北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 清單04 圖形的相似（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單04圖形的相似（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】比例線段1．線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗桑?．成比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．比例的基本性質(zhì)：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．【清單02】黃金分割比1.黃金分割的定義：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.注意：≈0.618AB(叫做黃金分割值)【清單03】平行線分線段成比例類型1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.幾何語言：圖一拓展：.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；.經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線平分第三邊；圖二3）經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)并平行于底邊的直線必過另一腰中點(diǎn)并等于兩底和的一半。圖三類型2平行線分線段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.圖四圖五（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)線段成比例【清單04】相似三角形的相關(guān)概念在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.【清單05】相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).注意：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等；【清單06】相似多邊形相似多邊形的概念：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比．【清單07】相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

注意：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

【清單08】相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.注意：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.性質(zhì)3：相似三角形周長的比等于相似比如圖一：∽，則由比例性質(zhì)可得：圖一性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，∽，則分別作出與的高和，則圖二注意：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.【清單09】射影定理射影定理：如圖，Rt△ABC，∠C＝90o，CD⊥AB則，1．CD2＝AD·BD2．BC2＝BD·ABAC2＝AD·AB．【清單10】利用相似三角形測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例相等”的原理解決.注意：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法【清單11】位似圖形1.位似圖形的概念如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．2.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；（2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.注意：（1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.3.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).注意：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.【考點(diǎn)題型一】比例性質(zhì)【典例1】已知a3=b5，則A．?25 B．25 C．?【變式1-1】a?ba+b=13，則A．12 B．2 C．3 【變式1-2】已知xy=23，則【變式1-3】如果x:y=5:2，那么x+2yx?y的值為【考點(diǎn)題型二】比例線段和黃金分割比【典例2】下列四組線段中，是成比例線段的是（

）A．5?cm，15?cm，2?cm，6?cm B．4?cm，C．1?cm，2?cm，3?cm，4?cm D．3?cm，【變式2-1】如果一個(gè)矩形ABCD(AB<BC)中，ABBC=5?12≈0.618那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感．在黃金矩形ABCD中，AB=10，E?F【變式2-2】已知線段a=4厘米，c=9厘米，那么線段a和c的比例中項(xiàng)是厘米．【變式2-3】大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)(AP>PB)，已知AB=2，則AP=．（答案保留根號(hào)）【考點(diǎn)題型三】平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用【典例3】如圖，AD∥BE∥CF，若AB=3，BC=4，

A．3 B．4 C．134 D．【變式3-1】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC上的點(diǎn)，DE∥BC且EF∥AB，AD:DB=2:3，那么BF:FC的值為（

）A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．5:7【變式3-2】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC,EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（

）A．ADBD=AEC．ADAB=BF【變式3-3】如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BD上，連接AF并延長交BC于點(diǎn)E，若BF∶FD=5∶2，BC=9，則BE的長為（）A．3 B．103 C．4 【考點(diǎn)題型四】相似多邊形

【典例4】下列各組圖形中，一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形B．兩個(gè)正方形C．兩個(gè)矩形D．兩個(gè)菱形【變式4-1】下面幾對(duì)圖形中，相似的是（

）A．B．C．D．【變式4-2】如圖，在矩形ABCD中，AB=6,?AD=8，截去矩形ABFE，若剩下的矩形DEFC與矩形ABCD相似，則DE等于（A．2 B．3.5 C．4 D．4.5【變式4-3】如圖，設(shè)小方形的邊長為1，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，且它們的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則它們的相似比是（

）A．5 B．52 C．2 【考點(diǎn)題型五】相似三角形的判定【典例5】下列給出的條件不能得出△ABD∽△ACB的是（

）

A．ADAB=BDC．AB2=AD?AC【變式5-1】如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB【變式5-2】如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（

