高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試專題強化練（八）概率與統(tǒng)計

專題強化練(八)概率與統(tǒng)計1．(2023·汕頭龍湖區(qū)三模)從屬于區(qū)間[2，9]的整數(shù)中任取兩個數(shù)，則至少有一個數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為()A.eq\f(6,7) B.eq\f(5,7)C.eq\f(9,14) D.eq\f(11,14)解析：區(qū)間[2，9]的整數(shù)共有8個，則質(zhì)數(shù)有2，3，5，7共4個；非質(zhì)數(shù)有4個；設(shè)事件A：從屬于區(qū)間[2，9]的整數(shù)中任取兩個數(shù)，至少有一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，由P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,14)得P(A)＝1－P(A)＝eq\f(11,14).故選D.答案：D2．(2023·廣東模擬)一堆蘋果中大果與小果的比例為9∶1，現(xiàn)用一臺水果分選機進行篩選．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%.經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為()A.eq\f(855,857) B.eq\f(857,1000)C.eq\f(171,200) D.eq\f(9,10)解析：根據(jù)題意，記事件A1＝放入水果分選機的蘋果為大果，事件A2＝放入水果分選機的蘋果為小果，記事件B＝水果分選機篩選的蘋果為“大果”，P(A1)＝eq\f(9,10)，P(A2)＝eq\f(1,10)，P(B|A1)＝1－5%＝eq\f(19,20)，P(B|A2)＝2%＝eq\f(1,50)，則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(9,10)×eq\f(19,20)＋eq\f(1,10)×eq\f(1,50)＝eq\f(857,1000)，則P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝eq\f(9,10)×eq\f(19,20)＝eq\f(855,1000)，故P(A1|B)＝eq\f(P（A1B）,P（B）)＝eq\f(\f(855,1000),\f(857,1000))＝eq\f(855,857).故選A.答案：A3．(2023·佛山模擬)已知盒子中裝有形狀，大小完全相同的五張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)每次從中任意取一張，取出后不再放回，若抽取三次，則在前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)解析：設(shè)“前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A，“第三張為奇數(shù)”為事件B，故所求的概率P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3))＝eq\f(1,2).故選C.答案：C4．(2023·廣州天河區(qū)三模)已知總體劃分為若干層，通過分層隨機抽樣，其中某一層抽取的樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，其平均數(shù)和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))，s2.記總的樣本平均數(shù)為eq\o(ω,\s\up6(－))，則eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝()A．s2＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2 B．ns2＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2C．s2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2 D．ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2解析：因為樣本數(shù)據(jù)的x1，x2，…，xn的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)xi，方差是s2＝eq\f(1,n)[(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，所以eq\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)＝neq\o(x,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝ns2，所以eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝eq\i\su(i＝1,n,)[(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))]2＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋2eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))＋eq\i\su(i＝1,n,)(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝ns2＋2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))(eq\i\su(i＝1,n,)xi－eq\i\su(i＝1,n,)eq\o(x,\s\up6(－)))＝ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))(neq\o(x,\s\up6(－))－neq\o(x,\s\up6(－)))＝ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2.故選D.答案：D5．(2023·廣東一模)如圖所示是中國2012—2021年汽車進、出口量統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論錯誤的是()A．2012—2021年中國汽車進口量和出口量都是有增有減的B．從2018年開始，中國汽車的出口量大于進口量C．2012—2021年中國汽車出口量的第60百分位數(shù)是106萬輛D．2012—2021年中國汽車進口量的方差大于出口量的方差解析：由條形圖可知2012－2021年中國汽車進口量和出口量都是有增有減的，所以選項A正確；由條形圖可知從2018年開始，中國汽車的出口量大于進口量，所以選項B正確；2012－2021年中國汽車出口量由小到大排列為72.3，73，89.7，92，99，104，108，115，121.5，212，因此第60百分位數(shù)是eq\f(104＋108,2)＝106，所以選項C正確；由條形圖可知2012－2021年中國汽車進口量的波動小于出口量的波動，因此2012－2021年中國汽車進口量的方差小于出口量的方差，所以選項D不正確，故選D.