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文檔簡介

特訓06幾何證明解答壓軸題(十三大題型,含六大模型+三大中考熱點題型)

目錄

1:垂線模型

型2:一線三等角模型

型3:手拉手模型

型4:旋轉(zhuǎn)模型

型5:倍長中線模型

題6:截長補短模型

題7:線段的垂直平分線的綜合應用

題8:角的平分線的綜合應用

題9:直角三角形的性質(zhì)綜合應用

題10:勾股定理的綜合應用

題11:中考熱點題型1—幾何中的分類討論

題12:中考熱點題型2—作平行線

13:中考熱點題型2—作垂線

題型1:垂線模型

1.如圖,已知VABC中,AB=AC,ABAC=90°,分別過8、C向過A的直線作垂線,垂足分別為E、P.

(1)如圖1,過A的直線與斜邊BC不相交時,直接寫出線段所、BE、CP的數(shù)量關系是;

(2)如圖2,過A的直線與斜邊2c相交時,探究線段所、BE、CP的數(shù)量關系并加以證明;

(3)在(2)的條件下,如圖3,直線2交BC于點延長3E交AC于點G,連接3尸、FG、HG,若

ZAHB=NGHC,EF=CF=6,EH=2FH,四邊形A2FG的面積是90,求GHC的面積.

【分析】(1)數(shù)量關系為:EF=BE+CF.利用一線三直角得到/BEA=NAFC=90。,ZEBA=ZFAC,再證

△EBA咨AFECCAAS)可得AE=CF即可;

(2)數(shù)量關系為:EF=BE-CF.先證尸C=90。,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,可

得/EBA=NFAC,再證△EBA四△FEC(A4S),可得8E=ARAE=CP即可;

(3)先由(2)結論*BE-CF;EF=CF=6,求出BE=AF=12,由EH=2FH,可求FW=2,EH=4,利

用對角線垂直的四邊形面積可求BG=V|^=¥;=15,再求EG=3,AH=10,分別求出SAACF=4

AFFC=36,SAHCF=LHFFC=6,S^AGH=-AH-EG=15,利用面積差即可求出.

22

【詳解】解:⑴數(shù)量關系為:EF=BE+CF.

■:BE2EF,CFLEF,ZBAC=90°,

:.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA^-ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC=1SO°-ZBAC=9O°,

:.ZEBA=ZFAC,

在^£84和4/EC中,

ZAEB=ZCFA

?;lzEBA=ZFAC9

AB=CA

:?XEB器匕FAC(AAS),

?:BE=AF,AE=CF,

:.EF=AF+AE=BE+CF;

(2)數(shù)量關系為:EF=BE-CF.

VBE±AF,CF±AF,ZBAC=90°,

:.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,

:.ZEBA=ZFACf

在^EBAbEC中,

NAEB=ZCFA

?:\AEBA=AFAC,

AB=CA

FAC(AAS),

?:BE=AF,AE=CF,

:.EF=AF-AE=BE-CF;

(3)?;EF=BE-CF;EF=CF=6,

:.BE=AF=EF+CF=6+6=12,

*:EH=2FH,EH+FH=EF=6,

:?2FH+FH=6,

解得FH=2,

;?EH=2FH=4,

S四邊形ABFG=|AFBG=90,

:.BG=2=吧=15

AF12

EG=BG-BE=15-12=3,AH=AE+EH=6+4=10,

VSAACF=-AFFC=-X12X6=36,HCF=-HF-FC=-x2x6=6,SAGH=-AH-EG=-xl0x3=15,

22222A2

SAGHC=SAACF-SAHCF-SAAGH=36-6-15=15.

【點睛】本題考查圖形變換探究線段和差問題,感知,探究以及應用,三角形全等判定與性質(zhì),三角形面

積,四邊形面積,與三角形高有關的計算,掌握圖形變換探究線段和差問題,感知,探究以及應用,三角

形全等判定與性質(zhì),三角形面積,四邊形面積,與三角形高有關的計算是解題關鍵.

題型2:一線三等角模型

證:BC=AE.

[模型應用]如圖2,鉆_£48且松=48,BCLCD且請按照圖中所標注的數(shù)據(jù),計算圖中實線

所圍成的圖形的面積為.

[深入探究]如圖3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且5CLAF于點RDE

與直線■交于點G.若3C=21,AF=12,則△AZ)G的面積為.