）A．ABAD=ACAE B．∠B=∠D C．【變式5-3】如圖，在△ABC中，∠A=75°，AB=8，AC=6，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型六】相似三角形的性質(zhì)【典例6】為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A．再在河的這一邊選定點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后再選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC與AE交于點(diǎn)D．此時(shí)，測得BD=80m，DC=40m，EC=36m，則兩岸間的距離ABA．72m B．84m C．88m【變式6-1】如圖，B，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，AC與BD交于點(diǎn)E，EF∥AB∥DC，若A．57 B．2549 C．512【變式6-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE:EB=3:2，S△AEF=8，則S【變式6-3】如圖，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE:S△BDE=1:2【考點(diǎn)題型七】相似三角形的判定和性質(zhì)綜合【典例7】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=14DC，連接EF并延長交BC(1)求證：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的邊長為4，求FG的長．【變式7-1】如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=AB，∠DEC=∠ADB(1)求證：△AED∽(2)若AE=1，EC=3，求AB的長．【變式7-2】如圖，點(diǎn)H是正方形ABCD對(duì)角線DB延長線上一點(diǎn)，∠HCE=90°，CH=CE，射線HE交AB于點(diǎn)G，交CD延長線于點(diǎn)F，連接DE．(1)求證：HE(2)若EC=6，CF=9，求線段BG的長度．【變式7-3】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接BE，AF交于點(diǎn)O，且∠ABE=∠DAF．【模型建立】（1）求證：AF⊥BE；【模型應(yīng)用】（2）若AB=2，AD=3，DF=12BF【模型遷移】（3）如圖2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF【考點(diǎn)題型八】相似三角形的應(yīng)用綜合【典例8】如圖，小亮同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與樹頂B在同一直線上，已知紙板的兩條邊EF=30cm，DE=40cm，延長DF交AB于點(diǎn)C，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=12【變式8-1】如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D處和F處樹立標(biāo)桿CD和EF，標(biāo)桿的高都是20米，D，F(xiàn)兩處相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面內(nèi)．從標(biāo)桿CD后退80米的G處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在一條直線上；從標(biāo)桿EF后退160米的H處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在一條直線上．求山峰的高度AB及它和標(biāo)桿CD的水平距離BD各是多少米？【變式8-2】如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．作矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M，且矩形長HG是寬HE的2(1)求證：AMAD(2)試求矩形EFGH的周長．【變式8-3】【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)：反射光線和入射光線分別位于法線兩例；入射角i等于反射角r．這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，(1)求BC的長；(2)求燈泡到地面的高度AG．【考點(diǎn)題型九】圖形的位似【典例9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A2,0，B4,3，D5,0，△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，則EA．10,7 B．8,7 C．10,7.5 D．8,6【變式9-1】如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA:OA．1 B．3 C．9 D．27【變式9-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A6,?3，B3,9，連接OA、OB、AB，以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為13，把△OAB縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)BA．1,3 B．?1,?3C．1,3或?1,?3 D．2,?1或?2,1【變式9-2】已知：如圖△ABC與△A′B′C關(guān)于點(diǎn)C?1,0位似，且位似比為1:3，設(shè)B的橫坐標(biāo)為a，則

A．3a+3 B．?3a+3 C．?3a+4 D．?4?3a【考點(diǎn)題型十】作圖-位似【典例10】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A2，1，B1，?2，C3(1)畫出△A1B1C1，使△A1B(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)，畫出將△A1B1C1放大為原來的2倍后的【變式10-1】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A3,5，B2,2，(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A1B(2)在網(wǎng)格內(nèi)，畫出以點(diǎn)A為位似中心，把△ABC放大為原來的2倍后的△AB(3)若△AB2C2也是△A【變式10-2】如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,6)，B(6,8)，C(8,2)，請(qǐng)你分別完成下面的作圖．（不要求寫出作法）

(1)以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作出△A1B1C1，使(2)以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A【變式10-3】在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．(1)以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C(2)作出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A

