+^1=0,|<^|<^.^9=-—

r，乃，乃

所以/(工)=呵21+看卜852弋=0sinI2xH-----1—=\[1sin2x+

I64；

令2x+三-=+k冗,kGZ,

122

出冗、k兀

得，+"z

令攵=3,得x=

24

故選：B

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.

5、D

【解析】

根據(jù)題意分別計算出物理等級為4,化學(xué)等級為4的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為4,化學(xué)等級為4的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表

格中的數(shù)據(jù)進行分析，可得出合適的選項.

【詳解】

根據(jù)題意可知，36名學(xué)生減去5名全A和一科為A另一科為8的學(xué)生10-5+8-5=8人(其中物理A化學(xué)8的有5

人,物理8化學(xué)A的有3人)，

表格變?yōu)椋?/p>

A8CDE

物理10-5-5=016-3=13910

化學(xué)8-5-3=019-5=14720

對于A選項，物理化學(xué)等級都是3的學(xué)生至多有13人，A選項錯誤；

對于B選項，當(dāng)物理。和3,化學(xué)都是“時，或化學(xué)。和O,物理都是4時，物理、化學(xué)都是"的人數(shù)最少，至少

為13-7-2=4(人)，B選項錯誤；

對于C選項，在表格中，除去物理化學(xué)都是8的學(xué)生，剩下的都是一科為3且最高等級為4的學(xué)生，

因為都是8的學(xué)生最少4人，所以一科為8且最高等級為8的學(xué)生最多為13+9+1—4=19(人)，

C選項錯誤；

對于D選項，物理化學(xué)都是3的最多13人，所以兩科只有一科等級為8且最高等級為3的學(xué)生最少14-13=1(人),

D選項正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.

6、D

【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.

【詳解】

/(力是定義域為R的奇函數(shù)，則/(—x)=/(0)=。，

又/(x+2)=-f(x),/(x+4)=-/(x+2)=f(x),

即/(x)是以4為周期的函數(shù)，/(4幻=/(0)=0伙eZ),

所以函數(shù)/(x)的零點有無窮多個；

因為/(/+2)=-/(此，/[(x+1)+1]=/(-%),令，=1+%,則+=

即/(x+l)=/(l—x),所以/(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，

由題意無法求出了（X）的值域，

所以本題答案為D.

【點睛】

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.

7、A

【解析】

33

設(shè)切點為（%,依2）,對），=1+31必?求導(dǎo)，得到），'=巳，從而得到切線的斜率z=一,結(jié)合直線方程的點斜式化簡

x/

得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)切點為（%,5-2）,

3—=%①，

V/=-,A-^o

5-2=l+31nA^,

由①得組=3,

代入②得l+31n/=l,

則七=1,k=3,

故選A.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單

題目.

8、B

【解析】

設(shè)BM=fBC，通過AN=；AM，再利用向量的加減運算可得AN=?AC，結(jié)合條件即可得解.

【詳解】

設(shè)BM=tBC，

又AN=4A8十〃AC,

2=---

由J2ITt1

所以，，有4+〃=丁丁+二=二.

1*5t222

故選B.

【點睛】

本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向

量表示法唯一來解決問題.

9、A

【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.

【詳解】

由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐P-8CZ）的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為2高為1的三角形，其面積都是

]xlx2=l,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為1+1=2,

2

故選：A.

【點睛】

本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)x<0,x>0,將問題轉(zhuǎn)化為攵=]3的零點問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.

X

【詳解】

當(dāng)x<0時，攵二旦打二-^,令g（x）=l，g〈x）=-N>（）,g（工）在xw（-8,0）是增函數(shù)，女>0時，上=“

xx~XX'X

有一個零點，

、,，cr.f（x）Inx人，/\Inxx1-21nx

當(dāng)x>0時，左==岑，令卜（力=丁”（力=一一

XXX.1

當(dāng)工€（o,五）時，力*）>0,在（0,G）上單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡（y[,+8）時，/?'（X）V。，「.〃0）在（6,+8）上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時，"（X）取得最大值1

2e

因為/。）=/*）-辰在R上有3個零點,

所以當(dāng)x>0時，攵=&1有2個零點,

x

綜上可得實數(shù)k的取值范圍為（0，!）,

2e

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.

11、A

【解析】

根據(jù)球的特點可知截面是一個圓，根據(jù)等體積法計算出球心到平面ACM的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截

面面積可求.

【詳解】

如圖所示：

設(shè)內(nèi)切球球心為O，O到平面AC”的距離為d,截面圓的半徑為，,

因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半，所以球的半徑為1,

又因為%-AMC=Kf-AOC?所以;XdxSAMC=xSAOC

JJ

2

又因為S.詼=gx2&X1曲—⑼=V6,SMOC=lx2V2xl=V2,

所以《xdx6=],所以包,

333

所以截面圓的半徑一二廬力二日，所以截面圓的面積為S=/r1曰）=y.

故選：A.

【點睛】

本題考瓷正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面枳的計算，難度一般.任何一個平面去截球，得到的截面一定是圓面,

截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.

