2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷11.2 全等三角形的條件(二)(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷11.2全等三角形的條件(二)(含答案)11.2全等三角形的條件（二）名師導(dǎo)航：本課重點是“邊角邊”或“SAS”方法判定三角形全等．這個判定方法也是通過畫圖和實驗體會結(jié)論的正確性，具體應(yīng)用時注意尋找邊角邊條件證明兩個三角形全等．本課難點是區(qū)別“邊角邊”與“邊邊角”的條件，課本上通過實驗發(fā)現(xiàn)，具備“邊邊角”條件時，兩個三角形不一定全等．典例精析：【例題】（2007鹽城，有改動）如圖，點在同一直線上，，，．與全等嗎？說明你的結(jié)論．【思路點撥】由題意，題中直接給出一組對應(yīng)角、一組對應(yīng)邊相等，還差一組對應(yīng)邊（BC=EF）就可以應(yīng)用“SAS”判定兩個三角形全等了．觀察所給的條件，我們可以利用線段的和得到有效的一組對應(yīng)邊BC=EF，于是問題獲得解決．ＣＥＤＦBＡＣＥＤＦBＡ在與中【規(guī)律總結(jié)】本題尋找另一組“有效的對應(yīng)邊”也是通過題目中間接信息給出的，這種給出一組非對應(yīng)邊的線段相等，從而根據(jù)線段的和及等式性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等的解題思路（或意識）是非常重要的，同學(xué)們注意積累．跟蹤訓(xùn)練：1．如圖，在和中，已知，，根據(jù)（SAS）判定，還需的條件是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．以上三個均可以2．下面各條件中，能使△ABC≌△DEF的條件的是（）Ａ．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EFＢ．AB＝BC，∠B＝∠E，DE＝EFC．AB＝EF，∠A＝∠D，AC＝DFＤ．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF3．如圖，相交于點，，．下列結(jié)論正確的是（）A．．B．C．D．4．如圖，已知，，．下列結(jié)論不正確的有（）．A．B．C．AB=BCD．5．如圖，已知，垂足為，，垂足為，，，則＝___________．6．如圖，已知，，，經(jīng)分析．此時有．7．如圖所示，AB，CD相交于O，且AO＝OB，觀察圖形，圖中已具備的另一相等的條件是________，聯(lián)想到SAS，只需補充條件________，則有△AOC≌△________．8．如圖所示，有一塊三角形鏡子，小明不小心破裂成1、2兩塊，現(xiàn)需配成同樣大小的一塊．為了方便起見，需帶上________塊，其理由是__________．第7題第8題9．如圖，把兩根鋼條，的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（工人把這種工具叫卡鉗）只要量出的長度，就可以知道工件的內(nèi)徑是否符合標準，你能簡要說出工人這樣測量的道理嗎？．10．如圖，已知在中，，．求證：，．22134參考答案1．B2．D3．A4．C5．6．，得．7．∠AOC=∠BOD，OC=OD，△BOD8．1，有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等9．此工具是根據(jù)三角形全等制作而成的．由是，的中點，可得，，又由于與是對頂角，可知，于是根據(jù)“”有，從而，只要量出的長度，就可以知道工作的內(nèi)徑是否符合標準．10．在和中，．，．又，即，，11.2全等三角形的條件（三）名師導(dǎo)航：本課時重點是“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等的方法．探究判定方法時一要通過已知兩角和它們的夾角畫三角形的方法體會這兩種判定方法的正確性，二是會根據(jù)這兩個結(jié)論判定兩個三角形全等，體會“角邊角”與“角角邊”這兩個判定方法之間的關(guān)系：后者是前者的推論．本課時的難點是善于發(fā)現(xiàn)證明三角形全等的有效方法，有兩種情形是不能判定兩個三角形全等的，即“邊邊角”、“角角角”．典例精析：【例題】（2007年沈陽，改編）如圖，AD、BC分別平分、，且，試說明：．【思路點撥】從所給的圖形來分析，要想獲得AC=BD，只要得到即可，尋找條件，很快發(fā)現(xiàn)有和公共邊AB=BA，能再獲取一組角對應(yīng)相等嗎，從已知條件中知道，于是，從而利用“ASA”說明三角形全等獲得突破．12CDBA12CDBA可得，于是在（全等三角形對應(yīng)邊相等）【規(guī)律總結(jié)】本題利用“ASA”說明三角形全等的條件只差一個間接條件，而通過發(fā)掘已知條件也不難獲取．此外，從本題我們應(yīng)該加深一個認識：全等三角形是我們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)線段相等（或?qū)?yīng)角相等）的一種重要方法．跟蹤訓(xùn)練：1．若按給定的三個條件畫一個三角形，圖形惟一，則所給條件不可能是（）Ａ．兩邊一夾角 Ｂ．兩角一夾邊 Ｃ．三邊 Ｄ．三角2．在△△中，已知，，要判定這兩個三角形全等，還需要條件（）A．B．C．D．3．在和中，①；②；③；④；⑤則下列條件中不能保證的是（）Ａ．①②③ Ｂ．①②⑤ Ｃ．②④⑤ Ｄ．①③⑤4．對于下列各組條件，不能判定的一組是（）Ａ．，，Ｂ．，，Ｃ．，，Ｄ．，，5．在和中，已知，，在下列說法中，錯誤的是（）Ａ．如果增加條件，那么（）Ｂ．如果增加條件，那么（）Ｃ．如果增加條件，那么（）Ｄ．如果增加條件，那么（）12346．如圖，，要使△△，應(yīng)添加的條件是，（添加一個條件AD1234ADBOEC7．