【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析;[模型應用]50;[深入探究]63

【分析】[模型呈現(xiàn)]證明A4BC9根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到5c=他;

[模型應用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根據(jù)梯形

的面積公式計算,得到答案;

[深入探究]過點。作加,AG于尸,過點E作石Q,AG交AG的延長線于。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,證明一。尸Gg/EQG,得到PG=G。.,進而求出AG,根

據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【解析】[模型呈現(xiàn)]證明:???NB4D=90。,

???ABAC+ZDAE=90°,

?:BC±AC,DE,LAC,

:.ZACB=ZDEA=90°,

:.ABAC-^-ZABC=90°,

:.ZABC=ZDAE,

在,ABC和-DIE1。

ZABC=ZDAE

<ZACB=/DAE,

BA=AD

:.ABC^DAE(AAS),

:.BC=AE-

[模型應用]解:由[模型呈現(xiàn)]可知,「AEPWBAGQCBG'DCH,

:.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

貝US實線圍成的圖形=—(4+6)x(3+6+4+3)——x3x6——x3x6——x3x4——x3x4=50,

乙乙乙乙乙

故答案為:50;

[深入探究]過點。作OP,AG于P,過點E作石Q,AG交AG的延長線于Q,

由[模型呈現(xiàn)]可知,AFB”DPA,.AFC冬..EQA,

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,

在ADPG和二EQG中,

ZDPG=ZEQG

<ZDGP=ZEGQ,

DP=EQ

:.DPGAEQG(AAS),

.??PG=GQ,

?.?BC=21,

:.AQ+AP=21f

:.AP+AP+PG+PG=21,

???AG=AP+PG=10.5,

S=gx10.5x12=63,

故答案為:63.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算,熟記三角形確定的判定定理是解題

的關鍵.

題型3:手拉手模型

3.已知:△ABC與△8OE都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有

(1)如圖1,如果A、B、D在一直線上,且NABC=60。,求證:△是等邊三角形;

(2)在第(1)問的情況下,直線AE和C。的夾角是。;

(3)如圖2,若A、B、。不在一直線上,但NABC=60。的條件不變則直線AE和C。的夾角是°;

(4)如圖3,若/AC8=60。,直線AE和CD的夾角是°.

【答案】(1)證明見解析;(2)60;(3)60;(4)60;

【分析】(1)根據(jù)題意,得/ABC=NDBE=60。,從而得ZABE=ZDBC;通過證明,ASE烏,C8D,得

ZBAE=ZBCD;通過證明BAM-BCN,得BM=BN,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分析,即可完成證明;

(2)結合題意,通過證明VABC為等邊三角形,得NA4C=NBC4=60。;結合(1)的結論,根據(jù)三角形

外角性質(zhì),推導得NA8=120。,從而完成求解;

(3)同理,通過證明VABC為等邊三角形,得/瓦IC=NBG4=6O。;通過證明ABE-CBD,得

ZBAE=/BCD;根據(jù)三角形外角性質(zhì),推導得48=120。,從而完成求解;

(4)根據(jù)題意,通過證明VABC為等邊三角形,推導得NABE=NCB。,通過證明ABE”CBD,得

NBAE=NBCD,結合三角形外角的性質(zhì)計算,即可得到答案.

【詳解】(1)ZABC=ZDBE=60°

:.ZMBN=1SO°-ZABC-ZDBE=6O°,ZABE=AABC+ZMBN,NDBC=NDBE+ZMBN

:.ZABE=ZDBC

*:BA=BC,BD=BE

..ABE和△CBD中

BA=BC

</ABE=NDBC

BE=BD

:.ABE^-CBD

:.ZBAE=ZBCD

和ABCN中

-/BAE=/BCD

<AB=BC

/ABC=/MBN=60°

???BAM均BCN

:.BM=BN

???BMN為等邊三角形;

(2)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

???VA5C為等邊三角形;

ZBAC=ZBCA=60°

根據(jù)題意,AE和。。相交于點O

?;/BAE=ZBCD

:.ZAOD=AOAC+ZACO=/OAC+/BCA+/BCD=ZOAC+ZBC4+/BAE

■:/OAC+/BAE=/BAC

:.ZAOD=NBAC+NBCA=120°

JZAOC=180°-ZAOD=60°,即直線AE和CD的夾角是60。

故答案為:60;

(3)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

???VABC為等邊三角形;

???ZBAC=ZBCA=60°

VZABE=ZABC+ZMBN,/DBC=/DBE+ZMBN,ZABC=ZDBE=6Q°

:.ZABE=ZDBC

*:BA=BC,BD=BE

石和△CBD中

'BA=BC

<NABE=ZDBC

BE=BD

:.ABE-CBD

:.ZBAE=ZBCD

如圖,延長AE,交CO于點。

???ZAOD=AOAC+ZACO=ZQ4C+ZBC4+/BCD=ZQ4C+ZBG4+ZBAE

???ZOAC+ZBAE=ZBAC

:.ZAOD=/BAC+NBCA=120°

???ZAOC=180°-ZAOD=60°,即直線AE和CD的夾角是60。

故答案為:60;

(4)*:BA=BC,

:.ZACB=ZCAB

ZACB=60°

:.ZACB=ZCAB=60°

???VABC為等邊三角形

?:BD=BE,ZABC=ZDBE

:.ZDBE=60°

VZABE=ZABC-ZCBE,ZCBD=ZDBE-ZCBE

:.ZABE=ZCBD

A5E1和△CBD中

BA=BC

</ABE=NDBC

BE=BD

:.,ABEMCBD

:.NBAE=ZBCD

分別延長CD、AE,相較于點O,如下圖:

ZAOF=AOAC+ZACO=ZOAC+ZBCA+/BCD=ZOAC+ZBCA+ZBAE

???ZOAC+ZBAE=ABAC

:.ZAOF=ZBAC+ZBCA=120°

ZAOC=180°-ZAOF=60。,即直線AE和CO的夾角是60°

故答案為:60.