答案：D6．(2023·佛山一模)已知事件A，B，C的概率均不為0，則P(A)＝P(B)的充要條件是()A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)B．P(A∪C)＝P(B∪C)C．P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－))B)D．P(AC)＝P(BC)解析：對于A，因為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只能得到P(A∩B)＝0，并不能得到P(A)＝P(B)，故A錯誤；對于C，因為P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)－P(AB)，P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(B)－P(AB)，又P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－))B)，所以P(A)＝P(B)，故C正確；對于B，因為P(A∪C)＝P(A)＋P(C)－P(A∩C)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)－P(B∩C)，由P(A∪C)＝P(B∪C)，只能得到P(A)－P(A∩C)＝P(B)－P(B∩C)，由于不能確定A，B，C是否相互獨立，故無法確定P(A)＝P(B)，故B錯誤；對于D，由于不能確定A，B，C是否相互獨立，若A，B，C相互獨立，則P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，則由P(AC)＝P(BC)可得P(A)＝P(B)，故由P(AC)＝P(BC)無法確定P(A)＝P(B)，故D錯誤；故選C.答案：C7．(2023·佛山順德區(qū)一模)國家于2021年8月20日表決通過了關(guān)于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規(guī)定，國家提倡適齡婚育、優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策．某個家庭積極響應(yīng)該政策，一共生育了三個小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件B：該家庭最多有一個男孩；事件C：該家庭最多有一個女孩．則下列說法正確的是()A．事件B與事件C互斥但不對立B．事件A與事件B互斥且對立C．事件B與事件C相互獨立D．事件A與事件B相互獨立解析：對于A，事件B：該家庭最多有一個男孩，即一個男孩兩個女孩或三個女孩，事件C：該家庭最多有一個女孩，即一個女孩兩個男孩或三個男孩，不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，故B與C是互斥且對立事件，故A錯誤；對于B，因為事件A與事件B能同時發(fā)生，所以不是互斥事件，故B錯誤；對于C，因為P(B)＝P(C)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(BC)＝0，所以P(BC)≠P(B)P(C)，所以B與C不是相互獨立事件，故C錯誤；對于D，由題意可知，P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，因為P(AB)＝P(A)P(B)，所以A與B獨立，故D正確．故選D.答案：D8．(2023·茂名模擬)甲、乙兩人進行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.2.若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為()A．0.36 B．0.49C．0.51 D．0.75解析：甲、乙兩人進行象棋比賽，甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.2.甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，由乙至少贏甲一局是指兩局比賽中乙兩局全勝或第一局乙勝第二局乙不勝，或第一局乙不勝第二局中乙勝，乙至少贏甲一局的概率為：p＝0.3×0.3＋0.3×0.7＋0.7×0.3＝0.51.故選C.答案：C9．(多選題)(2023·廣州海珠區(qū)校級三模)如圖是某汽車公司100家銷售商2022年新能源汽車銷售數(shù)據(jù)頻率分布直方圖(單位：輛)，則()A．a(chǎn)的值為0.004B．估計這100家銷售商新能源汽車銷量的平均數(shù)為135C．估計這100家銷售商新能源汽車銷量的80%分位數(shù)為212.5D．若按分層抽樣原則從這100家銷售商抽取20家，則銷售在[200，300]內(nèi)的銷售商應(yīng)抽取5家解析：由頻率分布直方圖可知，50×0.002＋50×0.003＋50a＋50×0.006＋50×a＋50×0.001＝1，得：a＝0.004，故A正確；(25×0.002＋75×0.003＋125×0.004＋175×0.006＋225×0.004＋275×0.001)×50＝150，故B錯誤；設(shè)80%百分位數(shù)x，易得x∈[200，250)，則50×0.002＋50×0.003＋50×0.004＋50×0.006＋(x－200)×0.004＝0.8，解得：x＝212.5，故C正確；則銷量在[200，300]的頻率為50×0.004＋50×0.001＝0.25，所以抽取的20家，則銷量在[200，300]內(nèi)的銷售商為20×eq\f(1,4)＝5(家)，故D正確．故選ACD.答案：ACD10．(多選題)(2023·佛山一模)中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的報告中，一組組數(shù)據(jù)折射出新時代十年的非凡成就，數(shù)字的背后是無數(shù)的付出，更是開啟新征程的希望．二十大首場新聞發(fā)布會指出近十年我國居民生活水平進一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數(shù)為29.39%，這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學(xué)家恩斯特．恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)＝eq\f(食物支出金額,總支出金額)×100%”．恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達60%以上為貧困，50%～60%為溫飽，40%～50%為小康，30%～40%為富裕，低于30%為最富裕．如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知()A．城鎮(zhèn)居民2015年開始進入“最富裕”水平B．