北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考題猜想 專題06 銳角三角函數(shù)（考題猜想易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

專題06銳角三角函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）銳角三角函數(shù)的定義特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）1．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，則AC長(zhǎng)是（）A． B． C． D．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），tan∠ABO＝，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．6 B．6 C．12 D．84．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或5．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中∠ABC的正弦值是．二．特殊角的三角函數(shù)值（共1小題）6．△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．有一個(gè)角是60°的三角形三．解直角三角形（共9小題）7．將一副三角板如圖擺放在一起，組成四邊形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，連接BD，則tan∠CBD的值等于（）A． B． C． D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2．則sin∠ACD的值為（）A． B． C． D．10．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sinB＝，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．11．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝．12．我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為45°，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D為直線AB上的一點(diǎn)，若AD＝2，則tan∠BDC的值為．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，則AC＝．15．如圖，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著C→A→B的方向以3cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△CPQ的面積為S（cm2）．（1）求sinB；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．四．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）16．如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm17．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．18．學(xué)科綜合我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實(shí)驗(yàn)為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)細(xì)管MN可以看見水底的物塊C，但不在細(xì)管MN所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點(diǎn)A，C，B在同一直線上，測(cè)得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數(shù)．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）19．如圖1，圖2分別是網(wǎng)上某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長(zhǎng)BC、拉桿AB的長(zhǎng)度都相等，即DE＝BC＝AB，點(diǎn)B、F在線段AC上，點(diǎn)C在DE上，支桿DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：（1）求滑竿DE的長(zhǎng)度；（2）求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離（結(jié)果精確到0.1）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414．20．如圖①是某市地鐵站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過(guò)智能閘機(jī)時(shí)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)自動(dòng)收回到機(jī)箱內(nèi)，行人即可通行．圖②是一個(gè)智能通道閘機(jī)的截面圖，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，點(diǎn)A、D在同一水平線上，且A、D之間的距離是10cm．（1）試求閘機(jī)通道的寬度（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，一個(gè)智能閘機(jī)通道平均每分鐘檢票通過(guò)的人數(shù)是一個(gè)人工檢票口通過(guò)的人數(shù)的2倍．若有240人的團(tuán)隊(duì)通過(guò)同一個(gè)人工檢票口比通過(guò)同一個(gè)智能閘機(jī)檢票口多用4分鐘，求一個(gè)人工檢票口和一個(gè)智能閘機(jī)通道平均每分鐘檢票各通過(guò)多少人？五．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（共1小題）21．如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共7小題）22．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）23．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）24．圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請(qǐng)問(wèn)小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無(wú)法被識(shí)別，社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）25．如圖，某校無(wú)人機(jī)興趣小組為測(cè)量教學(xué)樓的高度，在操場(chǎng)上展開活動(dòng)．此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30m的D處，操控者從A處觀測(cè)無(wú)人機(jī)D的仰角為30°，無(wú)人機(jī)D測(cè)得教學(xué)樓BC頂端點(diǎn)C處的俯角為37°，又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量測(cè)得操控者A和教學(xué)樓BC之間的距離AB為60m，點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時(shí)無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求教學(xué)樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．26．《海島算經(jīng)》是中國(guó)古代測(cè)量術(shù)的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測(cè)量向間接測(cè)量的橋梁．直至近代，重差測(cè)量法仍有借鑒意義．如圖2，為測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標(biāo)桿BC和DE，兩桿間距BD相距6米，D、B、H三點(diǎn)共線．從點(diǎn)B處退行到點(diǎn)F，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、C、F三點(diǎn)共線，且仰角為45°；從點(diǎn)D處退行到點(diǎn)G，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、E、G三點(diǎn)共線，且仰角為30°．（點(diǎn)F、G都在直線HB上）（1）求FG的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）山峰高度AH的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）27．