中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習：一元二次方程

專題2.1一元二次方程

目錄

一元二次方程的定義...............................................................1

一元二次方程項數(shù)系數(shù)............................................................2

一元二次方程含參................................................................4

一元二次方程的解.................................................................5

直接開平方法.....................................................................6

配方法...........................................................................8

一元二次方程判別式..............................................................11

含參求根的辨別式................................................................12

根的辨別式綜合運用..............................................................13

因式分解法......................................................................16

十字相乘........................................................................17

根與系數(shù)的關(guān)系..................................................................19

一元二次方程的定義

一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù);

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【例1】下列是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=QB.x-2=x2C.x2-2-x（x-2）D.—+x=l

x

【解答】解：4、當“=0時，不屬于一元二次方程，故該選項不符合題意；

B,它符合一元二次方程的定義，故該選項符合題意；

C、化簡后它不含有二次項，不屬于一元二次方程，故該選項不符合題意；

。、是分式方程，不屬于一元二次方程，故該選項不符合題意.

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A.x2+—=1B.ax2++c=0C.（x+l）（x+2）=1D.（x-3）2+4=x2

x

【解答】解：A.該方程是分式方程，故本選項不合題意；

B.當°=0時，ax?+6x+c=0不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項不合題意；

C.該方程是一元二次方程，故本選項符合題意；

。、化簡后不是一元二次方程，故此選項不符合題意；

故選：C.

【變式訓(xùn)練2】下列關(guān)于x的方程是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=QB.x2=0C.x2+2x=—D.x2+y2=0

x

【解答】解A,該選項?？赡艿扔?,所以可能不是一元二次方程，故該選項不符合題意

該選項有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為2,所以是一元二次方程，故該選項符合題意；

C、該選項為分式方程，故該選項不符合題意；

。、該選項有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程，故該選項不符合題意.

故選：B.

【變式訓(xùn)練3】下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A.7ix=6B.x—3=2C.xy=\D.x2+5x=6

x

【解答】解：/、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

3、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

C、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

。、是一元二次方程，故本選項符合題意；

故選：D.

一元二次方程項數(shù)系數(shù)

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0（a^0）.這種形式叫一元二次方程的一般形式.其中aY叫做二次

項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項.

\）

【例2】把一元二次方程8+1）口—1）=3》化成一般形式，正確的是（）

A.x2-3x-l=0B.x2-3x+l=0C.x2+3x-l=0D.x2+3x+l=0

【解答】解：(x+l)(x-l)=3x,

-1-3x=0,

即x2-3x-l=0,

故選：A.

【變式訓(xùn)練1】一元二次方程/+4x-3=0的一次項系數(shù)、二次項系數(shù)、常數(shù)項的和是(

A.1B.8C.7D.2

【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程—+4x-3=0的一次項系數(shù)、二次項系數(shù)、常數(shù)項分

別為4、1和-3.

所以一元二次方程/+4》-3=0的一次項系數(shù)、二次項系數(shù)、常數(shù)項的和是4+1-3=2.

故選：D.

【變式訓(xùn)練2】方程5/_l=4x化成一般形式后，二次項系數(shù)為正，其中一次項系數(shù)，常數(shù)

項分別是()

A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,1

【解答】解：5,一l=4x化成一元二次方程一般形式是5x2-4》-1=0,

它的一次項系數(shù)是-4,常數(shù)項是-1.

故選：C.

【變式訓(xùn)練3】把方程/+2x=5(x-2)化成。/+云+。=()的形式，則a,b,c的值分別

為()

A.1,-3,2B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,-3,10

【解答】解：/+2x=5(x-2),

x2+2x=5x—10,

+2x-5x+10=0,

x2-3x+10=0,

貝！Ja=l,6=—3,c=10,

故選：D.

一元二次方程含參

【例3】若關(guān)于x的方程（°T）'=2為一元二次方程，則°滿足（）

A.Q=1B.awlC.a=0D.QWO

【解答】解：?.■方程（a-l）f=2為一元二次方程，

/.ci—1w0,

解得QW1.

