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福建省廈門市重點中學2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開支(單位:萬元)如圖2所示,則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為()A. B. C. D.2.的展開式中含的項的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.803.若函數(shù)滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.4.在等腰直角三角形中,,為的中點,將它沿翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.5.等比數(shù)列中,,則與的等比中項是()A.±4 B.4 C. D.6.已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合,且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當陽馬體積的最大值為時,塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.8.在中,角所對的邊分別為,已知,.當變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.9.設雙曲線的一條漸近線為,且一個焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.設分別為雙曲線的左、右焦點,過點作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點,若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.11.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關(guān)12.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測,如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標準,單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.14.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.15.已知雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合,則雙曲線的離心率為_____16.在中,內(nèi)角的對邊分別是,若,,則____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識,某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡知識問卷調(diào)查,每一位學生家長僅有一次參加機會,現(xiàn)對有效問卷進行整理,并隨機抽取出了200份答卷,統(tǒng)計這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表).(1)請利用正態(tài)分布的知識求;(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學生家長制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費:②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:獲贈的隨機話費(單位:元)概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人,請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費?附:①;②若;則,,.18.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的前項和為,證明:.19.(12分)在邊長為的正方形,分別為的中點,分別為的中點,現(xiàn)沿折疊,使三點重合,構(gòu)成一個三棱錐.(1)判別與平面的位置關(guān)系,并給出證明;(2)求多面體的體積.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點.(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.21.(12分)運輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(),運輸?shù)穆烦虨镾(千米).設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達式;(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.22.(10分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當時,證明:對任意恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例,再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例,相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選:A【點睛】本題考查折線圖與柱形圖,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到,由二項式的通項,可得解【詳解】由題意,展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到,所以的展開式中含的項的系數(shù)為.故選:B【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解,考查了學生綜合分析,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由推導出,且,將所求代數(shù)式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當且僅當時,等號成立.,由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,當時,取得最小值.故選:A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算,涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應用,考查計算能力,屬于中等題.4、D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點,這樣根據(jù)幾何關(guān)系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點,設幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時,一般可以用補形法,因正方體,長方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.5、A【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,即可得出.【詳解】設與的等比中項是.
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,.
∴與的等比中項
故選A.【點睛】本題考查了等比中項的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由拋物線的焦點得雙曲線的焦點,求出,由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準線方程為,拋物線的準線過雙曲線的左焦點,.拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時,可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.7、B【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應用,體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).8、C【解析】
因為,,所以根據(jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因為存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正數(shù)的取值范圍為,故選C.9、C【解析】
求得拋物線的焦點坐標,可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.10、C【解析】
如圖所示:切點為,連接,作軸于,計算,,,,根據(jù)勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示:切點為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.11、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】分析:設,則,把用表示,然后令,由導數(shù)求得的最小值.詳解:設,則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當時,,當時,,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點睛:本題易錯選B,利用導數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時學生可能不會將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點睛:頻率分布直方圖的縱坐標為,因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤.14、【解析】
根據(jù)切線的斜率為,利用導數(shù)列方程,由此求得切點的坐標,進而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合,可得一條漸近線的斜率為1,即,即可求出雙曲線的離心率.【詳解】解:雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合,一條漸近線的斜率為1,即,,,故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查學生的計算能力,確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由,根據(jù)正弦定理“邊化角”,可得,根據(jù)余弦定理,結(jié)合已知聯(lián)立方程組,即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理:可得根據(jù)余弦定理:由已知可得:故可聯(lián)立方程:解得:.由故答案為:.【點睛】本題主要考查了求三角形的一個內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】
(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.(2)設某家長參加活動可獲贈話費為元,利用題設條件求出其分布列,再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數(shù)額.【詳解】(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得又,,所以;(2)根據(jù)題意,某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10,20,30,40元,且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為,得10元的情況為低于平均值,概率,得20元的情況有兩種,得分低于平均值,一次性獲20元話費;得分不低于平均值,2次均獲贈10元話費,概率,得30元的情況為:得分不低于平均值,一次獲贈10元話費,另一次獲贈20元話費,其概率為,得40元的其情況得分不低于平均值,兩次機會均獲20元話費,概率為.所以變量的分布列為:某家長獲贈話費的期望為.所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.【點睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望,注意與正態(tài)分布有關(guān)的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對稱性來進行,本題屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)令,,利用可求得數(shù)列的通項公式,由此可得出數(shù)列的通項公式;(2)求得,利用裂項相消法求得,進而可得出結(jié)論.【詳解】(1)令,,當時,;當時,,則,故;(2),.【點睛】本題考查利用求通項,同時也考查了裂項相消法求和,考查計算能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)平行,證明見解析;(2).【解析】
(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應是的一條中位線,利用線面平行的判定定理即可求證;(2)利用條件及線面垂直的判定定理可知,,則平面,在利用錐體的體積公式即可.【詳解】(1)證明:因翻折后、、重合,∴應是的一條中位線,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理及錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,易得,進而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點,中點,連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點為坐標原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系,進而求出平面的法向量,及平面的法向量為,由,可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:如圖1,取的中點,連接.,,,,且,四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,平面.(2)如圖2,取中點,中點,連接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,兩兩垂直.以點為坐標原點,向量
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