如圖，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，坡長(zhǎng)AB為39米，在小山的坡底A處測(cè)得該塔的塔頂C的仰角為45°，在坡頂B處測(cè)得該塔的塔頂C的仰角為74°．（1）求坡頂B到地面AH的距離BH的長(zhǎng)；（2）求古塔CD的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）28．某市在地鐵施工期間，相關(guān)部門在施工路段設(shè)立了矩形安全警示牌ABCD（如圖所示），小東同學(xué)在距離安全警示牌8米（EF的長(zhǎng)）遠(yuǎn)的建筑物上的窗口P處，測(cè)得安全警示牌頂端A點(diǎn)和底端B點(diǎn)的俯角分別是30°和45°，求安全警示牌寬AB的值．（結(jié)果保留根號(hào)）七．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共2小題）29．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）30．為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為B點(diǎn)和C點(diǎn)，行進(jìn)路線為A→B→C→A．B點(diǎn)在A點(diǎn)的南偏東25°方向3km處，C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東80°方向，行進(jìn)路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°．（1）求行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)；（2）求檢查點(diǎn)B和C之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．

專題06銳角三角函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）銳角三角函數(shù)的定義特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題一．銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）1．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，C為OB邊上的格點(diǎn)，連接AC，根據(jù)勾股定理，AO＝＝2，AC＝＝，OC＝＝，所以，AO2＝AC2+OC2＝20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB＝＝＝．故選：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，則AC長(zhǎng)是（）A． B． C． D．2【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，AB＝2，∴BC＝AB×sinA＝2×＝，由勾股定理得：AC＝＝．故選：A．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），tan∠ABO＝，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．6 B．6 C．12 D．8【答案】D【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴AO＝3，∵tan∠ABO＝，∴＝，∴＝，∴BO＝，∵△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝2，∵菱形的四條邊相等，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為2×4＝8．故選：D．4．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解答】解：當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)AB為斜邊，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．∴cosA＝＝＝；②當(dāng)AC為斜邊，∠B＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴cosA＝＝；綜上所述，cosA的值等于或．故選：C．5．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中∠ABC的正弦值是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝．故答案為：．二．特殊角的三角函數(shù)值（共1小題）6．△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．有一個(gè)角是60°的三角形【答案】D【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，∴tanB﹣＝0或2sinA﹣＝0，即tanB＝或sinA＝．∴∠B＝60°或∠A＝60°．∴△ABC有一個(gè)角是60°．故選：D．三．解直角三角形（共9小題）7．將一副三角板如圖擺放在一起，組成四邊形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，連接BD，則tan∠CBD的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖所示，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°∴設(shè)DE＝CE＝1，則CD＝在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD＝，則AC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝故選：D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，故A、B不符合題意；在Rt△BAC中，sinC＝，故C符合題意；∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAD，在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，∴cosC＝cos∠BAD＝，故D不符合題意；故選：C．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2．則sin∠ACD的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝＝3，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝．故選：C．10．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sinB＝，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．【答案】D【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在△ABD中，AB＝4，sinB＝，∴AD＝ABsinB＝4×＝3，∴△ABC的面積＝BC?AD＝×5×3＝，故選：D．11．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝3+3或3﹣3．【答案】3+3或3﹣3．【解答】解：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；綜上，BC的長(zhǎng)為3+3或3﹣3．12．我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為45°，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝．【答案】．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵，∴設(shè)BC＝2a，AC＝3a，∵∠A，∠B互為半余角，∴∠A+∠B＝45°，∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°，在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a?＝2a，CD＝BCcos45°＝2a?＝2a，∵AC＝3a，∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，故答案為：．13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D為直線AB上的一點(diǎn)，若AD＝2，則tan∠BDC的值為或．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠B＝60°，∴BE＝BC＝2，CE＝2，①如圖1，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，∵AD＝2，BE＝2，AB＝8，∴DE＝AB﹣BE﹣AD＝4，∴在Rt△DCE中，tan∠BDC＝＝＝；②如圖2，點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，DE＝AE+AD＝AB﹣BE+AD＝8﹣2+2＝8，在Rt△DCE中，tan∠BDC＝＝＝．