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】若⑴+3）”‘一（％一3口-5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則加的值為（）

A.3B.-3C.±3D.±2

【解答】解：由題意可知：（加一1二2,

I加+3w0

解得：加=3,

故選：A.

【變式訓(xùn)練2】若方程（加一1）/''+'-2、=3是關(guān)于工的一元二次方程，則用的值為（）

A.IB.-1C.±1D.不存在

【解答】解：由題意得：|加1+1=2,且m-IwO,

解得：m=-\,

故選：B.

【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于x的方程（加一2戶“-3無一4=。是一元一次方程，則（）

A.m^±2B.m=—2C.m=2D.m=±2

【解答】解：???關(guān)于x的方程（冽-2）--3x-4=0是一元二次方程，

[m-2w0

[|777|=2'

解得m=—2,

故選：B.

一元二次方程的解

/\

一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一

個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次

【例4】如果關(guān)于x的一元二次方程爾+&+1=°的一個解是x=l,則代數(shù)式。+6的值為

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解：,關(guān)于％的一元二次方程ax?+bx+l=O的一個解是x=l,

。+6+1=0，

。+6=-1.

故選：A.

【變式訓(xùn)練1］若關(guān)于'的方程％?+2"+4〃=0有一個根為-3,則。的值是（）

A.9B.4.5C.3D.-3

【解答】解：把、=-3代入方程得9-6。+4。=0,

解得a=4.5.

故選：B.

【變式訓(xùn)練2】若。是3x-2022=°的一個根，貝3。+1的值是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【解答】解：a是一一3工-2022=0的一個根，

/.Q?—3（z—2022=0,

a2-3a=2022,

.?.^-3^+1=2022+1=2023.

故選：D.

【變式訓(xùn)練3】已知。是方程2小-3x-5=0的一個解，則-4/+6。的值為（）

A.10B.-10C.2D.-40

【解答】解：把x=a代入方程得：2〃2-3。-5=0,

則2a2-3a=5,

貝1J-4/+6a=-2(2/-3a)=-10.

故選：B.

直接開平方法

一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

<③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.7

【例5】方程-=9的解為()

A.x=2,x=-4B.x=-2fx=4C.x=4,x=2D.x=-2,x=-4

【解答】解：方程(x+l>=9,

開方得：x+l=3或x+l=-3,

解得：x1=2,x2=—4.

故選：A.

【變式訓(xùn)練1】一元二次方程f-16=0的根是()

A.4B.-4C.±4D.16

【解答】解：???一-16=0,

2

.".x=16f

x=±4,

故選：C.

【變式訓(xùn)練2】解方程25-1)2-16=0.

【解答】解：2(X-1)2-16=0,

2(1)2=16,

(x-1)2=8,

x—1=+2A/2,

再=1-,x2—1+2A/2.

【變式訓(xùn)練3】解方程：4(x-3>-25=°.

【解答】解：4(x-3)2-25=0,

4(x-3)2=25,

【例6】解方程：QX+3)2=(3X+2)2.

【解答】解：方程：(2x+3)2=(3x+2>,

開方得：2X+3=3X+2B￡2X+3=—3X—2,

解得：X[=1,x2=—1.

【變式訓(xùn)練1】解方程：&x-l)2=(3-xy.

【解答】解：2x—l=±(3-x),

2x—1=3-%2x—1=—3+x,

__4

所以玉=§,x2=—2.

【變式訓(xùn)練2】用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?X-1)2=4(X+1)2.

【解答】解：x-l=±2(x+l),

所以X]=—3,x2=—；.

【變式訓(xùn)練3】解方程：(2x+l)2=(xT)[

【解答】解：2x+1=±(x—1),

所以芭二-2,x2=0.