12、B

【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列｛%｝的通項公式和前〃項和，利用累加法求得數(shù)列｛%｝的通項公式，進而求

得?

【詳解】

依題意

%:I,4,8,14,23,36,54..........

兩兩作差得

bn：3,4,6,9,13,18..........

兩兩作差得

：192,3,4,59??????

設(shè)該數(shù)列為｛〃〃｝,令b.a，設(shè)｛勿｝的前〃項和為伉，又令%=2用一%設(shè)｛&｝的前〃項和為C,?

222

曰_n+n,c廠on+non(n-i)n1to

易〃=〃，,進而得〃，+[=,所以〃貝

cC?=---------3+C0n=3+----------r=3+------------=----------〃+3,II

〃2〃十?2222

4=〃(〃+1)(〃一1)+3〃，所以4向=]+乩，所以49=1024.

6

故選：B

【點睛】

本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查累加法求數(shù)列的通項公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中

檔題.

二、填空題，木題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計算.注意驗證兩向量方向是否相同.

【詳解】

:。，x(x+1)—2=0,解得x=l或x=—2,

X=1時,4=(1,2)，=(1,2)滿足題意,

%=-2時，a=(1,-1),/^=(-2,2),方向相反，不合題意，舍去.

**.x=1.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯.

14、2G

【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求8,進而可求然后結(jié)合余弦定理可求C,代入

Sa8c=5〃csin8,計算可得所求.

【詳解】

解:把2a(sinB+GeosB)+4=0看成關(guān)于。的二次方程,

則△NO,即4(sin3+GcosB)2-16N(),

即為42sin(5+qJ-162(),

化為sin2(8+1)31,而sin~+W1,

則sin“B+可=1,

由于0<8<不，可得巳<8+工<也，

333

可得3+工=工，BPB=-,

326

代入方程可得，/_4〃+4=0,

:.a=2t

由余弦定理可得，cos-=4+c2~28=—,

62x2c2

解得：C=4G（負的舍去）,

S；SBC=—^sinB=-x2x4百x-=2百.

故答案為2方.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

15、-1

【解析】

44、/X4

討論〃<0,。=0,。>0三種情況，aVO時,根據(jù)均值不等式得到。+—=一（-a-----)<-1J(_〃)—=-4,計算

a

等號成立的條件得到答案.

【詳解】

已知關(guān)于x的不等式Cax-a1-4)(x-4)>0,

44

①〃V0時，[x-(a+—)](x-4)<0,其中。+一〈0,

aa

4

故解集為(〃+—,4),

44

由于a+—=一——)<=-4,

aa

4

當(dāng)且僅當(dāng)-〃二-一，即〃=-1時取等號,

a

44

???。+一的最大值為-4,當(dāng)且僅當(dāng)。+—=-4時，A中共含有最少個整數(shù)，此時實數(shù)〃的值為-1;

aa

②。=0時，?4（x?4）>0,解集為（?oo,4）,整數(shù)解有無窮多，故。=0不符合條件;

44

③。>0時，|x?(〃+—)1(x-4)>0,其中4+—24,

aa

4

工故解集為(-8,4)U(a+—,+oc),整數(shù)解有無窮多，故心>0不符合條件;

a

綜上所述，a=-1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

16、｛1｝

【解析】

先解不等式Y(jié)一2/-3<0,再求交集的定義求解即可.

【詳解】

由題，因為/一2工一3<0,解得-1vx<3,即B=｛X\-]<X<3｝9

貝UB=｛1｝,

故答案為:｛1｝

【點睛】

本題考有集合的交集運算，考查解一元二次不等式.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步躲。

17、(1)7^=〈+〃2一；(2)①見解析②數(shù)列｛"｝不能為等比數(shù)列，見解析

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進行求解；

(2)①設(shè)數(shù)列｛〃“｝的公差為d,數(shù)列｛〃｝的公差為4,當(dāng)〃為奇數(shù)時，得出4之d；當(dāng)〃為偶數(shù)時，得出

從而可證數(shù)列｛4｝,他｝的公差相等；

②利用反證法，先假設(shè)｛〃｝可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進而得出數(shù)列低｝不能為等比數(shù)列.

【詳解】

(1)因為bn=T,所以?！?2-%=2,2=4且q=q=l,c2=b2=4

由題意可知，數(shù)列｛弓?。且?為首項，2為公差的等差數(shù)列,

數(shù)列｛。2“｝是首項和公比均為4的等比數(shù)列，

不力7工〃(〃一1)-4(1—4”)4田，24

所以=〃+-------x2+--------=----+〃一一；

2"21-433

(2)①證明：設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為1,數(shù)列也』的公差為4，

當(dāng)〃為奇數(shù)時，%=?！?%+(〃—l)d,cM+l=bt)+｝=b｛+nd]

ci,-d-b.

若4vd,則當(dāng)〃~y1時，Cm-c“=(4_d)n+d—<U,

4-cl

即％M<%,與題意不符，所以42d,

當(dāng)n為偶數(shù)時，c?=",二4+(〃-1)4,cM+1=an+l=a]+nd,

b.-d.-a.