【點睛】本題考查了等腰三角形、等邊三角形、全等三角形、補角、三角形外角的知識;解題的關鍵是熟

練掌握等邊三角形、全等三角形、三角形外角的性質(zhì),從而完成求解.

題型4:旋轉(zhuǎn)模型

4.如圖,等邊VA3C中,DE7/BA分別交BC、AC于點E.

(1)求證:,.CDE是等邊三角形;

(2)將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn),(0。<6<360。),設直線AE與直線8£>相交于點尸.

①如圖,當0。<。<180。時,判斷N/aB的度數(shù)是否為定值,若是,求出該定值;若不是,說明理由;

②若AB=7,CD=3,當B,D,E三點共線時,求5。的長.

A

【答案】(1)見解析;(2)①/4FB的度數(shù)是定值,為60。;②5。=5或8.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可得NB4C=NABC=NACB=60。,再由DE〃血,可得到

ZEDC=ZABC=60。,ZDEC=ZBAC=60°f從而得到NXDC=NDEC=NC,即可求證;

(2)根據(jù)題意,可證得"CDmACE,從而得到NCBD=NC4E,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。,即

可求解;

(3)分兩種情況討論:當B,D,E三點共線,且。石在5。上方時,當5,D,E三點共線,且。石在

3C下方時,即可求解.

【詳解】證明:(1)ABC是等邊三角形,

???ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

?.?DE//BA,

ZEDC=ZABC=6O°,ZDEC=ZBAC=60°,

ZEDC=ZDEC=ZC,

???CD石是等邊三角形;

(2)解:①“B的度數(shù)是定值,理由如下:

AABC,ACDE是等邊三角形,

:.BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

:.ZBCD=ZACE,

在△5CD和ZVICE1中,

BC=AC

</BCD=/ACE,

CD=CE

:.BCDwACE(SAS),

???ZCBD=ZCAE,

又?:Z1=Z2,

:.ZAFB=ZACB=60°,

即/位中的度數(shù)是定值,為60。;

②當3,D,E三點共線,且OE在8C上方時,過點C作CFLDE,

A

:CDE是等邊三角形,CFLDE,

13

DF=-CD=~,

22

在Rt^a年中,由勾股定理得:

CF=YJCD2-DF2

2

133

:.BD=BF-FD=-----=5;

22

當B,D,E三點共線,且。E在3c下方時

A

綜上所述,3£)=5或8.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的判定和性質(zhì),圖形的旋轉(zhuǎn),熟練掌握相

關知識點是解題的關鍵.

題型5:倍長中線模型

5.(1)如圖1,在AABC中,AB=4,AC=6,是BC邊上的中線,延長到點E使。E=A。,連接

CE,把AB,AC,2A。集中在AACE中,利用三角形三邊關系可得A。的取值范圍是;

(2)如圖2,在AABC中,是邊上的中線,點、E,尸分別在AB,AC上,5.DE1DF,求證:BE

+CF>EF;

(3)如圖3,在四邊形4BC。中,/A為鈍角,/C為銳角,ZB+ZADC=180°,DA=DC,E,尸分

別在BC,A8上,且NEDF=g/AOC,連接EF,試探索線段AF,EF,CE之間的數(shù)量關系,并加以證

2

明.

【答案】(1)1<AZ)<5:(2)見解析;(3)AF+EC=EF,見解析

【分析】⑴證明「CDE空皮推出CE=AB=4,在八40£中,利用三角形的三邊關系解決問題即

可.

(2)如圖2中,延長ED到使得DH=DE,連接DH,FH.證明BDEqCDH(SAS),推出BE=CH,

再證明EF=FH,利用三角形的三邊關系即可解決問題.

(3)結論:AF+EC=EF.延長BC到H,使得CH=AF.提供兩次全等證明AF=CE,£F=EH即可解決問題.

【詳解】(1),:CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

:..CDE^ABOA(SAS),

:.EC=AB=4,

V6-4cAE<6+4,

:.2<2AD<10,

:.1<AD<5,

故答案為:

(2)如圖2中,延長ED到H,使得。H=Z)E,連接DH,FH.

ABDE^/XCDH(SAS),

:.BE=CH,

':FD±EH,又DE=DH,

:.EF=FH,在中,CH+CF>FH,

":CH=BE,FH=EF,

:?BE+CF>EF;

(3)結論:AF+EC=EF.理由:延長8C到“,使得CH=AF.

VZB+ZAZ)C=180°,

JZA+ZBC£>=180°,

?;/DCH+NBCD=180。,

NA=/DCH,

?:AF=CH,AD=CD,

:.AFD^CHD(SAS),

:.DF=DH,ZADF=ZCDH,

:.ZADC=ZFDH,

*:ZEDF=-NA。。,

2

ZEDF=-/FDH,

2

???/EDF=/EDH,

?:DE=DE,

/\FDF^/\FDH(SAS),

:?EF=EH,

EH=EC+CH=EC+AF,

:.EF=AF+EC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),三角形的中線的性質(zhì),三角形的三邊關系等知識,解題的

關鍵是學會倍長中線,構造全等三角形解決問題,屬于中考??碱}型.