清單04圖形的相似（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】比例線段1．線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗桑?．成比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．比例的基本性質(zhì)：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．【清單02】黃金分割比1.黃金分割的定義：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.注意：≈0.618AB(叫做黃金分割值)【清單03】平行線分線段成比例類型1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.幾何語言：圖一拓展：.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；.經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線平分第三邊；圖二3）經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)并平行于底邊的直線必過另一腰中點(diǎn)并等于兩底和的一半。圖三類型2平行線分線段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.圖四圖五（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)線段成比例【清單04】相似三角形的相關(guān)概念在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.【清單05】相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).注意：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等；【清單06】相似多邊形相似多邊形的概念：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比．【清單07】相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

注意：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

【清單08】相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.注意：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.性質(zhì)3：相似三角形周長的比等于相似比如圖一：∽，則由比例性質(zhì)可得：圖一性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，∽，則分別作出與的高和，則圖二注意：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.【清單09】射影定理射影定理：如圖，Rt△ABC，∠C＝90o，CD⊥AB則，1．CD2＝AD·BD2．BC2＝BD·ABAC2＝AD·AB．【清單10】利用相似三角形測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例相等”的原理解決.注意：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法【清單11】位似圖形1.位似圖形的概念如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．2.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；（2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.注意：（1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.3.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).注意：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.【考點(diǎn)題型一】比例性質(zhì)【典例1】已知a3=b5，則A．?25 B．25 C．?【答案】A【分析】此題考查了比例的性質(zhì)．設(shè)a3=b5=k，且k≠0【詳解】解：設(shè)a3=b則a=3k,b=5k，∴a?bb故選：A【變式1-1】a?ba+b=13，則A．12 B．2 C．3 【答案】B【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，化簡原式即可得出答案，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a?ba+b∴3a?3b=a+b，∴2a=4b，∴ab故選：B．【變式1-2】已知xy=23，則【答案】?【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)得x=2y【詳解】解：∵x∴x=2y∴x?y故答案為：?1【變式1-3】如果x:y=5:2，那么x+2yx?y的值為【答案】3【分析】本題考查了比例的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)，從而完成求解；根據(jù)題意得到y(tǒng)=2【詳解】解：∵x:y=5:2，∴y=2∴x+2y故答案為：3．【考點(diǎn)題型二】比例線段和黃金分割比【典例2】下列四組線段中，是成比例線段的是（

）A．5?cm，15?cm，2?cm，6?cm B．4?cm，C．1?cm，2?cm，3?cm，4?cm D．3?cm，【答案】A【分析】本題考查了比例線段，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵15×2=5×6，∴5?cm，15?cm，2?cmB、∵6×3≠5×4，∴4?cm，6?cm，3?cmC、∵1×4≠2×3，∴1?cm，2?cm，3?cmD、∵5×2≠4×3，∴3?cm，4?cm，2?cm故選：A．【變式2-1】如果一個(gè)矩形ABCD(AB<BC)中，ABBC=5?12≈0.618那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感．在黃金矩形ABCD中，AB=10，E?F【答案】10【分析】本題考查黃金分割定理，矩形的性質(zhì)，由四邊形ABFE為黃金矩形，則ABBC=BFAB=5?1【詳解】解：∵四邊形ABFE為黃金矩形，∴ABBC∴10∴BC=55+5，∴CF=BC?BF=55∵四邊形ABCD和ABFE為矩形，∴AD=BC，AE=BF，∴AD?AE=BC?BF，即DE=CF=10，故答案為：10．【變式2-2】已知線段a=4厘米，c=9厘米，那么線段a和c的比例中項(xiàng)是厘米．【答案】6【分析】本題考查了成比例線段，設(shè)線段a和c的比例中項(xiàng)為b，由題意得出4:b=b:9，計(jì)算即可得解．【詳解】解：設(shè)線段a和c的比例中項(xiàng)為b，∴a:b=b:c，即4:b=b:9，∴b=6（負(fù)值舍去）．故答案為：6．【變式2-3】大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)(AP>PB)，已知AB=2，則AP=．（答案保留根號(hào)）【答案】5?1/【分析】本題考查黃金分割，直接利用黃金分割的定義計(jì)算AP即可．解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BCAC>BC，且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB:AC=AC:BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，黃金分割的比值是5?12【詳解】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP>PB），AB=2，∴APAB∴AP=5∴AP的長度為5?1故答案為：5?1【考點(diǎn)題型三】平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用【典例3】如圖，AD∥BE∥CF，若AB=3，BC=4，

