魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(四)利用勾股定理解題的五種常見(jiàn)題型練方法課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(四)利用勾股定理解題的五種常見(jiàn)題型類型一利用勾股定理求三角形中的線段長(zhǎng)1.如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,AC=20,CD=12,BD=9.(1)求BC的長(zhǎng).(2)求△ABC的面積.(3)判斷△ABC的形狀.解析

(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=CD2+BD2=122+92=225=152,

∴BC=15.(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2=202-122=256=162,∴AD=16.∵BD=9,∴AB=AD+BD=16+9=25,∴△ABC的面積=

AB·CD=

×25×12=150.(3)∵AC=20,BC=15,AB=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.2.(方程思想)(2024山東淄博周村期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,將△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB邊上的點(diǎn)D處.(1)當(dāng)∠B=28°時(shí),求∠CAE的度數(shù).(2)當(dāng)AC=6,AB=10時(shí),求線段DE的長(zhǎng).

解析

(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,∴∠BAC=90°-28°=62°,∵△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB邊上的點(diǎn)D處,∴∠CAE=

∠CAB=

×62°=31°.(2)在Rt△ABC中,AC=6,AB=10,∴BC2=AB2-AC2=102-62=64=82,∴BC=8.∵△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB邊上的點(diǎn)D處,∴AD=AC=6,CE=DE,∴BD=AB-AD=4,設(shè)DE=x,則BE=BC-CE=BC-DE=8-x,∵在Rt△BDE中,DE2+BD2=BE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,即DE的長(zhǎng)為3.類型二利用勾股定理證明線段相等3.如圖,在四邊形ABFC中,BC為對(duì)角線,∠ABC=90°,CD⊥AD,

AD2=2AB2-CD2.求證:AB=BC.證明∵在△ABC中,∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2.∵在△ACD中,CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2,∴AB2+BC2=AD2+CD2,∵AD2=2AB2-CD2,∴AB2+BC2=2AB2-CD2+CD2,即AB2=BC2,∴AB=BC.類型三利用勾股定理求四邊形中的線段長(zhǎng)4.(構(gòu)造法)在四邊形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,

四邊形的周長(zhǎng)為32,求BC和CD的長(zhǎng).

解析如圖,連接BD.∵AB=AD,∠A=60°.∴△ABD是等邊三角形,∴BD=AB=AD=8,∠1=60°.∵∠ADC=150°,即∠1+∠2=150°,∴∠2=90°.設(shè)BC=x,則CD=32-8-8-x=16-x,由勾股定理得x2=82+(16-x)2,解得x=10,16-x=6,∴BC=10,CD=6.類型四利用勾股定理解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題5.(方程思想)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著三角形的三邊,先運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,再運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,最后運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)A,vP=2cm/s,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上?(2)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P在BC上,且恰好在∠BAC的平分線上?解析

(1)當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí),如圖,連接PB,

由勾股定理得AC2=AB2-BC2=102-62=64=82,所以AC=8.∵點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上,∴PA=PB=2t,∴PC=8-2t,∴在Rt△BCP中,(8-2t)2+62=(2t)2,解得t=

.當(dāng)P在AB上時(shí),PA=PB=5,∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為8+6+5=19,∴t=

,∴當(dāng)t為

或

時(shí),點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上.(2)當(dāng)P在BC上,且恰好在∠BAC的平分線上時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)P作

PF⊥AB于點(diǎn)F,則PF=PC=2t-8,BP=14-2t,AF=AC=8,∴BF=2.在Rt△BPF中,由勾股定理得(2t-8)2+22=(14-2t)2,解得t=

,∴當(dāng)t為

時(shí),點(diǎn)P在BC上,且恰好在∠BAC的平分線上.類型五利用勾股定理求路線最短問(wèn)題6.(化曲為直法)如圖所示的是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的

長(zhǎng)、寬、高分別為20分米、3分米、2分米,A和B是這個(gè)臺(tái)階

的兩個(gè)端點(diǎn),A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物,則

它所走的最短路線的長(zhǎng)度為

.25分米解析如圖,三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形,長(zhǎng)為20分米,寬

為(2+3)×3分米,則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程是此

長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路

程為x分米,由勾股定理得x2=202+[(2+3)×3]2=252,解得x=25.故

答案為25分米.

7.如圖,長(zhǎng)方體盒子(無(wú)蓋)的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm、8

cm、30cm,在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖,一只小蟲從D處爬

到C處去吃,有無(wú)數(shù)種走法,則最短路程是多少?

解析將長(zhǎng)方體盒子的前面和右面展開(kāi)在同一平面,展開(kāi)圖

如圖,連接DC,則DC的長(zhǎng)就是從D處爬到C處的最短路程,

在Rt△DAC中,AD=12+8=20(cm),AC=

×30=15(cm),由勾股定理得DC2=202+152=625=252,所以DC=25cm,即從D處爬到C

處的最短路程是25cm.8.如圖,A,B是直線l同側(cè)的兩點(diǎn),且點(diǎn)A,B到l的距離分別為4.5,

10.5,垂足C,D間的距離為8,若點(diǎn)P是l上一點(diǎn),求PA+PB的最小

值.

解析

如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,交直線l于

點(diǎn)P,連接PA,則線段A'B的長(zhǎng)即為PA+PB的最小值,過(guò)點(diǎn)A'作A

'E⊥BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易知四邊形A'EDC為長(zhǎng)方形,則

A'C=DE,CD=A’E.因?yàn)?/p>