配方法

'(1)將一元二次方程配成(X+加)2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，

解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

(1)把原方程化為口/+云+。=°(4*°)的形式；

(2)方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

(3)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

(4)把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

(5)如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右

一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

【例7】一元二次方程f-2x-2=0配方后可化為(

A.(x+l)2=3B.(1)2=3C.(x+1)2=2D.(x-1)2=2

【解答】解：X2-2X-2=0,

x2-2x=2,

-2x+1=2+1,

(1)2=3,

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】把一元二次方程f-2x-4=0配方后，下列變形正確的是()

A.(x-2)2=5B.(x-2)2=3C.(x-1)2=5D.(x-1)2=3

【解答】解：X2-2X-4=0,

2

x-2x=4f

—2x+1=4+1,

(1)2=5,

故選：C.

【變式訓(xùn)練2】方程/一以-6=0經(jīng)配方后，可化為()

A.(x-2)2=10B.(x+2)2=10C.(x-2)2=8D.(x+2y=8

【解答】解：?.?X2-4X-6=0,

x2-4x=6,

則f-4x+4=6+4,BP(x-2)2=10,

故選：A.

【變式訓(xùn)練3】下列配方中，變形正確的是()

A.x2+2x-(x+1)2B.X2-4X-3=(X-2)2+1

C.2X2+4X+3=2(X+1)2+1D.—x2+2x=-(x+1)2-1

【解答】解:X2+2X

=x~+2x+1—1

=(X+1)2—1,

/錯誤.

x2-4x-3

=x2-4x+4-4-3

=(X2-4X+4)+(-4-3)

=(x-2)2-7.

3錯誤.

2x2+4x+3

=2(x~+2x)+3

=2(x2+2x+l-l)+3

=2(x2+2x+l)-2xl+3

=2(X+1)2-2+3

=2(X+1)2+1.

C正確.

-x2+2x

=-(x2-2x+l-l)

=-(x2-2x+1)+1

=-(x+l)2+1

。錯誤.

故選：C.

【例8】用配方法解一元二次方程：2/-4x+l=0.

【解答】解：方程整理得：X2-2X=--,

2

配方得：X2-2x+1=1,BP(x-1)2=1,

開方得:X-1=±—,

2

角牟得：X]=1+-，x=1-,

222

【變式訓(xùn)練1】解一元二次方程：2X2-4X-6=0.

【解答】解：???2%2—4%—6=0,

x2-2x-3=0,

x2—2x=3,

貝(]]2一2%+1=3+1,IP(x-1)2=4,

x-1—±2,

二.石二-1,x2=3.

【變式訓(xùn)練2】用配方法解方程：*-2底=4.

【解答】解：???/一2底=4,

.3-2氐+5=4+5,BP(x-V5)2=9,

x—\/~5—3或x—=—3,

%=3+V5，x2=-3+yfs.

【變式訓(xùn)練3】用配方法解方程：X2-10X+9=0.

【解答】解：x2-10x+9=0,

x~—lOx=—9，

x~-1Ox+25=—9+25,

(x-5)2=16,

x-5=±4,

x—5=4或x-5=-4,

X]—9,%2=1?

一元二次方程判別式

【例9】方程I-4x-5=0的根的情況為（)

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法判定

【解答】解：方程X2-4X-5=0,

?.?△=(-4)2-4X1X(-5)=16+20=36>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

【變式訓(xùn)練1】一元二次方程僅+27^+1=0的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根

【解答】解：一元二次方程6/+2mx+l=0中,

△=(2A/6)2-4X6X1=0,

...6x2+2瓜+1=0有兩個相等的實數(shù)根,

故選：C.

【變式訓(xùn)練2】一元二次方程f-2x+1=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.有無數(shù)個實數(shù)根

【解答】解：對一元二次方程Y-2x+l=0,

△=(-2)2-4xlxl=0,

.-.X2-2X+1=0有兩個相等實數(shù)根，

故選：B.