農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%C．城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%D．全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)解析：對于A，從折線統(tǒng)計圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于30%，即從2015年開始進入“最富?！彼?，故A選項正確；對于B，農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017、2018、2019這三年在30%～32%之間，其余年份均大于32%，且2012、2013這兩年大于(等于)34%，故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于32%，故B選項錯誤；對于C，城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列(所對應(yīng)的年份)前5位分別為2019、2018、2017、2021、2020，因為10×45%＝4.5，所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系數(shù)高于29%，故C選項正確；對于D，由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，顯然農(nóng)村居民占比要大于50%，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D選項錯誤．故選AC.答案：AC11．(多選題)(2023·廣州模擬)已知eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分別為隨機事件A，B的對立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是()A．P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1B．P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))|B)＝1C．若A，B互斥，則P(AB)＝P(A)P(B)D．若A，B獨立，則P(A|B)＝P(A)解析：對于A，由對立事件定義可知P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1，選項A正確；對于B，P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))|B)＝eq\f(P（AB）＋P（eq\o(A,\s\up6(－))B）,P（B）)＝eq\f(P（B）,P（B）)＝1，選項B正確；對于C，A，B互斥，P(AB)＝0，P(A)>0，P(B)>0，P(AB)≠P(A)P(B)，故選項C錯誤；對于D，A，B獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)，則P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝P(A)，故選項D正確．故選ABD.答案：ABD12．(多選題)(2023·廣州天河區(qū)三模)甲乙兩人進行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N*)局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為eq\f(1,2).若某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P(n)，則()A．P(2)＝eq\f(5,16)B．P(3)＝eq\f(11,16)C．P(n)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(Ceq\o\al(n,2n),22n))D．P(n)的最小值為eq\f(1,4)解析：由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏n＋1局，P(n)＝(eq\f(1,2))2n(Ceq\o\al(n＋1,2n)＋Ceq\o\al(n＋2,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n))，因為Ceq\o\al(0,2n)＋Ceq\o\al(1,2n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n)＋Ceq\o\al(n,2n)＋Ceq\o\al(n＋1,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n)＝22n，所以P(n)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(2,4),22n＋1)，故C正確；P(2)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(2,4),25)＝eq\f(5,16)，故A正確；P(3)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(3,6),27)＝eq\f(11,32)，故B錯誤；當(dāng)n＝1時，P(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(1,2),23)＝eq\f(1,4)，由A知P(2)>P(1)，所以P(n)的最大值不是eq\f(1,4)，故D錯誤．故選AC.答案：AC13．(多選題)(2023·清遠清新區(qū)模擬)將A，B，C，D這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則()A．“甲得到A卡片”與“乙得到A卡片”為對立事件B．“甲得到A卡片”與“乙得到A卡片”為互斥但不對立事件C．甲得到A卡片的概率為eq\f(1,4)D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為eq\f(1,2)解析：將A，B，C，D這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，對于A，“甲得到A卡片”與“乙得到A卡片”為互斥而不對立事件，故A錯誤；對于B，“甲得到A卡片”與“乙得到A卡片”為互斥但不對立事件，故B正確；對于C，甲得到A卡片的概率為P＝eq\f(1×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，故C正確；對于D，甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為P＝eq\f(1×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＋eq\f(1×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，故D正確．故選BCD.答案：BCD14．(2023·東莞模擬)