題型6:截長補短模型

6.問題背景:

如圖1:在四邊形A5CD中,AB=AD.ZBAD=120°.ZB=ZADC=90°.E,尸分別是3C.CD上的點,且

NE4尸=60。,探究圖中線段3瓦EF,尸。之間的數(shù)量關系.

(1)小王同學探究此問題的方法是:延長陽到點G.使。G=BE.連接AG,先證明△ABEgAAOG,再證

明AAEF絲AAG凡可得出結論,他的結論應是_;(直接寫結論,不需證明)

探索延伸:

⑵如圖2,若在四邊形ABC。中,AB=AD,ZB+ZADF=180°.E,尸分別是8C,CD上的點,且NEAP=;

/BAD,(1)中結論是否仍然成立,并說明理由;

⑶如圖3,在四邊形ABCD,AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分別是邊BC、CD延長線上的點,且/014

^ZBAD,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請證明:若不成立,請直接寫出它們之間的數(shù)量關系.

【答案】{V)EF=BE+FD

(2)(1)中的結論EF=8E+FD仍然成立.證明見解析;

⑶結論EF=8E+ED不成立,結論是:EF=BE-FD.證明見解析.

【分析】(1)延長加到點G.使。G=BE.連接AG,利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可;

(2)延長CB至使BM=DF,連接AM.證明△ABM^AAZ)F(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AM,

Z2=Z3.AAME^/\AFE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出EF=BE+BM,則可得出結論;

(3)在8E上截取BG,使BG=OF,連接AG.證明△ABG經(jīng)△AD尸(SAS).由全等三角形的性質(zhì)得出

ZBAG=ZDAF,AG=AF.證明△AEGgAAEP(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出結論.

【詳解】(1)解:EF=BE+FD.

延長尸。到點G.使。G=8E.連接AG,

ZABE=ZADG=ZADC=9Q°,AB=AD,

:.^ABE^^ADG(SAS).

:.AE=AG,ZBAE=ZDAG.

:.ZBAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF=ZEAF=60°.

:.ZGAF=ZEAF=6Q°.

^L':AF=AF,

:.^AGF^^AEF(SAS).

:.FG=EF.

,:FG=DF+DG.

:?EF=BE+FD.

故答案為:EF=BE+FD;

(2)解:(1)中的結論石尸=88+尸。仍然成立.

證明:如圖②中,延長C3至使憶連接AM.

VZABC+Z£>=180°,Z1+ZABC=18O°,

.\Z1=ZZ),

在△與△A。/中,

AB=AD

<Z1=ZD,

BM=DF

:.AABM^AADF(SAS).

:.AF=AM,Z2=Z3.

9:ZEAF=-ZBAD,

2

Z2+Z4=-ZBAD=ZEAF.

2

AZ3+Z4=ZEAF,^ZMAE=ZEAF,

在△AME與△A尸E中,

'AM=AF

</MAE=ZEAF,

AE=AE

:.AAME^AAFE(SAS).

:.EF=ME,即

:.EF=BE+DF;

(3)解:結論不成立,結論:EF=BE-FD.

證明:如圖③中,在3E上截取BG,使BG=DF,連接AG.

VZB+ZAZ)C=180°,ZADF+ZADC=180°f

ZB=ZADF.

在△A8G與△A。/中,

'AB=AD

<ZABG=ZADF,

BG=DF

:.AABG^AADF(SAS).

:.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

:.ZBAG+ZEAD=ZDAF^-ZEAD=ZEAF=-ZBAD.

2

:.ZGAE=ZEAF.

\'AE=AE,

:.AAEG^AAEF(SAS),

:.EG=EF,

?:EG=BE-BG,

:.EF=BE-FD.

【點睛】本題是三角形綜合題,考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識,解題的關鍵是添加輔助線,構造

全等三角形解決問題.

題型7:線段的垂直平分線的綜合應用

7.如圖,在,ABC中,AB=AC,ABAC=90°.

(1)如圖1,B。平分NABC交AC于點。,歹為BC上一點,連接AR交BD于點E.

①若AB=BF,求證:BD垂直平分AF;

②若AF_LfiD,求證:AD=CF.

(2)如圖2,BD平分/A3C交AC于點£>,CE1BD,垂足E在BD的延長線上.試判斷線段CE和BD的數(shù)量

關系,并說明理由.

(3)如圖3,尸為BC上一點,NEFC=;NB,CE1EF,垂足為E,E戶與AC交于點。.寫出線段CE和

即的數(shù)量關系(不要求寫出過程).