如圖，已知，．可得．理由是．8．已知交，垂足為，，．于是可得，有，理由是．9．如圖，點分別在上，且，．求證：．參考答案1．Ｄ2．C3．D4．C5．B6．答案不惟一，如等．7．．8．．9．，，又，即．11.2全等三角形的條件（四）名師導(dǎo)航：本課重點是探究直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一類，一般三角形所具有的性質(zhì)，直角三角形都具備，因此判定兩個三角形全等時，完全可以用剛剛學(xué)過的三角形全等的判定方法．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它還具備一般三角形所沒有的特殊性質(zhì)，即對于直角三角形來說，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，可以判定兩個直角三角形全等．簡寫為“HL”，這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般的三角形不具備．典例精析：【例題】如圖，已知AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，求證：Rt△ABC≌Rt△BAD．【思路點撥】分析題意，要求證的是兩個直角三角形全等，條件才有了一組對應(yīng)邊相等，觀察圖形發(fā)現(xiàn)有一組公共邊也是對應(yīng)相等的，于是直角三角形全等的條件滿足了．【證明】∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC與△BAD都是直角三角形．在Rt△ABC與Rt△BAD中，∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.【規(guī)律總結(jié)】直角三角形全等的特殊判定方法“HL”也是基于作圖發(fā)現(xiàn)并總結(jié)的，應(yīng)用這個結(jié)論證明直角三角形全等時，要熟悉斜邊、直角邊條件．跟蹤訓(xùn)練：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，則下列結(jié)論中正確的是（）A.AC=A′C′ B.BC=B′C′C.AC=B′C′ D.∠A=∠A′2．下列結(jié)論錯誤的是()A．全等三角形對應(yīng)邊上的高相等B．全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等C．兩個直角三角形中，斜邊和一個銳角對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等D．兩個直角三角形中，兩個銳角相等，則這兩個三角形全等3．兩個直角三角形全等的條件是（）A.一銳角對應(yīng)相等B.兩銳角對應(yīng)相等C.一條邊對應(yīng)相等D.一條斜邊和一直角邊對應(yīng)相等4．下列命題錯誤的是（）A.在Rt△ABC中兩銳角互余B.有兩個銳角不互余的三角形不是直角三角形C.兩邊對應(yīng)相等的兩直角三角形全等D.周長相等的兩個直角三角形全等5．如圖所示，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D點，E、F分別是DB、DC的中點，則圖中全等三角形的對數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.46．如圖，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，請找出一對全等的三角形：．7．如圖，已知AC⊥BD，BC=CE，AC=DC.試分析∠B+∠D=.8．如圖，有一正方形窗架，蓋房時為了穩(wěn)定，在上面釘了兩個等長的木條與分別是的中點，可證得，理由是，于是是的中點．9．如圖，已知分別是兩個鈍角和的高，如果，．求證：．參考答案1．C2．D3．D4．D．5．D6．7．90°8．，HL，9．根據(jù)“”證，，再根據(jù)“”證，，，即．11.2三角形全等的判定（AAS-ASA）◆隨堂檢測如圖，O是AB的中點，∠A=∠B，△AOC與△BOD全等嗎？為什么？2．已知如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，試說明BD=CE。3．如圖，在△AFD和△BEC中，點A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。試說明AD=CB。4.如圖，已知AC、BD相交于點0，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.試說明△AOD≌△BOC.◆典例分析例:如圖：已知AE交BC于點D，∠1=∠2=∠3，ABABCED123求證：DC=BE。證明：∵∠ADB=∠1+∠C，∠ADB=∠3+∠E，又∵∠1=∠3，∴∠C=∠E。在△ABE和△ADC中，∵∠E=∠C，∠2=∠1，AB=AD，∴ △ABE≌△ADC（AAS）。∴DC=BE。解析:要證DC=BE,先觀察DC與BE分別在可能全等的兩個三角形中.根據(jù)所給條件選擇方法◆課下作業(yè)●拓展提高5.玻璃三角板摔成三塊如圖，現(xiàn)在到玻璃店在配一塊同樣大小的三角板，最省事的方法（）A、帶①去B、帶②去C、帶③去D、帶①②③去ＡDFCBE6.如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料摸板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在點，兩條直角邊分別與交于點，與延長線交于點．則四邊形的面積是．ＡDFCBE如圖，已知AC、BD交于E，∠A=∠B，∠1=∠2．求證：AE=BE．8.如圖，在△ABC中，MN⊥AC，垂足為N，，且MN平分∠AMC，△ABM的周長為9cm,AN=2cm,求△ABC的周長。9．