【變式訓(xùn)練3】關(guān)于x的一元二次方程*+4x+Q-")(加-3)=°,下列選項正確的是()

A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.根的個數(shù)與m的取值有關(guān)

【解答】解：方程f+4x+(l-ni)(〃z-3)=0,

△=16-4(1-〃?)(〃?-3)

=16-4(m-3-m2+3m)

=4m2-16m+28

=4(w2—4m+4)+12

=4(加-2)2+12,

(m—2)~...0,

4(加-2>+12...12>0,

則方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：C.

含參求根的辨別式

【例10】關(guān)于x的一元二次方程加x2-3x+2=°有實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范圍是()

999

且OC

加<mW

A.8-B.8-D.8-

【解答】解：?.■關(guān)于X的一元二次方程機f-3x+2=0有實數(shù)根，

△=（―3）2—8m...0,且加w0,

Q

解得：m?—且冽wO.

8

故選：C.

【變式訓(xùn)練1】若關(guān)于，的一元二次方程f+6x+c=°有兩個相等的實數(shù)根，則。的值是（

）

A.36B.9C.6D.-9

【解答】解：...關(guān)于'的一元二次方程/+6%+C=0有兩個相等的實數(shù)根，

.?.△=62-4。=0,

解得c=9,

故選：B.

【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于x的方程/-2》一加=°沒有實數(shù)根，則心的最大整數(shù)值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】解：???關(guān)于x的方程――2x-加=0沒有實數(shù)根，

（-2）2-4xlx（-m）=4+4m<0,

解得：m<-\,

則機的最大整數(shù)值是-2.

故選：A.

【變式訓(xùn)練3】關(guān)于x的一元二次方程（加T）/+2xT=°有兩個不相等的實數(shù)根，則冽的

取值范圍是（）

A.m<—1B.m>0C.加<1且“zwOD.m>0且加片1

【解答】解：根據(jù)題意得加一1片0且△=??一4（心-1）（一1）>0,

解得7">0且加W1.

故選：D.

根的辨別式綜合運用

【例11］已知關(guān)于X的方程x2+（2左-3）x+左2_I=0有實數(shù)根.

（1）求實數(shù)左的取值范圍.

（2）若此方程有一個根為1,求人的值.

【解答】解：（1）???關(guān)于x的方程f+（2左-3）x+F-1=0有實數(shù)根，

△=Z>2-4ac=（2k-3）2-4x1x（k2-1）...0,

解得：鼠—;

12

（2）,?,關(guān)于x的方程—+（2左一3）%+左2-1=0的一個根為1,

.?.把x=l代入方程得：1+（2左-3）+左2—1=0,

左,+2k—3=0,

解得：左=1或-3,

故后的值為1或—3.

【變式訓(xùn)練11已知關(guān)于x的一元二次方程;--（m-l）x+（m2-2m）=0.

（1）求證：對于任意實數(shù)加，該方程總有兩個不相等實數(shù)根；

（2）如果此方程有一個根為0,求次的值.

【解答】（1）證明：對關(guān)于X的一元二次方程42一（冽_1）%+（冽2_2冽）=0,

4

△=[―（m-1）]2-4x—（m2-2m）=m2—2m+l—m2+2m=1，

4

z.△>0,

2

.,.對于任意實數(shù)加,一元二次方程;--（m-l）x+（m-2加）=0總有兩個不相等實數(shù)根;

（2）解:如果此方程有一個根為0,則'（）2-（加-l）x0+（小一2加）=0,

4

m2-2m=0，

解得7〃=0或7"=2,

答：機的值為0或

【變式訓(xùn)練2】已知關(guān)于X的一元二次方程V-（左+l）x+2k-3=0.

（1）當左=3時，求一元二次方程Y-（左+l）x+2k-3=0的解；

（2）求證：無論人為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

【解答】（1）解：當左=3時，方程可化為V-4x+3=0,

（x-l）（x_3）=0,

..X]—1,%2=3；

（2）證明：???△=[-（后+1）F—4（2左一3）=/一6左+13=（左一3p+4,

而（后一3）2...0,

>0.