A．3 B．4 C．134 D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式求解即可．【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，∴DEEF∵AB=3，∴DE5∴DE=15故選：D．【變式3-1】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC上的點(diǎn)，DE∥BC且EF∥AB，AD:DB=2:3，那么BF:FC的值為（

）A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．5:7【答案】A【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，由EF∥AB，得BF:FC=AE:EC，由DE∥BC，AE:EC=AD:DB，所以BF:FC=AD:DB=2:3，于是得到問題的答案．【詳解】解:∵EF∥AB，∴BF:FC=AE:EC，∵DE∥BC，∴AE:EC=AD:DB，∴BF:FC=AD:DB=2:3，∴BF:FC的值為2:3，故選：A．【變式3-2】如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC,EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（

）A．ADBD=AEC．ADAB=BF【答案】C【分析】本題考查的是平行線分線段成比例，由DE∥BC，可得ADDB=AEEC，ADAB【詳解】∵DE∥∴ADDB=AE∵EF∥∴AEAC=BF∴ADAB∵ADDB=AE∴ADDB故選：C．【變式3-3】如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BD上，連接AF并延長交BC于點(diǎn)E，若BF∶FD=5∶2，BC=9，則BE的長為（）A．3 B．103 C．4 【答案】D【分析】本題考查了平行線分線段成比例，能夠通過已知條件準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的比例關(guān)系及中點(diǎn)平分邊的特點(diǎn)過點(diǎn)D構(gòu)造與AE平行的輔助線，進(jìn)而構(gòu)成兩組成比例的線段BFFD=BEEH、【詳解】解：過點(diǎn)D作DH∥AE交BC于點(diǎn)H．又∵BF∶FD=5∶2．∴BF設(shè)BE=5x，EH=2x．∵D是AC的中點(diǎn)．∴AD=CD．又∵DH∥AE．∴CH∴CH=EH=2x．∵BC=9．∴BC=BE+EH+CH=9．即5x+2x+2x=9．解得：x=1．∴BE=5x=5．故選：D．【考點(diǎn)題型四】相似多邊形

【典例4】下列各組圖形中，一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形B．兩個(gè)正方形C．兩個(gè)矩形D．兩個(gè)菱形【答案】B【分析】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、任意兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，對(duì)應(yīng)角也不一定相等，故不一定相似，此選項(xiàng)不符合題意；B、任意兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，故此選項(xiàng)符合題意；C、任意兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，此選項(xiàng)不符合題意；D、任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式4-1】下面幾對(duì)圖形中，相似的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題主要考查了相似圖形的判定．如果兩個(gè)圖形形狀相同，但大小不一定相等，那么這兩個(gè)圖形相似，結(jié)合題中選項(xiàng)中所給的兩個(gè)圖形，運(yùn)用上述的定義進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A，B，D三個(gè)選項(xiàng)中的圖形形狀不同，不相似；C選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形形狀相同，相似；故選：C．【變式4-2】如圖，在矩形ABCD中，AB=6,?AD=8，截去矩形ABFE，若剩下的矩形DEFC與矩形ABCD相似，則DE等于（A．2 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，由相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得CDAD【詳解】解：∵矩形DEFC與矩形ABCD相似，∴CDAD又∵AD=BC=8，AB=EF=CD=6，∴68=DE故選D．【變式4-3】如圖，設(shè)小方形的邊長為1，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，且它們的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則它們的相似比是（

）A．5 B．52 C．2 【答案】C【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)．根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，得到它們的相似比是ABEF【詳解】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，AB與EF是對(duì)應(yīng)邊，∵AB=8，EF=4，∴它們的相似比是ABEF故選：C．【考點(diǎn)題型五】相似三角形的判定【典例5】下列給出的條件不能得出△ABD∽△ACB的是（