綜上所述：tan∠BDC的值為或．故答案為：或．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，則AC＝4．【答案】4．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝AB?sin45°＝4×＝2，在Rt△ADC中，∠ACB＝30°，∴AC＝2AD＝4，故答案為：4．15．如圖，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著C→A→B的方向以3cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△CPQ的面積為S（cm2）．（1）求sinB；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【答案】（1）；（2）S＝．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∵AB＝AC＝3cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2cm，在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm，∴AD＝＝＝，∴sinB＝＝；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC，垂足為E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sinB＝sinC＝，分兩種情況：當(dāng)0＜t≤1時(shí)，由題意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQsinC＝3t?＝t，∴S＝CP?QE＝?（4﹣2t）?t＝2t﹣t2＝﹣t2+2t，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，由題意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝6﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQsinB＝（6﹣3t）?＝2﹣t，∴S＝CP?QE＝?（4﹣2t）?（2﹣t）＝t2﹣4t+4，∴S＝．四．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）16．如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故選：B．17．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．【答案】78m．【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高約為78m．18．學(xué)科綜合我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實(shí)驗(yàn)為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)細(xì)管MN可以看見水底的物塊C，但不在細(xì)管MN所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點(diǎn)A，C，B在同一直線上，測(cè)得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數(shù)．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，由題意得：四邊形DGBF是矩形，∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，∴∠BDG＝53°，∴∠PDH＝∠BDG＝53°，∴入射角α的度數(shù)為53°；（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），在Rt△CDG中，DG＝12cm，∴DC＝＝＝15（cm），∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，由（1）得：∠PDH＝53°，∴sin∠PDH＝sinα≈，∴折射率n＝＝＝，∴光線從空氣射入水中的折射率n約為．19．如圖1，圖2分別是網(wǎng)上某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長(zhǎng)BC、拉桿AB的長(zhǎng)度都相等，即DE＝BC＝AB，點(diǎn)B、F在線段AC上，點(diǎn)C在DE上，支桿DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：（1）求滑竿DE的長(zhǎng)度；（2）求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離（結(jié)果精確到0.1）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，在Rt△DFG中，∠CDF＝37°．DF＝40cm，∴FG＝DF?sin37°≈40×＝24（cm），DG＝DF?cos37°≈40×＝32（cm），在Rt△CFG中，∠DCF＝45°，∴CG＝＝24（cm），∴DC＝CG+DG＝24+32＝56（cm），∵CE：CD＝1：4，∴CE＝CD＝14（cm），∴DE＝CE+CD＝70（cm），∴滑竿DE的長(zhǎng)度約為70cm；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵DE＝BC＝AB＝70cm，∴AC＝AB+BC＝140（cm），在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝AC?sin45°＝140×＝70≈99.0（cm），∴拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離約為99.0cm．20．如圖①是某市地鐵站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過(guò)智能閘機(jī)時(shí)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)自動(dòng)收回到機(jī)箱內(nèi)，行人即可通行．圖②是一個(gè)智能通道閘機(jī)的截面圖，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，點(diǎn)A、D在同一水平線上，且A、D之間的距離是10cm．（1）試求閘機(jī)通道的寬度（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，一個(gè)智能閘機(jī)通道平均每分鐘檢票通過(guò)的人數(shù)是一個(gè)人工檢票口通過(guò)的人數(shù)的2倍．若有240人的團(tuán)隊(duì)通過(guò)同一個(gè)人工檢票口比通過(guò)同一個(gè)智能閘機(jī)檢票口多用4分鐘，求一個(gè)人工檢票口和一個(gè)智能閘機(jī)通道平均每分鐘檢票各通過(guò)多少人？【答案】（1）閘機(jī)通道的寬度是66.4cm；（2）一個(gè)人工檢票口每分鐘檢票通過(guò)30人，一個(gè)智能閘機(jī)檢票口每分鐘通過(guò)60人．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥EF于點(diǎn)N，如圖：在Rt△AMB中，AB＝60cm，∠ABM＝28°，∴sin28°＝，∴AM＝AB×sin28°＝0.47×60＝28.2（cm），同理DN＝28.2cm，∴閘機(jī)通道的寬度BE＝AM+AD+DN＝28.2×2+10＝66.4（cm）；答：閘機(jī)通道的寬度是66.4cm；（2）解：設(shè)一個(gè)人工檢票口每分鐘檢票通過(guò)的人數(shù)為x人，則一個(gè)智能閘機(jī)檢票口每分鐘通過(guò)的人數(shù)為2x人，由題意得：﹣＝4，解得：x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝30是原方程的解，∴2x＝2×30＝60（人），答：一個(gè)人工檢票口每分鐘檢票通過(guò)30人，一個(gè)智能閘機(jī)檢票口每分鐘通過(guò)60人．五．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（共1小題）21．如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．【答案】B【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AF于點(diǎn)C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共7小題）22．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為37m．