.?.對任意實數(shù)左，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于x的方程無2-（左+3）x+3左=0.

（1）求證：無論左取任何實數(shù)值，方程總有兩個實數(shù)根.

（2）等腰A43C的底邊長為2,另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根，求A42C的周長.

【解答】（1）證明：△=（左+3）2-4x3左=（左-3）t.0,

故不論左取何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根；

（2）解：依題意有△=（上一3）2=0,則左=3,

將其代入方程X?_（左+3）x+34=0,得x?-（3+3）x+3x3=0.

解得西=%=3.

故AA5C的周長是2+3+3=8.

如果片+2。=0,那么°的值是（）

A.0B.2C.0,2D.0,-2

【解答】解：?.?/+2a=0,

/.a（a+2）=0,

。=0或Q+2=0,

..%—0,Q?=—2,

故選：D.

因式分解法

因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零;②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個

因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是

原方程的解.

y

【例12】方程d=4尤的解是(

A.x=±42x

B.x1=2fx2=—2X]—0,x?=4

【角軍答】解：X2=4x,

x(x-4)=0,

x=0或x-4=0,

X]—Of%2=4,

故選：D.

【變式訓(xùn)練1】方程“-2)2=3(%-2)的解是()

A?x—5B.X]—5,%2=2C.X]=1,JC2~2D.x-2

【解答】解：(x—2)2=3。-2),

(X-2)2-3(X-2)=0,

(x-2)(x-2-3)=0,

x—2=0x—2,—3=09

所以西=2,x2=5.

故選：B.

【變式訓(xùn)練2】方程x(x-D=2尤的解是()

A.x=3B.x=—3C.芭=3,x2=0D.陽=-3,x2=0

【解答】解：x(x-l)=2x,

x(x-1)-2x=0,

x(x-1-2)=0,

x(x_3)=0,

%]—0,%2=3,

故選：c.

十字相乘

(-;\

用十字相乘法把形如一+8+q分解因式使9P=a+b

步驟：(1)堅分二次項與常數(shù)項

(2)交叉相乘，和相加

(3)檢驗確定，橫寫因式

<順口溜：堅分常數(shù)交叉驗,橫寫因式不能亂.7

【例13】方程/-2》-24=0的根是()

A?X]=6,%2=4B?石=6,x2=-4

C?玉——6,%2=4D?西——6,x?=-4

【解答】解：――2%—24=0,

(x-6)(x+4)=0,

x-6=0或x+4=0,

解得石=6,%=—4,

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】方程,+4x+3=0的兩個根為()

A?X]=1,%2=3B.玉=—1,%=3C.玉=1,x2=—3D.X]=-1,

x2=—3

【解答】解：X2+4X+3=0,

(x+3)(x+l)=0,

x+3=0或x+l=O，

X]——3，%2=-]，

故選：D.

【變式訓(xùn)練2】方程Y+x-2=0的兩個根為()

A.玉=—2,9=1B.再=—1,=2C.演=—2,x2=—1D.項=1,x2=2

【解答】解：X2+X-2=0,

(x+2)(x-1)=0,

x+2=0或x-1=0,

%=-2,%=1，

故選：A.

【變式訓(xùn)練3】下列各數(shù)是方程《+3工-10=0的根的是()

A.2和5B.—5和3C.5和3D.—5和2

【解答】解：方程一+3%一10=0,

分解因式得：(x-2)(%+5)=0,

所以x-2=0或x+5=0，

解得：x=2或％=—5.

故選：D.

根與系數(shù)的關(guān)系

A.8B.-8C.4D.2

【解答】解：由/-8x+4=0可知，其二次項系數(shù)。=1,一次項系數(shù)6=-8,

由根與系數(shù)的關(guān)系：xx=8.

1+2a1

故選：A.