【答案】(1)①見解析;②見解析

(2)BD=2CE,理由見解析

⑶CE=;FD

【分析】(1)①由等腰三角形的性質(zhì)可得出答案;

②過點C作CM,A尸交A尸的延長線于點“,證明ABE^.C4M(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出

AE=CM,證明AAED之一CMF(ASA),則可得出AD=CF;

(2)延長54、CE相交于點尸,利用“角邊角”證明.3CE和一段E全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得

CE=EF,根據(jù)等角的余角相等求出/ABD=NACF,然后利用“角邊角”證明和ACF全等,根據(jù)

全等三角形對應邊相等可得30=CF,然后求解即可.

(3)過點下作PG〃區(qū)4,交AC于H,交CE的延長線于點G.證明CEF均GEF(ASA),由全等三角形

的性質(zhì)得出CE=GE,證明LCG“四AFD"(ASA),得出CG=O7<則可得出結論.

【詳解】⑴①證明:AB=BF,BD平分ZABC,

:.BE±AF,AE=EF,

即BD垂直平分AF;

②證明:過點C作CMLAF交A尸的延長線于點Af,

:.ZCAM^ZABE,

在.ABE和CAM4>,

ZAEB=ZAMC

</ABE=ZCAM,

AB=AC

ABE咨CW(AAS),

:.AE=CM,

AF±BD,AF1CM,

BD//CMf

:"FCM=/CBD,

3。平分ZA5C,

:.ZABD=/CBD,

.\ZFCM=ZABDf

:"FCM=/EAD,

在AA£D和CMF中,

/EAD=ZFCM

<ZAED=ZCMF,

AE=CM

AED^CMF(ASA),

:.AD=CF;

(2)解:BD=2CE.

理由如下:如圖2,延長B4、CE相交于點尸,

3。平分ZA3C,

:.ZABD=/CBD,

在一BCE和二瓦芯中,

ZCBE=ZFBE

<BE=BE

ZBEF=/BEC=90°

BCEWBFE(ASA),

;.CE=EF,

ABAC=90°,CE上BD,

/.ZACF+ZF=90°,ZABD+ZF=90°,

:.ZABD=ZACFf

在[ABD和ACF中,

ZABD=ZACF

<AB=AC,

ABAC=ZCAF=90°

,ABD^ACF(ASA),

:.BD=CFf

CF=CE+EF=2CE,

:.BD=2CE.

(3)解:CEJFD.過點尸作尸G〃區(qū)4,交AC于H,交CE的延長線于點G.

2

;./EFC=/GFE,

又CELFE,

:.ZCEF=ZGEF=90°,

在/CEF和GEF中,

ZCFE=ZGFE

<FE=FE,

ZFEC=ZFEG

:qCEF務GEF(ASA),

:.CE=GE,即C£」cG,

2

FG//AB,ZA=90°fAB=ACf

:"CHG=/DHF=90°,CH=FH.

又Z.GCH=ZDFH,

.hCGH-FDH(ASA),

:.CG=DF.

:.CE=LFD.

2

【點睛】本題是三角形綜合題,考查了全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等

角的余角相等的性質(zhì),熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵.

8.如圖,四邊形OACB中,OA±OB,聯(lián)結OC,SLOA=OB=OC,分別作AC于點E,OF_L3c于

點、F,垂足分別為E、

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當OC為ZAO3的平分線時,試說明:OC1EF;

(2)如圖2,延長昉、OE交于點。,

①直接寫出線段C。、OF、M之間的數(shù)量關系

②聯(lián)結AD,若=8,求四邊形Q4O3的面積.

【答案】(1)見解析

(2)@OF=DC+BF;@64

【分析】(1)利用AOC咨,BOC(SAS)和OEC也;ORC(AAS)得至〕JOE=O尸,CE=CF即可得出結論;

(2)①利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到,ECD的度數(shù),從而得出△“已是等腰直角三角形,由

OF=DF=DC+CF=DC+BF即可得到結果;

②根據(jù)S四邊形AOBD=S&AOD+S^COD+$AOFC+SAOFB即可求解?

【詳解】(1)證明:???。。是—AO5是平分線,

ZAOC=/BOC,

OA=OB

在△AOC和.30。中,<ZAOC=/BOC,

OC=OC

:.AOC^BOC(SAS),

NOCA=/OCB,

VOELAC,OF±BC,

:.ZOEC=ZOFC=90°,

ZOEC=/OFC

在△OEC和△QFC中,</OCE=NOCF,

OC=OC

:.OFC(AAS),

AOE=OF,CE=CF,

???oc垂直平分斯,

???OC.LEF;

(2)解:?OF=DC+BF^

?:OA=OC=OB,

.yMNAOC,ZOCB=i^-ZBOC

22

.360°-(ZAOC+ZBOC)

..ZOCA+ZOCB=-------------------------------二

2

360°-ZAOB360°-90°…。

------------------=--------------=135,

22

/ECD=180°-(ZOC4+ZOCB)=45°,

丁OE1AC,ZOEC=90°,

ZD=ZOEC-ZECD=45°,

*:OB=OC,OFIBC,

:.ZOFC=9009CF=BF9

???△OED是等腰直角三角形,

OF=DF=DC+CF=DC+BF,

:.OF=DC+BF;