）

A．ADAB=BDC．AB2=AD?AC【答案】A【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似和兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似成為解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.∠A=∠A，ADAB=BDB.∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得到△ABD∽△ACB，故不符合題意；C.∠A=∠A，AB2=AD?AC即ABD.∠A=∠A，∠ADB=∠ABC，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得到△ABD∽△ACB，故不符合題意；故選A．【變式5-1】如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．APAB=AB【答案】D【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：A、當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)APAB=AC故選：D．【變式5-2】如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（

）A．ABAD=ACAE B．∠B=∠D C．【答案】C【分析】本考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定：（1）如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（2）如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（3）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠BAC=∠DAE，A、由兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合題意；B、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合題意；C、不符合兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，無法判定△ABC∽△ADE，故符合題意；D、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合題意；故選：C．【變式5-3】如圖，在△ABC中，∠A=75°，AB=8，AC=6，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．由∠BDE=∠A=75°，∠B=∠B，根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△DBE∽△ABC，可判斷A不符合題意；由∠CFG=∠A=75°，∠C=∠C，根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△FGC∽△ABC，可判斷B不符合題意；由AHAC=ACAB=34，∠A=∠A，根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明△ACH∽△ABC，可判斷C不符合題意；由△IBJ與△ABC【詳解】解：如圖1，∵∠BDE=∠A=75°，∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，故A不符合題意；如圖2，∵∠CFG=∠A=75°，∠C=∠C，∴△FGC∽△ABC，故B不符合題意；如圖3，∵AB=8，AC=6，AH=4.5，∴AHAC=4.5∴AHAC∵∠A=∠A，∴△ACH∽△ABC，故C不符合題意；如圖4，△IBJ與△ABC的對(duì)應(yīng)邊不成比例，∴△IBJ與△ABC不相似，故D符合題意，故選：D．

【考點(diǎn)題型六】相似三角形的性質(zhì)

【典例6】為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A．再在河的這一邊選定點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后再選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC與AE交于點(diǎn)D．此時(shí)，測得BD=80m，DC=40m，EC=36m，則兩岸間的距離ABA．72m B．84m C．88m【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直定義可得∠B=∠C=90°，然后證明△ADB∽△EDC，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∵∠ADB=∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴ABEC∴AB36∴AB=72m故選：A．【變式6-1】如圖，B，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，AC與BD交于點(diǎn)E，EF∥AB∥DC，若A．57 B．2549 C．512【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由EF∥AB∥DC證明【詳解】解：∵EF∥∴△BEF∽△BDC，∴BEBD∵BF:CF=5:7，∴BEBD∴BEDE∵EF∥∴△ABE∽△CDE，∴S△ABE故選：B．【變式6-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE:EB=3:2，S△AEF=8，則S【答案】2009/【分析】本題主要考查了利用相似比求面積，平行四邊形的性質(zhì)，理解相似比的特征是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：△AFE∽△CFD，根據(jù)相似的性質(zhì)可得：S△AFE:S△CFD=9:25，且S【詳解】解：∵AE:EB=3:2，∴AE:AB=3:5，∵在?ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴AE:CD=3:5，∵AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴AF:CF=AE:CD=3:5，∴S△AFE∵S△AEF∴S△CFD故答案為：2009【變式6-3】如圖，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE:S△BDE=1:2【答案】18【分析】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)．先利用等高的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比求得ADBD=12，則ADAB=13，由【詳解】解：∵S△ADE∴ADBD∴ADAB∵DE∥∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∵S△ADE∴S△ABC故答案為：18．【考點(diǎn)題型七】相似三角形的判定和性質(zhì)綜合