【變式訓(xùn)練11下列一元二次方程兩實數(shù)根和等于-4的是（）

A.無2+3無一4=0B.x2-4x+4=0C.x2+4x+5=0D.x2+4x+4=0

【解答】解：A,兩實數(shù)根的和等于一3,所以/選項不符合題意；

B、兩實數(shù)根的和等于4,所以8選項不符合題意；

C、A=42-4xlx5=-4<0,方程沒有實數(shù)根，所以C選項符合題意；

D、兩實數(shù)根的和等于一4,所以。選項不符合題意.

故選：D.

【變式訓(xùn)練2】設(shè)。，6是方程/7-2021=0的兩個實數(shù)根，則a+b-仍的值為（）

A.2022B.-2022C.2020D.-2020

【解答】解：根據(jù)題意，得Q+b=l,ab=-2021,

:.a+b—ab=l+2021=2022,

故選：A.

【變式訓(xùn)練3】若矩形的長和寬是方程4——12工+3=0的兩個根，則該矩形的周長和面積分

別為（）

3333

A.3和3B.巳和3C.巳和6D.6和巳

4444

【解答】解：???矩形的長和寬是方程4——12%+3=0的兩個根，設(shè)長為寬為6,

:.a+b7=3c,ab7=—3,

4

a

則該矩形的周長為2（q+b）=6,面積為=w.

故選：D.

【例15】已知。、6分別是一元二次方程,+4x-5=°的兩個實數(shù)根，則工+工的值為（

ab

）

A.-B.-C.1D.-

555

【解答】解：根據(jù)題意，可知q+b=-4,ab=—5,

11b+a4

—I—=-----------=—，

abab5

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】關(guān)于x的方程x2-（"+l）x+左+2=°的兩個實數(shù)根分別為國和且

片+考=6,則上的值是（）

A.-3B.±3C.-2D.±2

【解答】解：的方程/一（左+1）%+左+2=0的兩個實數(shù)根分別為國和乙，

二.再+々=左+1，西?馬=左+2，

x；+%：=6,

/.+%）2—2%9=（k+1）2_2（左+2）=6，

解得k=±3f

根據(jù)題意，得△=[-（左+1）]2-4（左+2）...0,

當左=3時，A=16-20=-4<0,不符合題意，

當人=-3時，△=4+4=8>0,符合題意，

k=—3J

故選：A.

【變式訓(xùn)練2】已知%、馬是一元二次方程x2-x-7=0的兩個實數(shù)根，則x；+4xF2+x；的

值是（）

A.-6B.-2C.-13D.-30

【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得占+超=1，X,X2=-7,

以x；++%：=（再++2再%2=「+2x（—7）=—13.

故選：C.

2

【變式訓(xùn)練3】一元二次方程一一x-2=0的兩個實數(shù)根為國，馬,則占+工2+再%的值是

（）

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】解：?.?一元二次方程/-工-2=0的兩個實數(shù)根為七，%,

「.%；=玉+2,玉+%=1，玉%2=一2，

2

/.石+/+

二陽+2+I2+玉工2

=xx+x2+xrx2+2

=1-2+2

=1.

故選：D.

【例16】關(guān)于x的一元二次方程—+（m+4）x+2m-0.

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若占、工2是方程的兩個實根，且再+工2+玉%2=加2-4加，求機的值.

【解答】（1）證明：???△=0+4）2—4x2加

=m2+8m+16-8m

=m2+16>0,

方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：根據(jù)題意得項+工2=-（加+4）,xxx2=2m,

2

,/xx+x2+xxx2=m-4m，

一（m+4）+2m=m2-4m，

解得加二1或4,

即m的值為1或4

【變式訓(xùn)練1】已知關(guān)于X的方程'-2mx+療-9=0.

（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)此方程的兩個根分別為網(wǎng)，x-若其=36求加的值.

【解答】（1）證明：???△=（一2加）2-4（%2-9）=36>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2

（2）解：xi+x2=2m,X]-x2=m-9，

2

x；+x；=（X]+x2）-2再無2=4〃尸-2m2+18=36，

化簡，得2m2=18,

解得=3或m=-3.

