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河北省豐潤(rùn)車軸山中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.2.若為純虛數(shù),則z=()A. B.6i C. D.203.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.4.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.5.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.7.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.8.點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn),線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若,則的最小值為()A. B. C. D.9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.10 B.9 C.8 D.710.甲、乙、丙、丁四人通過(guò)抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說(shuō):“我沒(méi)抓到.”乙說(shuō):“丙抓到了.”丙說(shuō):“丁抓到了”丁說(shuō):“我沒(méi)抓到."已知他們四人中只有一人說(shuō)了真話,根據(jù)他們的說(shuō)法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.一個(gè)四面體所有棱長(zhǎng)都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上,則球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_______________,漸近線方程是_______________.14.已知函數(shù),在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),則使得≥0的概率為.15.已知雙曲線()的左右焦點(diǎn)分別為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.16.在四棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為矩形,,.若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上,則球的表面積為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:.18.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)對(duì)及,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx.(1)討論函數(shù)f(x)在[?π,π]上的單調(diào)性;(2)證明:函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).20.(12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BD⊥DC,△PCD為正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E為PC的中點(diǎn).(1)證明:AP∥平面EBD;(2)證明:BE⊥PC.21.(12分)已知函數(shù)(1)若,試討論的單調(diào)性;(2)若,實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根,求證:.22.(10分)2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng),治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)和銷量(萬(wàn)盒)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)2361013151821銷量(萬(wàn)盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時(shí),可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè),當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后,才能進(jìn)行第二次檢測(cè).第一次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
可解出集合,然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算,涉及一元二次不等式的求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念,可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù),∴且得,此時(shí)故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.4、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.5、A【解析】試題分析:由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.6、D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、C【解析】
根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)如圖,過(guò)A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過(guò)M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見(jiàn)于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.8、D【解析】
由題意得,再利用基本不等式即可求解.【詳解】將平方得,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),,的最小值為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.9、B【解析】
根據(jù)題意,解得,,得到答案.【詳解】,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、A【解析】
可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜](méi)有抓到就是真的,與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是假的,那么丁:我沒(méi)有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.12、A【解析】
將正四面體補(bǔ)成正方體,通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長(zhǎng)都是4,∴正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問(wèn)題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線,從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求解,,即可得到所求的結(jié)果.【詳解】由雙曲線,可得,,則,所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,漸近線方程為:.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于容易題.14、【解析】試題分析:可以得出,所以在區(qū)間上使的范圍為,所以使得≥0的概率為考點(diǎn):本小題主要考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的概率計(jì)算.點(diǎn)評(píng):幾何概型適用于解決一切均勻分布的問(wèn)題,包括“長(zhǎng)度”、“角度”、“面積”、“體積”等,但要注意求概率時(shí)做比的上下“測(cè)度”要一致.15、【解析】
法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【詳解】法一:,,,,,,設(shè),則,令,所以時(shí),,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問(wèn)題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),屬于中檔題.16、【解析】
做中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,由已知條件可求出,運(yùn)用余弦定理可求,從而在平面中建立坐標(biāo)系,則以及的外接圓圓心為和長(zhǎng)方形的外接圓圓心為在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求,通過(guò)球心滿足,即可求出的坐標(biāo),從而可求球的半徑,進(jìn)而能求出球的表面積.【詳解】解:如圖做中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,由題意知,則設(shè)的外接圓圓心為,則在直線上且設(shè)長(zhǎng)方形的外接圓圓心為,則在上且.設(shè)外接球的球心為在中,由余弦定理可知,.在平面中,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸,以過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線為軸,如圖建立坐標(biāo)系,由題意知,在平面中且設(shè),則,因?yàn)?,所以解?則所以球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球的問(wèn)題,考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有:一是通過(guò)將幾何體補(bǔ)充到長(zhǎng)方體中,將幾何體的外接球等同于長(zhǎng)方體的外接球,求出體對(duì)角線即為直徑,但這種方法適用性較差;二是通過(guò)球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直,設(shè)半徑列方程求解;三是通過(guò)空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點(diǎn)的情況,即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點(diǎn)定義可知,,代入不等式化簡(jiǎn)變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn),,所以有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè),所以.①當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.②當(dāng)時(shí),令得,0減極小值增所以,即.又因?yàn)椋?,所以在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn),符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題意知,,所以,.要證明,只需證明,只需證明.因?yàn)?,,所?設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).因?yàn)?,不妨設(shè),設(shè),,則,當(dāng)時(shí),,,所以,所以在上是增函數(shù),所以,所以,即.因?yàn)椋?,所?因?yàn)椋?,且在上是減函數(shù),所以,即,所以原命題成立,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,極值點(diǎn)偏移證明不等式成立的應(yīng)用,是高考的??键c(diǎn)和熱點(diǎn),屬于難題.18、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
詳解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),由,解得.所以不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)椋?由題意知對(duì),,即,因?yàn)?,所以,解?【點(diǎn)睛】⑴絕對(duì)值不等式解法的基本思路是:去掉絕對(duì)值號(hào),把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解,轉(zhuǎn)化的方法一般有:①絕對(duì)值定義法;②平方法;③零點(diǎn)區(qū)域法.⑵不等式的恒成立可用分離變量法.若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值,進(jìn)而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也是求最值.一般有:①為參數(shù))恒成立②為參數(shù))恒成立.19、見(jiàn)解析【解析】
(1)f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[?π,π]得x=1或或.當(dāng)x變化時(shí),f(x)和f(x)的變化情況如下表:x1f(x)?1+1?1+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間,上單調(diào)遞減,在區(qū)間,上單調(diào)遞增.(2)由(1)得極大值為f(1)=?4;極小值為f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(?π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一個(gè)零點(diǎn).顯然x∈(π,2π)時(shí),?4xsinx>1,x2?4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)時(shí),f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn).因?yàn)閒(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),從而x<?π時(shí),f(x)>1,即f(x)在(?∞,?π)上也沒(méi)有零點(diǎn).故f(x)僅在,上各有一個(gè)零點(diǎn),即f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).20、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE,利用三角形中位線可得AP∥OE,從而可證AP∥平面EBD;(2)先證明BD⊥平面PCD,再證明PC⊥平面BDE,從而可證BE⊥PC.【詳解】證明:(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形∴O為AC中點(diǎn),又E為PC中點(diǎn),故AP∥OE,又AP平面EBD,OE平面EBD所以AP∥平面EBD
;(2)∵△PCD為正三角形,E為PC中點(diǎn)所以PC⊥DE因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,又BD平面ABCD,BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD,故PC⊥BD又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE故PC⊥平面BD
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