②由①知△OQ尸是等腰直角三角形,

D

oB

;.OF=DF=8,ZOFD=90°f

*:OF±BGOB=OC,

:.ZOFC=ZOFB=90°,CF=BF,

OF=OF

在△。尸。和△。尸B中,</OFC=/OFB,

CF=BF

:.OFC^OFB(SAS),

?Q—V

,,UAOFC一屋OFB,

':OA=OC,OELAC,

?,?OE垂直平分AC,

:.DA=DC,

OA=OC

在△AOD和△CQD中,\DA=DC,

OD=OD

AOD^cor>(sss),

,?S"QO-S^COD,

,?S四邊形AO3D=^^AOD+S^COD+^AOFC+ZoFB=2(SMO0+2OFc)

=2se)尸=2x—x8x8=64.

lA\ULJr2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握全等三

角形的判定定理是解題的關鍵.

題型8:角的平分線的綜合應用

9.【發(fā)現(xiàn)】如圖1,ZABC=ZC=90°,E為BC的中點,OE平分/ADC,過點E作EF2AD,垂足為

F,連接AE.

(1)求證:AE是N7MB的平分線;

【拓展】如圖2,AB//DC,44D和NADC的平分線AE和DE相交于點E,過點E的直線與A5,DC分

別相交于點8,C(點8,C在的同側).

(2)判斷E是否為線段BC的中點,并說明理由;

(3)若四邊形ABCD的面積為16,ABE的面積為2,則「CDE的面積是.

【答案】(1)見解析;(2)E為線段BC的中點,理由見解析;(3)6

【分析】本題主要考查角平分線性質(zhì)定理與判定定理、線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì),

正確作出輔助線是解決此題的關鍵.

(1)由題意得砂=EC和EB=EC,根據(jù)角平分線的判定定理即可判定;

(2)過點E作AB的垂線,交的延長線于點/,交于點G,有FGLCD.作即LAD于點尸,由角

平分線的性質(zhì)可得即=EG,證得△3£F0Z\CEG,即可求證;

(3)因為▲入£?四一AEF和有%防+SAOEG=;$四邊形AR?,根據(jù)43跖四△CEG,得到

^△ABE+SADCE=]S四邊形ABCD即可.

【詳解】(1)證明:NC=90。,

:.ECLCD.

又?EFLAD,DE平分NADC,

:.EF=EC.

E為8C的中點,

/.EB=EC,

:.EF=EB.

ZABC=90°,

:.EB.LAB.

又石尸_LAZ),

.:AE1是mm的平分線;

(2)解:石為線段BC的中點;

理由:過點E作A3的垂線,交A5的延長線于點尸,交于點G,如圖,

,ABCD,

:.FG±CD.

作于點尸,由角平分線的性質(zhì)可得£F=EP=£G.

在AB石廠與二CEG中,

ZEFB=ZEGC=90°

<EF=EG,

NBEF=NCEG

Z.BEF^fCEG(ASA),

:.BE=CE,

為線段BC的中點;

(3)解:在△%£尸和ZkAE尸中,

ZEAP=ZEAF

<ZAPE=ZAFE,

EP=EF

:.AEF(AAS),

則SAEP—SAEF,

同理可證△OEPg/XDEG,則SVOEP=SYDEG,

…S^AEF+S^DEG=5S四邊形A產(chǎn)GO?

又.&BEF學ACEG,

一SBEF=SCEG,

一^AABE+S/\DCE=]S四邊形Ageo=,

??SCDE=8—2=6.

10.如圖,△CAB與.CDE中,ZACB=ZDCE=90°,CA=CB,CD=CE,ZCAB=ZCBA=45°,

ZCDE=ZCED=45°,連接AD、BE.

圖l圖2圖3

(1)如圖1,若NC4r>=20。,ZDCB=26。,求NDEB的度數(shù);

(2)如圖2,若CE〃AB,AD平分ZR4C,求證:CD+AC=AB;

(3)如圖3,BE與AC的延長線交于點G,若CDLAD,延長C。與AB交于點N,在BC上有一點Af,且

BM=CG,連接M0,請猜想CN、NM、3G之間的數(shù)量關系并證明你的猜想.

【答案】(1)51。

(2)見解析

e)CN+MN=BG,證明見解析

【分析】本題是三角形綜合題,考查了等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的

關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題.

(1)先證明,ACD組3CE(SAS),可得/ADC=/BEC,由NOCB=26。,ZCAD20°,得

ZACD=ZACB-ZDCB=64°,Z.BEC=ZADC=180°-ZACD-ACAD=96°,再結合

/DEB=ZBEC-ACED即可求解;

(2)延長CO交AB于尸,在AB上取AG=AC,連接DG,由題意可得/BFC=90。,ZBCE=ZCBA=45°,

ZBCF=AACF=45°=ZCBA,進而可得班'=由AD平分/BAC,可知NG4。=NG4D,易證

ADG^.AZ)C(SAS),可得ZAGD=ZACF=45。,則NFDG=45°,可知。尸=GF,可證3G=CD,由

AB=AG+BG=AC+CD,即可證明結論;

(3)如圖,結論:OV+肱V=3G.如圖過點3作BTLBC交CN的延長線于T.證明一CBT空BCG(ASA),

BW^BAT(SAS),利用全等三角形的性質(zhì),可得結論.