【變式訓(xùn)練2】若王、%是關(guān)于X的一元二次方程依2-2x+4=0的兩個實數(shù)根.

（1）求人的取值范圍；

（2）若X]=g,求（為+1）（%+1）的值.

【解答】解：（1）???關(guān)于X的一元二次方程依2-2X+4=0有兩個實數(shù)根，

:.k^0,且△=（-2）2-4左x4...O,

解得鼠;且

1714

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得％i+馬=一+工2=—，X1X2=~X2=~9

3k3k

2

解得k=—30，x=—.

25

12

?F十寸-百，個2=一百，

，(國+1)(%2+1)

=x1x2+(玉+)+1

211

=-------1-1

1515

_4

"5,

[變式訓(xùn)練3】關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-l)x+m2-2m=0有實數(shù)根.

(1)求刑的取值范圍；

(2)若方程的兩個實數(shù)根為不，且滿足X；+工；-西工2=9,求機的值.

【解答】解：(1),?,關(guān)于％的一元二次方程/-(2加-1)%+/-2加=0有實數(shù)根，

/.△=Z?2-4ac=[-(2m-I)]2-4xlx(m2-2m)=4m+1...0,

解得：m...——.

4

2

(2)v關(guān)于x的一元二次方程*-(2m-l)x+m-2m=0的兩個根分別為項，x2,

2

xx+x2=2m-1,%1-x2=m-2m，

222

(%1+x2)-3xrx2=9,即(2m-I)-3(m-2m)=9,

整理得：加之+2加+1=9,

/.(m+1)2=9,

解得：冽i=一4,冽2=2，

1

m...—.

4

???加的值為2

1.下列方程中，關(guān)于X的一元二次方程的是（)

A.x2-l=2xB.x3+2x2=0C.x2+-=0D.x2-y+1^0

X

【解答】解：A.X2-1=2X,故/符合題意；

B.X3+2X2=0,不是一元二次方程，故3不符合題意；

C.x2+-=0,不是一元二次方程，故C不符合題意；

X

D./_了+1=0,不是一元二次方程，故。不符合題意；

故選：A.

2.下列式子是一元二次方程的是（）

A.x2-2x-3B.x1+\=yC.5-x（x-1）=5D.2x-1=0

【解答】解：A./-2x-3是代數(shù)式，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

C、是一元二次方程，故本選項符合題意；

。、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

故選：C.

3.關(guān)于x的方程（q-l）/一3x+2=0是一元二次方程，則（）

A.a>0B.awOC.awlD.a=\

【解答】解：???關(guān)于X的方程（"1濡-3x+2=0是一元二次方程，

CL—1W0,

QW1,

故選：C.

4.關(guān)于x的一元二次方程2X2-4X-1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（）

A.-2,4B.-2,-1C.2,4D.2,-4

【解答】解：關(guān)于％的一元二次方程2——以-1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別2和

故選：D.

5.已知加是一元二次方程一一3工+1=0的一個根，則2021-加2+3加的值為（）

A.2022B.2021C.2019D.-2020

【解答】解：把％=冽代入方程f一3x+l=0得冽之一3冽+1=0,

所以加2-3加=一1,

所以2021—加2+3加=2021—（加2—3m）=2021-（-1）=2022.

故選：A.

6.一元二次方程/+。=0的一個根為一3,那么。的值為（）

A.9B.3C.-3D.-9

【解答】解：把％=-3代入方程—+C=0得9+c=0,

解得c=-9.

故選：D.

7.方程（％-3>=4的根為（）

.A..X]—%2=5B?X]=5,%2=1C.再—%2=1D.玉=7,x2=—1

【解答】解：方程（x-3y=4,

開方得：x—3=2或》一3=-2,

解得：X]=5,x2=1.

故選：B.

8.若把方程V-6x-4=0的左邊配成完全平方的形式，則正確的變形是（）

A.(x-3)2=5B.(x-3)2=13C.(x-3)2=9D.(x+3)2=