（新教材適用）2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列2等差數(shù)列21等差數(shù)列的概念及其通項公式第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及等差中項課后訓(xùn)練北師大版選擇性

第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及等差中項課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.已知數(shù)列{an}是無窮數(shù)列,則“2a2=a1+a3”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:若“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”成立,必有“2a2=a1+a3”,而僅有“2a2=a1+a3”成立,不能斷定“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”成立,必須滿足對任何的n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立才可以,故“2a2=a1+a3”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的必要不充分條件.答案:B2.在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=().A.12 B.16 C.20 D.24解析:因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a2+a10=a4+a8=16.答案:B3.(多選題)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個說法,正確的是().A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B.數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列C.數(shù)列ann是遞增數(shù)列 D.數(shù)列{an+3解析:A項中,∵{an}是等差數(shù)列,且d>0,∴an=a1+(n1)d=dn+a1d,∴{an}是遞增數(shù)列,故A正確;B項中,nan=na1+n(n1)d=dn2+(a1d)n.不一定為遞增數(shù)列,如當(dāng)a1=3,d=1時,nan=n24n,2a2=4<3=a1,∴{nan}不是遞增數(shù)列,∴B錯誤;C項中,ann=d+a1-dn,當(dāng)D項中,an+3nd=4nd+a1d,4d>0,{an+3nd}是遞增數(shù)列,D正確.故選AD.答案:AD4.在等差數(shù)列{an}中,a1·a3=8,a2=3,則公差d的值為().A.1 B.1 C.±1 D.±2解析:∵a2=3,∴a1+a3=6,∵a1·a3=8,∴a∴d=±1.答案:C5.已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=13,a13=33,則數(shù)列{an}的公差為().A.1 B.2 C.3 D.4解析:等差數(shù)列{an}的公差d=a13-a答案:B6.若一個三角形的三個內(nèi)角∠A,∠B,∠C成等差數(shù)列,則tan(A+C)=.

解析:∵∠A,∠B,∠C成等差數(shù)列,∴2∠B=∠A+∠C.又∠A+∠B+∠C=π,∴3∠B=π,∴∠B=π3∴∠A+∠C=2π∴tan(A+C)=tan2π3=答案:37.在等差數(shù)列{an}中,若a3a4+a5a6+a7=100,則a5=.

解析:∵a3+a7=a4+a6,∴a3a4+a5a6+a7=(a3+a7)(a4+a6)+a5=a5=100.答案:1008.若三個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為9,平方和為59,則這三個數(shù)的積為.

解析:設(shè)這三個數(shù)分別為ad,a,a+d,由題意得a解得a=3,d=4答案:219.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,求m和n的等差中項.解:由題意得m①+②,得3(m+n)=18,∴m+n=6,∴m和n的等差中項為m+n210.在等差數(shù)列{an}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=21,求該數(shù)列的通項公式.解:∵a2+a5+a8=9,a3a5a7=21,a2+a8=a3+a7=2a5,∴a5=3.(方法一)∴a3+a7=2a5=6,①a3·a7=7,②由①②解得a3=1,a7=7或a3=7,a7=1.當(dāng)a3=1時,d=2;當(dāng)a3=7時,d=2.由an=a3+(n3)d,得an=2n7或an=2n+13.(方法二)∴a3·a7=7,∴(a52d)(a5+2d)=7,∴(32d)(3+2d)=7,解得d=±2.若d=2,則an=a5+(n5)d=3+2(n5)=2n7;若d=2,則an=a5+(n5)d=32(n5)=132n.∴an=2n7或an=2n+13.B組1.下列說法正確的個數(shù)是().①若a,b,c成等差數(shù)列,則a2,b2,c2一定成等差數(shù)列;②若a,b,c成等差數(shù)列,則2a,2b,2c可能成等差數(shù)列;③若a,b,c成等差數(shù)列,則ka+2,kb+2,kc+2一定成等差數(shù)列;④若a,b,c成等差數(shù)列,則1a,A.4 B.3 C.2 D.1解析:對于①,取a=1,b=2,c=3?a2=1,b2=4,c2=9,①錯誤.對于②,a=b=c?2a=2b=2c,②正確.對于③,∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b.∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),③正確.對于④,a=b=c≠0?1a④正確.綜上可知選B.答案:B2.已知數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列,且bn=an+1an(n∈N+).若b3=2,b10=12,則a8=().A.0 B.3 C.8 D.11解析:設(shè)數(shù)列{bn}的首項為b1,公差為d.由b3=2,b10=12,得b1+2所以bn=6+2(n1)=2n8.因為bn=an+1an,所以a8=(a8a7)+(a7a6)+(a6a5)+(a5a4)+(a4a3)+(a3a2)+(a2a1)+a1=b7+b6+b5+…+b1+a1=(6+4+2+0246)+3=3.答案:B3.下列數(shù)陣中,每行、每列的三個數(shù)均成等差數(shù)列,如果數(shù)陣中所有數(shù)之和等于63,那么a52=().aA.2 B.8 C.7 D.4解析:因為第一行三個數(shù)成等差數(shù)列,所以a41+a42+a43=3a42,同理,a51+a52+a53=3a52,a61+a62+a63=3a62,又每列也成等差數(shù)列,所以a42+a52+a62=3a52,所以a41+a42+a43+a51+a52+a53+a61+a62+a63=3a42+3a52+3a62=3×3a52=63,所以a52=7,故選C.答案:C4.已知在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,則∠B等于;ac與b2的大小關(guān)系是.

解析:由已知得B=A+C2=在△ABC中,b2=a2+c22accosπ3=a2+c2ac所以b2=a2+c2ac≥2acac=ac.答案:π3b2≥5.在等差數(shù)列{an}中,已知a1,a99是函數(shù)f(x)=x210x+16的兩個零點,則12a50+a20+a80=.解析:由題意,知a1,a99是方程x210x+16=0的兩根,則a1+a99=10.又因為{an}是等差數(shù)列,所以a50=a1+故12a50+a20+a80=52a50=52×5答案:256.已知5個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為25,它們的平方和為165,求這5個數(shù).解:設(shè)這5個數(shù)依次為a2d,ad,a,a+d,a+2d,由題意可得(a2d)+(ad)+a+(a+d)+(a+2d)=25,(a2d)2+(ad)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=165,解得a=5,d=±2.所以這5個數(shù)為1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.7.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n2+nλ)an(n=1,2,…),λ是常數(shù).(1)當(dāng)a2=1時,求λ及a3的值.(2)是否存在實數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在,求出λ及數(shù)列{an}的通項公式;若不存在,請說明理由.解:(1)∵an+1=(n2+nλ)an(n=1,2,…),且a1=1,∴當(dāng)a2=1時,得1=2λ,故λ=3.∴a3=(22+23)×(1)=3.(2)不存在實數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列.理由如下:∵a1=1,an