【詳解】(1)解:ZACB=ZDCE=90°,即ZACD+ZBCDuNBCD+NBCEngO。,

ZACD=ZBCE,

XVCA=CB,CD=CE,

_AC由一fiCE(SAS)

:./ADC=/BEC,

':"CB=26。,

ZACD=ZACB-ZDCB=90°-26°=64°,

ZC4D=20°,

:.々£。=/4£2=180。-/48-/。1£>=96。,

又,:ZCED=45°,

:.NDEB=ZBEC-ZCED=51。;

(2)證明:延長CD交AB于歹,在AB上取AG=AC,連接£>G,

:CE〃AB,ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCBA=45°,

:.NBCE=NCBA=45°,ZBFC=90°,

貝I]ZBCF=ZACF=45°=ZCBA,

:.BF=CF,

':A£>平分/A4C,

ZGAD=ZCAD,

VAG^AC,AD^AD,

ADgADC(SAS),

/.ZAGD=ZACF=45°,貝!|ZFDG=45°,

DF=GF,

VBF=CF,BG+GF=CD+DF,

:.BG=CD,

貝(JAB=AG+3G=AC+CD;

即:CD+AC=AB;

(3)結論:CN+MN=BG.

理由:如圖過點B作BTLBC交CN的延長線于T,

,?/CBA=45°,

/.ZNBT=45°,

':AD±CD,

:.ZAZ)C=90°,

由(1)可知VACC^VBCE,

ZADC=ZBEC=90°,

ZBCT+ZECB=90°,ZECB+ZCBG=90°,

ZBCT=ZCBG,

ZCBT=ZBCG=9O°,BC=CB,

CBT空BCG(ASA),

BT=CG,CT=BG,

BM=CG,

BM=BT,

ZNBM=ZNBT=45°,BN=BN,

BNM-BNTg網(wǎng),

MN=NT,

CN+MN=CN+NT=CT=BG.

題型9:直角三角形的性質(zhì)綜合應用

11.如圖,在四邊形ABCD中,AC平分ZA4。,且N3+"=180。.

(1)求證:CB=CD;

(2)如圖2,其余條件不變,若448=90。,43=8,/。=。.

(3)如圖3,其余條件不變,若4AD=120。,判斷AB,AC的數(shù)量關系,并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)60

O)AB+AD=AC,見解析

【分析】(1)過點C作CE人于點E,CFLAD交AO延長線于點孔角平分線的性質(zhì),得到CE=CF,

證明CBEMCDF(AAS),即可得證;

(2)延長AB,£>C交于點E,證明iACE^..ACD(ASA),得到CE=C£>,/E=/。,證明ZEBC=NE=ZECB,

進而求出NE=60。,即可得出結果;

(3)過點C作CE1AB交AB延長線于點E,于點區(qū)先證明RtACE絲RtACD(HL),得到

AE=AF,ZAEC=ZD,再證明CBE^,CDF(AAS),得到BE尸,根據(jù)線段的和差關系,以及含30

度角的直角三角形的性質(zhì),即可得出結論.

【詳解】(1)證明:如圖,過點C作CE1AB于點E,CFLAD交AD延長線于點足

;AC平分N&LD,

CE=CF,

?.?ZB+ZADC=180°,ZCDF+ZADC=180。,

:.ZB=ZCDFf

丁ZCEB=ZCFD=90°,

???CBE^CDF(AAS)f

:.CB=CD;

(2)解:如圖,延長AB,DC交于點及

:.ZEAC=ZDAC,

;^ACD=9Q°,

???NACE=90。,

ZACE=ZACD=90°f

■:AC=AC,

:.ACE^ACD(ASA),

CE=CD,NE=ND,

?:AB=CD,

:.CE=CD=AB,

?.?ZABC+ZD=180°,ZABC+Z.EBC=180。,

NEBC=ND,

:.NEBC=NE,

:.CE=CB,

:.CE=CB=AB,

/BCA=/BAC,

9:ABAC=ADAC,

:.ZBCA=ZDACf

:.BC//AD,

ZBCE=ZD,

:.ZEBC=ZE=ZECB,

Z£BC+ZE+ZECB=180°,

???/EBC=AE=NECB=60°,

:.ZD=60°,

故答案為:60;

(3)解:AB^AD=AC,理由如下:

如圖,過點。作CE1AB交A3延長線于點E,C尸,AD于點凡

C

???AC平分

CE=CF,ABAC=ADAC=-ABAD=-xl20°=60°,

22

?:AC=AC,

ARtACE^RtACD(HL),

AE=AF,ZAEC=ZDf

,/ZABC+Z£)=180°,ZABC+NEBC=180°,

ZEBC=ZD,

:NCEB=NCFD=90°,

:...CBE^CDF(AAS),

/.BE=DF,

:.AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE,

?:ZEAC=60°,ZCEB=90°,

/.NACE=30。,

?\AC=2AE,

:.AB+AD=AC.