【典例7】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=14DC，連接EF并延長交BC(1)求證：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的邊長為4，求FG的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）由正方形的性質(zhì)可得AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等即可得到結(jié)論；（2）通過證明∠DEF∽△CGF，可得EDCG=DFCF，根據(jù)DF=1【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=DE，∴AEAB∵DF=1∴DF=1∴DFDE∴AEAB=∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF；（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴∠D=∠GCF，∠G=∠DEF，∴∠DEF∽△CGF，∴EDCG又∵DF=1∴AD=AB=DC=BC=4∴DF=1，AE=ED=1∴CF=DC?DF=3，CG=DE×CF∴GF=C【變式7-1】如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=AB，∠DEC=∠ADB(1)求證：△AED∽(2)若AE=1，EC=3，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明相似三角形是關(guān)鍵．（1）由∠DEC=∠ADB可得180°?∠DEC=180°?∠ADB，即∠AED=∠ADC，即可求證；（2）根據(jù)題意求出AC=AE+EC=4，結(jié)合AE:AD=AD:AC即可求解；【詳解】（1）證明：∵∠DEC=∠ADB，∴180°?∠DEC=180°?∠ADB，即：∠AED=∠ADC∵∠EAD=∠DAC∴△AED（2）解：∵AE=1，EC=3，∴AC=AE+EC=4∵△AED∽∴AE:AD=AD:AC∴1:AD=AD:4，解得：AD=2（負(fù)值舍去），∴AB=AD=2【變式7-2】如圖，點(diǎn)H是正方形ABCD對(duì)角線DB延長線上一點(diǎn)，∠HCE=90°，CH=CE，射線HE交AB于點(diǎn)G，交CD延長線于點(diǎn)F，連接DE．(1)求證：HE(2)若EC=6，CF=9，求線段BG的長度．【答案】(1)見解析(2)BG=9?2【分析】（1）先證明△HCB≌△ECDSAS，求得∠HBC=∠EDC=135°，又證明△HEC是等腰直角三角形，求得∠FEC=135°，再證明△ECD∽△FCE，推出CE2（2）過點(diǎn)E作EM⊥CF，設(shè)EM=DM=a．利用（1）的結(jié)論求得CD=4，在Rt△ECM中，利用勾股定理求得a=14?2【詳解】（1）證明：∵正方形ABCD，∴BC=DC，∠BCD=90°，∠CBD=∠BDC=45°，∵∠HCE=90°，∴∠HCB=90°?∠BCE=∠ECD，∵CH=CE，∴△HCB≌△ECDSAS∴∠HBC=∠EDC=180°?45°=135°，∵∠HCE=90°，CH=CE，∴△HEC是等腰直角三角形，∴∠HEC=45°，∴∠FEC=180°?45°=135°，∵∠DCE=∠ECF，∴△ECD∽△FCE，∴CDCE=CE∵△HEC是等腰直角三角形，∴HE=2∴HE（2）解：過點(diǎn)E作EM⊥CF，則∠DEM=∠EDM=180°?∠CDE=45°，∴EM=DM；設(shè)EM=DM=a．∵CE∴62∴CD=4，在Rt△ECM中，CE2解得a=14由勾股定理得：DE=2∵△BCH≌△DCE，∴DE=BH=2∵∠ABD=45°，∴∠GBH=∠EDC=135°，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，即∴△GHB∽△FHD，∴BGBH=DF∴BG=5a【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式7-3】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接BE，AF交于點(diǎn)O，且∠ABE=∠DAF．【模型建立】（1）求證：AF⊥BE；【模型應(yīng)用】（2）若AB=2，AD=3，DF=12BF【模型遷移】（3）如圖2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF【答案】（1）見解析；（2）73；（3）【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出∠AOE=90°，即可得證；（2）延長AF交CD于點(diǎn)G，證明△AFB∽△GFD，得到DGAB=DFBF=12（3）設(shè)正方形的邊長為a，延長AF交CD于點(diǎn)G，證明△AFB∽△GFD，得到DGAB=FGAF=DFBF【詳解】解：（1）∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵∠ABE=∠DAF，∴∠DAF+∠AEB=90°，∴∠AOE=90°，∴AF⊥BE；（2）延長AF交CD于點(diǎn)G，∵矩形ABCD，∴AB∥CD,∠BAD=∠ADG=90°，∴△AFB∽△GFD，∴DGAB∴DG=1∵∠BAD=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAF，∴△ABE∽△DAG，∴ABAD∴AE=2∴DE=AD?AE=3?2（3）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則：AB=AD=a，延長AF交CD于點(diǎn)G，∵正方形ABCD，∴∠BAD=∠ADG=90°,AB∥CD，∴△AFB∽△GFD，∴DGAB∴DG=1∴AG=A∵FG=1∴AF=2∴AFAD【考點(diǎn)題型八】相似三角形的應(yīng)用綜合【典例8】