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，說明AB=AC10.已知：如圖E在△ABC的邊AC上，且∠AEB=∠ABC。⑴求證：∠ABE=∠C；⑵若∠BAE的平分線AF交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于D，設(shè)AB=5，AC=8，求DC的長。11．如圖，是上一點，交于點，，．ABCDABCDEF12．一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上．（1）求證AB⊥ED；（2）若PB=BC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明．●體驗中考1.（2009年江西?。┤鐖D，已知那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（）A．B．C． D． ABEFCD2.（2009年福建省龍巖市），，要使△ABFABEFCD3.（2009年福建省福州市）如圖，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求證：AB=ADAADCB12CEBFDA4.(2009年武漢市)如圖，已知點在線線CEBFDA求證：．參考答案隨堂檢測：1、本題已知∠A=∠B，又O是AB的中點，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本題還隱含了對頂角，∠AOC=∠BOD，于是根據(jù)（ASA）可得△AOC與△BOD全等。2、已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE，則△ABD≌△ACE，結(jié)合∠BAC=∠DAE易得兩已知邊的夾角∠BAD=∠CAE，于是，建立了已知與結(jié)論的聯(lián)系，應(yīng)用（SAS）可說明△ABD≌△ACE，于是BD=CE。3、這是已知兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的問題。因為AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因為AD∥BC，所以∠A=∠C，則△AFD≌△BEC，即AD=CB。4、錯解：在△ADC和△BCD中，因為∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：錯解在將等式的性質(zhì)盲目地用到三角形全等中，實際上，三角形全等是不能根據(jù)等式的性質(zhì)說明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC(AAS).拓展提高：5、C.解析：③這塊保留了原三角板的兩角及其夾邊，新三角板的兩角及其夾邊和③對應(yīng)相等，配制的新三角板和原三角板滿足“角邊角”，自然就同樣大小了。正確答案是C。6、16.解析:先證△AEB≌△AFD(AAS),從而四邊形的面積就等于正方形ABCD的面積答案：167、錯證：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，∴△ADC≌△BCD(SAS)∴△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△ADE≌△BCE．∴AE=BE．分析：上面的證明中，將等式性質(zhì)盲目地搬到了全等三角形中，這是完全錯誤．正確證明：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，∴△ADC≌△BCD(SAS)∴AD=BC．在△ADE和△BCE中，∵AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC，∴△ADE≌△BCE(AAS)∴AE=BE．8、只要求出CM和AC的長即得△ABC的周長，而△AMN≌△CMN可實現(xiàn)這一目的。因為MN平分∠AMC，所以∠AMN=∠CMN，因為MN⊥AC，所以∠AMNA=∠CMNC=900，這樣有兩角對應(yīng)相等，再找出它的夾邊對應(yīng)相等（MN為公共邊）即可。在△AMN和△CMN中，所以△AMN≌△CMN（ASA）所以AC=NC，AM=CM（全等三角形的對應(yīng)角相等），AN=2cm,所以AC=2AN=4cm，而△ABM的周長為9cm,所以△ABC的周長為9+4=13cm。9、AB=AC.解析：作∠BAC的平分線AD，交BC于D，由∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，再找出∠B和∠C的對邊AD=AD，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC(1)抓住∠BAC是△ABC和△ABE的公共內(nèi)角,利用三角形內(nèi)角和定理求解(2)利用(1)所得出的結(jié)論證△ABF≌△ADF答案:⑴∵∠ABE=180°－∠BAC－∠AEB，∠C=180°－∠BAC－∠ABC，∴∠ABE=∠C⑵利用⑴證△ABF≌△ADF，從而DC=AC－AD=AC－AB=3.11、證明：，．又，，．． 12、分析：（1）由已知的剪、拼圖過程（將長方形沿對角線剪開），顯然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不難得到∠APN=∠DCN=900，即AB⊥ED．（2）若在增加PB=BC這個條件，再認真觀察圖形，就不難得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB．點評：本題的意圖是讓同學(xué)們在剪、拼圖形的背景下，積極參與圖形的變化過程，并在圖形的變化過程中來探究圖形之間的關(guān)系，用來考察學(xué)生的創(chuàng)新精神與能力．