若4>d,則當(dāng)心一;—:—時，。用-%=(d-4)〃+q+4-&<0,

d一4

即C“M<%，與題意不符，所以《Md，

綜上，d、=d,原命題得證；

②假設(shè)｛"｝可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為分

因為％+i>%，所以>%，所以%+2-4=2">°，警=(廣>1,

n

因為當(dāng)""咻扁%時，

|〃+2-4T4|(丁-1)=W.|嫉"?(/一1)>4d，

所以當(dāng)〃為偶數(shù)，且用時，％2任(。田，(+3)，

即當(dāng)〃為偶數(shù)，且%<CH<%句時，噓z<%十2<%十3不成立，與題意矛盾，

所以數(shù)列｛2｝不能為等比數(shù)列.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合，數(shù)列求和時一般是結(jié)合通項公式的特征選取合適的求和方法，數(shù)列綜合題要

回歸基本量，充分挖掘題目已知信息，細思細算，本題綜合性較強，難度較大，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心

素養(yǎng).

18、(1)〃2_4〃cos6—8〃sin8+16=0；(2)G與交點的極坐標(biāo)為((怖]，和

【解析】

(1)先把曲線G化成直角坐標(biāo)方程，再化簡成極坐標(biāo)方程；

(2)聯(lián)立曲線G和曲線G的方程解得即可.

【詳解】

2

⑴曲線的直角坐標(biāo)方程為：(x—2)2+(y—4『=4,Bpx+/-4x-8y+16=0.二G的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)

方程為p~-4pcos^-8psin^+16=0；

⑵聯(lián)立卜?〃。。包8ps,M6二?？傻茫海海换虿?,".2交點的極坐標(biāo)為(),和(2加],

p=4s加。0=—0=—k2；<4；

[214

【點睛】

本題考查了參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的互化，也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)/：2pcos^-psin^+4=0,C：(x+l)2+y2=4；(2)-3

【解析】

(1)根據(jù)點斜式寫出直線/的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用sin2e+cos2°=l,將曲線。的參數(shù)方程

轉(zhuǎn)化為普通方程.

(2)將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得QV/.QN的值.

【詳解】

(1)/的直角坐標(biāo)方程為>=2(工+2),即2x-y+4=0,

則/的極坐標(biāo)方程為2/7COS，一osin6+4=0.

曲線C的普通方程為(x++V=4.

fx=-2+rcostz

(2)直線/的參數(shù)方程為V為參數(shù)，。為/的傾斜角)，

[y=rsina

代入曲線C的普通方程，得r―2，cosa—3=0.

設(shè)M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為乙，與，所以〈”=-3,M”在尸(-2,0)的兩側(cè).則

WN=KWM?COS71=-|/,/2|=-3.

【點睛】

本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義，

屬于中檔題.

20、（1）當(dāng)，=10時，公路/的長度最短為20五千米；（2）5同（千米）.

【解析】

（1）設(shè)切點尸的坐標(biāo)為上,產(chǎn)）。>0）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線/的方程為），一甲二一詈（元-/）,根據(jù)兩

點間距離得出|人用一小4一+寫”,1>0,構(gòu)造函數(shù)以“=4/+寫2,r>0,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值

和最值，即可得出結(jié)果；

（2）在M5N中，由余弦定理得出BN=10C，利用正弦定理一^一=—^一,求出NA3N=f,最后

sin/BANsin4ABN6

根據(jù)勾股定理即可求出MN的長度.

【詳解】

（1）由題可知，設(shè)點尸的坐標(biāo)為，，半卜>。），

「，100/小

又y=一--U>o）,

JT

m士位100100/、

則直線/的方程為y----=一一-U-r）,

tr

由此得直線/與坐標(biāo)軸交點為：42/,0）,3（0,平）

muL，40000H,,、L、40000

貝?。﹟A8|=’4廠+——，/>A0,故/⑺=,4廠+——,r>0n,

”/、，240000八皿，/、2x40000

設(shè)gQ）=4廠+—--,/>0,則g"）=8o/-----——.

tt

令g'Q）=0,解得/=10.

當(dāng)/￡（0/0）時，g⑺v0,g（f）是減函數(shù)；

當(dāng)，￡（10,+8）時，4?）>0,g“）是增函數(shù).

所以當(dāng)"10時,函數(shù)g?）有極小值,也是最小值，

所以g（f）min=800，此時/⑺“加=20VL

故當(dāng)/=10時，公路/的長度最短，最短長度為20近千米.

（2）在AA用V中，AN=\。瓜ZBAN=三,

所以BN2=AB2+AN2-2AB-ANcos/BAN，

所以BN=1。娓,

根據(jù)正弦定理

BN_AN

sin/BAN-sin/ABN'

.10>/6_10V2

二;"sin/ABN，

sin

3

:.s\nZABN=-

2f

71

4ABN=-,

6

又4MBX=Z兀，

3

7T

所以NM3N=/MBA—/ABN=—.

2

在AMBN中,BM=156,BN=10瓜,

由勾股定理可得MN?=BM?+BN?,

即加川2二(15百)2+(10后)2,

解得，MN=55(千米).

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實際的最值問題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)