如圖，小亮同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與樹頂B在同一直線上，已知紙板的兩條邊EF=30cm，DE=40cm，延長DF交AB于點(diǎn)C，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=12【答案】10.5【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△DEF∽△DCB，得到EFBC=DE【詳解】解：∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB∴△DEF∽△DCB，∴EFBC在Rt△DEF∵EF=30cm=3∴310∴BC=9m∴AB=AC+BC=1.5+9=10.5m答：樹高AB是10.5m【變式8-1】如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D處和F處樹立標(biāo)桿CD和EF，標(biāo)桿的高都是20米，D，F(xiàn)兩處相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面內(nèi)．從標(biāo)桿CD后退80米的G處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在一條直線上；從標(biāo)桿EF后退160米的H處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在一條直線上．求山峰的高度AB及它和標(biāo)桿CD的水平距離BD各是多少米？【答案】山峰的高度AB為70米，它和標(biāo)桿CD的水平距離BD是200米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，從而可得∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，然后證明A字模型相似△CDG∽△ABG，△EHF∽△AHB，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：由題意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，∵∠CGD=∠AGB，∴△CDG∽△ABG，∴CDAB∴20AB∵∠H=∠H，∴△EHF∽△AHB，∴EFAB∴20AB∴8080+BD解得：BD=200，∴20AB解得：AB=70，∴山峰的高度AB為70米，它和標(biāo)桿CD的水平距離BD是200米．【變式8-2】如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．作矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M，且矩形長HG是寬HE的2(1)求證：AMAD(2)試求矩形EFGH的周長．【答案】(1)見解析；(2)矩形EFGH的周長為72cm【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）由矩形的性質(zhì)得HG∥EF，則可判斷（2）設(shè)HE=x，HG=2x，由（1）的結(jié)論得到30?x30=2x40，然后根據(jù)比例性質(zhì)可計(jì)算出【詳解】（1）證明：∵四邊形HEFG為矩形，∴HG∥而AD⊥BC，∴AM⊥BC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD（2）解：設(shè)HE=x，HG=2x，則30?x30=2x∴這個(gè)矩形EFGH的周長=2x+4x=6x=72cm【變式8-3】【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)：反射光線和入射光線分別位于法線兩例；入射角i等于反射角r．這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，(1)求BC的長；(2)求燈泡到地面的高度AG．【答案】(1)3(2)1.2m【分析】（1）先證明△BFC∽BED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出BCBD（2）先證明△BGA∽△BFC，再利用相似三角形的性質(zhì)得出AGAB【詳解】（1）解：（1）由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽∴BCBD∴BCBC+4解得：BC=3，答：BC的長為3m（2）解：∵AC=5.4m∴AB=5.4?3=2.4(m∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽∴AGAB∴AG2.4解得：AG=1.2m答：燈泡到地面的高度AG為1.2m【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型九】圖形的位似【典例9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A2,0，B4,3，D5,0，△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，則EA．10,7 B．8,7 C．10,7.5 D．8,6【答案】C【分析】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k．利用關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過點(diǎn)A與點(diǎn)D的坐標(biāo)得到位似比，然后根據(jù)位似比得到E點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，而A(2,0)，D(5,0)，∴△ABC與△DEF的位似比為25∵B(4,3)，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)是為(4