2025屆山東省泰安市泰安實驗中學高三第一次調研測試數(shù)學試卷含解析

2025屆山東省泰安市泰安實驗中學高三第一次調研測試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設平面與平面相交于直線，直線在平面內，直線在平面內，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件2．已知數(shù)列滿足：，則()A．16 B．25 C．28 D．333．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知復數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣25．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．26．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x7．設則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．8．設為非零實數(shù)，且，則（）A． B． C． D．9．已知雙曲線：（，）的右焦點與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．310．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)，則的值為______.14．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的實部為____________.15．展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32，則______．16．某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團活動），排課要求為：語文、數(shù)學、外語、物理、化學各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有__________種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）已知函數(shù)，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當，時，證明：.19．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）求的最大值.20．（12分）已知點P在拋物線上，且點P的橫坐標為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準線交于M，N兩點，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準線與y軸的交點為H．過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．21．（12分）移動支付（支付寶及微信支付）已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調查市民使用移動支付的年齡結構，隨機對100位市民做問卷調查得到列聯(lián)表如下：（1）將上列聯(lián)表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡是否有關？（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調查，從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵，設年齡都低于35歲（含35歲）的人數(shù)為，求的分布列及期望.（參考公式：（其中）22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設點是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點，使得①；②曲線在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當時，函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

試題分析：α⊥β，b⊥m又直線a在平面α內，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點：充分條件、必要條件.2、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時，，n=2時，，n=3時，，n=4時，，n=5時，.故選：C【點睛】本題主要考查遞推公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵．4、D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5、D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.6、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a27、A【解析】

計算的中點坐標為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.8、C【解析】

取，計算知錯誤，根據(jù)不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.9、A【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線方程為，因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的運算能力，是一道容易題.10、C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.11、B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}.12、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結合即可求得的范圍；對于當時，結合導函數(shù)，結合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導數(shù)的幾何意義應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出的值，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則；故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質、對數(shù)運算法則的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力．14、【解析】

利用復數(shù)的概念與復數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】，所以復數(shù)的實部為2.故答案為：2【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.15、4【解析】

由題意可得項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結果.【詳解】觀察式子可知，，故答案為：4.【點睛】該題考查的是有關二項式定理的問題，涉及到的知識點有展開式中項的系數(shù)和，屬于基礎題目.16、1344【解析】

分四種情況討論即可【詳解】解：數(shù)學排在第一節(jié)時有：數(shù)學排在第二節(jié)時有：數(shù)學排在第三節(jié)時有：數(shù)學排在第四節(jié)時有：所以共有1344種故答案為：1344【點睛】考查排列、組合的應用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】分析：（1）在式子中運用正弦、余弦定理后可得．（2）由經(jīng)三角變換可得，然后運用余弦定理可得，從而得到，故得．詳解：(1)由題意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由題意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，當且僅當時等號成立．∴．∴面積的最大值為．點睛：（1）正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時要注意整體代換的應用，如余弦定理中常用的變形，這樣自然地與三角形的面積公式結合在一起．（2）運用基本不等式求最值時，要注意等號成立的條件，在解題中必須要注明．18、（1）極小值點為，極小值為，無極大值；（2）證明見解析【解析】

先對函數(shù)求導，結合已知及導數(shù)的幾何意義可求，結合單調性即可求解函數(shù)的極值點及極值；令，問題可轉化為求解函數(shù)的最值，結合導數(shù)可求．【詳解】（1）由題得函數(shù)的定義域為.，由已知得，解得∴，令，得令，得，∴在上單調遞增.令，得∴在上單調遞減∴的極小值點為，極小值為，無極大值.（2）證明：由（1）知，∴，令，即∵，，∴恒成立.∴在上單調遞增又，∴在上恒成立∴在上恒成立∴，即∴【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，考查利用導數(shù)證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題．19、（1）（2）2【解析】

（1）轉化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結合三角函數(shù)的性質即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)的性質，屬于中檔題.20、(1)(2)4【解析】

（1）將點P橫坐標代入拋物線中求得點P的坐標，利用點P到準線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設A、B點坐標以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系，以及垂直關系，得出關系式，計算的值即可．【詳解】（1）將點P橫坐標代入中，求得，∴P（2，），，點P到準線的距離為，∴，∴，解得，∴，∴拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點為F（0，1），準線方程為，；設，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，以及拋物線與圓的方程應用問題，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．21、（1）列聯(lián)表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關；（2）分布列見解析，期望為.【解析】

（1）根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）首先確定的取值，求出相應的概率，可得分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）根據(jù)分層抽樣，可知35歲以下（含35歲）的人數(shù)為8人，35歲以上的有2人，所以獲得獎勵的35歲以下（含35歲）的人數(shù)為，則的可能為1，2，3，且，，，其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據(jù)的值結合附表數(shù)據(jù)進行判斷，另外，離散型隨機變量的分布列，在求解的過程中，注意變量的取值以及對應的概率要計算正確，注意離散型隨機變量的期望公式的使用，屬于中檔題目.22、（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，