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）【答案】37m【解答】解：由題意得：AB⊥BC，CD＝70m，設(shè)BD＝xm，則BC＝CD+BD＝（x+70）m，在Rt△ABD中，∠ADB＝58°，∴AB＝BD?tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠ACB＝22°，∴AB＝BC?tan22°≈0.4（x+70）m，∴1.6x＝0.4（x+70），解得：x＝，∴AB＝1.6x≈37（m），故答案為：37m．23．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【答案】建筑物的高度AB約為31.9米．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設(shè)BF＝y(tǒng)米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y(tǒng)（米），∴AE＝DF＝y(tǒng)米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，經(jīng)檢驗(yàn)：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB約為31.9米．24．圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(diǎn)C處，請(qǐng)問(wèn)小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無(wú)法被識(shí)別，社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）小杜最少需要下蹲12.9厘米才能被識(shí)別；（2）踮起腳尖小若能被識(shí)別．【解答】解：（1）過(guò)C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)E，D，交水平線于點(diǎn)F，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF?tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF（ASA），∴EF＝DF＝35.1cm，∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被識(shí)別；（2）如圖2，過(guò)B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP?tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP（ASA），∴PN＝MP＝54.0cm，∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），∴小若踮起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3＝123（cm），∴小若頭頂超出點(diǎn)N的高度為：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，∴踮起腳尖小若能被識(shí)別．25．如圖，某校無(wú)人機(jī)興趣小組為測(cè)量教學(xué)樓的高度，在操場(chǎng)上展開活動(dòng)．此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30m的D處，操控者從A處觀測(cè)無(wú)人機(jī)D的仰角為30°，無(wú)人機(jī)D測(cè)得教學(xué)樓BC頂端點(diǎn)C處的俯角為37°，又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量測(cè)得操控者A和教學(xué)樓BC之間的距離AB為60m，點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時(shí)無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求教學(xué)樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【答案】（1）此時(shí)無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度為（60﹣30）m；（2）教學(xué)樓BC的高度約為24m．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，∴AE＝DE＝30（m），∵AB＝60m，∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，∴此時(shí)無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度為（60﹣30）m；（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，垂足為F，由題意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，∴∠DCF＝∠CDG＝37°，在Rt△DCF中，DF＝CF?tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m），∴BC＝EF＝24m，∴教學(xué)樓BC的高度約為24m．26．《海島算經(jīng)》是中國(guó)古代測(cè)量術(shù)的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測(cè)量向間接測(cè)量的橋梁．直至近代，重差測(cè)量法仍有借鑒意義．如圖2，為測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標(biāo)桿BC和DE，兩桿間距BD相距6米，D、B、H三點(diǎn)共線．從點(diǎn)B處退行到點(diǎn)F，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、C、F三點(diǎn)共線，且仰角為45°；從點(diǎn)D處退行到點(diǎn)G，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、E、G三點(diǎn)共線，且仰角為30°．（點(diǎn)F、G都在直線HB上）（1）求FG的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）山峰高度AH的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【答案】（1）FG的長(zhǎng)為（4+2）米；（2）山峰高度AH的長(zhǎng)約為10.2米．【解答】解：（1）由題意得：CB⊥FH，ED⊥HG，在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2，∴BF＝＝2（米），在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2，∴DG＝＝＝2（米），∵BD＝6米，∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+2﹣2＝（4+2）米，∴FG的長(zhǎng)為（4+2）米；（2）設(shè)AH＝x米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴FH＝＝x（米），∵FG＝（4+2）米，∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米，在Rt△AHG中，∠G＝30°，∴HG＝＝＝AH，∴x+4+2＝x，解得：x＝5+3≈10.2，∴AH＝10.2米，∴山峰高度AH的長(zhǎng)約為10.2米．27．如圖，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，坡長(zhǎng)AB為39米，在小山的坡底A處測(cè)得該塔的塔頂C的仰角為45°，在坡頂B處測(cè)得該塔的塔頂C的仰角為74°．（1）求坡頂B到地面AH的距離BH的長(zhǎng)；（2）求古塔CD的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】（1）坡頂B到地面AH的距離BH的長(zhǎng)15米；（2）古塔CD的高度約為29米．【解答】解：（1）由題意得：BH⊥AH，∵斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，∴＝＝，∴設(shè)BH＝5x米，則AH＝12x米，在Rt△ABH中，AB＝＝＝13x（米），∵AB＝39米，∴13x＝39，解得：x＝3，∴BH＝15米．AH＝36米，∴坡頂B到地面AH的距離BH的長(zhǎng)15米；（2）延長(zhǎng)CD交AN于點(diǎn)E，由題意得：BD＝HE，BH＝DE＝15米，設(shè)BD＝HE＝x米，∵AH＝36米，∴AE＝AH+HE＝（36+x）米，在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴CE＝AE?tan45°＝（36+x）米，在Rt△CBD中，∠CBD＝74°，∴CD＝BD?tan74°≈3.49x（米），∵DE+CD＝CE，∴15+3.49x＝36+x，解得：x≈8.4，∴CD＝3.49x≈29（米），∴古塔CD的高度約為29米．