【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),含30度角的

直角三角形等知識點,熟練掌握相關知識點,添加輔助線構造特殊圖形和全等三角形,是解題的關鍵.

12.如圖1,等腰三角形ABC和等腰三角形ADE共頂點A,AB=AC,AD=AE,連接B。、CE.利用

所學知識解決下列問題:

(1)^ABAC=ZDAE,求證:BD=CE;

(2)連接8E,當點。在線段8E上時:

①如圖2,若/區(qū)4C=NZME=60。,則/3EC的度數(shù)為一,線段2£)與CE之間的數(shù)量關系是二

②如圖3,若N54C=ND4E=90。,40為VADE中。E邊上的中線,請判斷N3EC的度數(shù)及線段

AM.BE、CE之間的數(shù)量關系,并說明理由.

【答案】⑴見解析;

(2)①60°,BD=CE;?ZBEC=90°,BE=CE+2AM

【分析】(1)利用SAS證明汪△ACE即可得證;

(2)①利用SAS證明叵△ACE得出BD=CE,ZADB=ZAEC,然后證明VADE是等邊三角形即

可求解;

②利用SAS證明△ABD^ACE得出,然后利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明:VZBAC=ZDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和/VICE1中

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

???ABD竺AC石(SAS),

:.BD=CE:

(2)解:①???ZBAC=NZME=60。,

.\ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

??..ABD空AC石(SAS),

:.BD=CE,ZADB=ZAECf

VAD=AE,ZZME=60°,

**?VAD£是等邊三角形,

:.ZADE=ZAED=60°,

:.ZADB=ZAEC=1SO°-ZADE=120°=ZAEC,

:.Z.BEC=ZAEC-ZAED=60°.

故答案為:60°,BD=CE;

②NBECugOoiEuCE+ZAM,理由如下:

*:ABAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中

AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

:.ABD^ACE(SAS),

;?BD=CE,ZADB=ZAEC,

AD=AE,ZDAE=900,

/.VADE是等腰直角三角形,

ZADE=ZAED=45°,

ZADB=1800-ZADE=135°=ZAEC,

:.Z.BEC=ZAEC-ZAED=90°.

?-?ZDAE=90°,AAf為V">E中DE邊上的中線,

/.AM=-DE,即DE=2AM,

2

又BE=BD+DE,BD=CE,

:.BE=CE+2AM.

【點睛】本題是結合了直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的

性質(zhì)與判定等知識的綜合問題,熟練掌握知識點,由簡入難,層層推進是解答關鍵.

題型10:勾股定理的綜合應用

13.在VABC中,AC=BC,。為AB的中點,E、尸分別為AC、3C上的動點.

(1)若NC=90。,當ED=£D時,是否成立?若成立,結合圖1給出證明;若不成立,在圖1中舉

出反例;

(2)如圖2,當/C+/£Z/=180。時,求證:DE=DF;

(3)若/C=120。,NEDF=60。,AB=4,直接寫出所,的長度的范圍為一

【答案】(1)不成立,見解析

(2)證明見解析

(3)1<£F2<-

【分析】(1)連接C。,過點。作AC和的垂線,垂足分別為G、H,利用HL證明RtAEDG絲RtAEDH

和RtZ\EDG^Rt/\F'DH,得到ZEDF=90°或ZEDF'H90°;

(2)在BC上取點G,使BG=AE,連接DG,證明一ADE空BDG(SAS),推出DE=DG,ZDEA=ZDGB,

再利用四邊形內(nèi)角和以及鄰補角的性質(zhì)得到NDEC=NDFG=NDGC,根據(jù)等角對等邊即可證明DE=DF;

(3)連接CD,作。G,3c于點G,求得C。和DG的長,先證明乃是等邊三角形,得到£F=D尸,

當點尸與點G重合時,EF=。產(chǎn)有最小值為1,當點廠與點C重合時,尸有最大值為空,據(jù)此

3

即可求解.

【詳解】(1)解:如圖,連接8,過點。作AC和3C的垂線,垂足分別為G、H,

VZC=90°,AC=BC,。為AB的中點,

???CO是NACB的平分線,ZGDH=90°,

:?DG=DH,

,:ED=FD,

:.RtEDG^RtFDH(HL),

???NEDG=ZFDH,ZEDF=ZFDH+Z.EDH=ZEDG+ZEDH=ZGDH=90°;

同理RtEDG@LFDH(明,顯然/EDF'w90。,

£D_LFD不一定成立;

(2)證明:如圖,在上取點G,使5G=AE,連接。G,

VAC=BC,。為AB的中點,

:?AD=BD,ZA=ZB,

.」ADEWABDG(SAS),

:,DE=DG,/DEA=/DGB,

:?NDEC=ZDGC,

ZC+ZEDF=180°,

:.ZDEC+NDFC=180°,

Z£)FG+Z£)FC=180°,

:./DEC=ZDFG=ZDGC,

JDG=DF,

:.DE=DF;

(3

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