體驗中考：1.C2.AB=DC（填A(yù)F=DE或BF=CE或BE=CF）3.證明：∵AC平分∠BAD∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．∵∠1=∠2∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＡＡＳ）．∴ＡＢ＝ＡＤ．4、證明：．．11.2三角形全等的判定（AAS-ASA）◆隨堂檢測如圖，O是AB的中點，∠A=∠B，△AOC與△BOD全等嗎？為什么？2．已知如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，試說明BD=CE。3．如圖，在△AFD和△BEC中，點A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。試說明AD=CB。4.如圖，已知AC、BD相交于點0，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.試說明△AOD≌△BOC.◆典例分析例:如圖：已知AE交BC于點D，∠1=∠2=∠3，ABABCED123求證：DC=BE。證明：∵∠ADB=∠1+∠C，∠ADB=∠3+∠E，又∵∠1=∠3，∴∠C=∠E。在△ABE和△ADC中，∵∠E=∠C，∠2=∠1，AB=AD，∴ △ABE≌△ADC（AAS）。∴DC=BE。解析:要證DC=BE,先觀察DC與BE分別在可能全等的兩個三角形中.根據(jù)所給條件選擇方法◆課下作業(yè)●拓展提高5.玻璃三角板摔成三塊如圖，現(xiàn)在到玻璃店在配一塊同樣大小的三角板，最省事的方法（）A、帶①去B、帶②去C、帶③去D、帶①②③去ＡDFCBE6.如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料摸板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在點，兩條直角邊分別與交于點，與延長線交于點．則四邊形的面積是．ＡDFCBE如圖，已知AC、BD交于E，∠A=∠B，∠1=∠2．求證：AE=BE．8.如圖，在△ABC中，MN⊥AC，垂足為N，，且MN平分∠AMC，△ABM的周長為9cm,AN=2cm,求△ABC的周長。9．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，說明AB=AC10.已知：如圖E在△ABC的邊AC上，且∠AEB=∠ABC。⑴求證：∠ABE=∠C；⑵若∠BAE的平分線AF交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于D，設(shè)AB=5，AC=8，求DC的長。11．如圖，是上一點，交于點，，．ABCDABCDEF12．一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上．（1）求證AB⊥ED；（2）若PB=BC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明．●體驗中考1.（2009年江西?。┤鐖D，已知那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（）A．B．C． D． ABEFCD2.（2009年福建省龍巖市），，要使△ABFABEFCD3.（2009年福建省福州市）如圖，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求證：AB=ADAADCB12CEBFDA4.(2009年武漢市)如圖，已知點在線線CEBFDA求證：．參考答案隨堂檢測：1、本題已知∠A=∠B，又O是AB的中點，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本題還隱含了對頂角，∠AOC=∠BOD，于是根據(jù)（ASA）可得△AOC與△BOD全等。2、已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE，則△ABD≌△ACE，結(jié)合∠BAC=∠DAE易得兩已知邊的夾角∠BAD=∠CAE，于是，建立了已知與結(jié)論的聯(lián)系，應(yīng)用（SAS）可說明△ABD≌△ACE，于是BD=CE。3、這是已知兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的問題。因為AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因為AD∥BC，所以∠A=∠C，則△AFD≌△BEC，即AD=CB。4、錯解：在△ADC和△BCD中，因為∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：錯解在將等式的性質(zhì)盲目地用到三角形全等中，實際上，三角形全等是不能根據(jù)等式的性質(zhì)說明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC(AAS).拓展提高：5、C.解析：③這塊保留了原三角板的兩角及其夾邊，新三角板的兩角及其夾邊和③對應(yīng)相等，配制的新三角板和原三角板滿足“角邊角”，自然就同樣大小了。正確答案是C。6、16.解析:先證△AEB≌△AFD(AAS),從而四邊形的面積就等于正方形ABCD的面積答案：167、錯證：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，∴△ADC≌△BCD(SAS)∴△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△ADE≌△BCE．∴AE=BE．分析：上面的證明中，將等式性質(zhì)盲目地搬到了全等三角形中，這是完全錯誤．正確證明：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=