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文檔簡介

2019-2020學(xué)年通用版數(shù)學(xué)小升初總復(fù)習(xí)專題匯編講練

專題20立體幾何的體積和容積(二)

圓錐的體積卜一一體積公式:底面積X高23

組合圖形的體積圓柱與圓錐的組合

?立體圖形的容積

(一)長方體

1、特征

六個面都是長方形(有時有兩個相對的面是正方形)。

相對的面面積相等,12條棱相對的4條棱長度相等。

有8個頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

兩個面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點叫做頂點。

把長方體放在桌面上,最多只能看到三個面。

長方體或者正方體6個面的總面積,叫做它的表面積。

2、計算公式:s=2(ab+ah+bh)V=shV=abh

(二)正方體

1、特征

六個面都是正方形

六個面的面積相等

12條棱,棱長都相等

有8個頂點

正方體可以看作特殊的長方體

2、計算公式:S表=6a?v=a3

(三)圓柱

1、圓柱的認(rèn)識

圓柱的上下兩個面叫做底面。

圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

進(jìn)一法:實際中,使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些,因此,要保留數(shù)的時候,省略的位上

的是4或者比4小,都要向前一位進(jìn)lo這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。

2、計算公式:s側(cè)二chs表=s側(cè)+s底X2v=sh/3

(四)圓錐

1、圓錐的認(rèn)識

圓錐的底面是個圓,圓錐的側(cè)面是個曲面。

從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

測量圓錐的高:先把圓錐的底面放平,用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面,豎直地量出平

板和底面之間的距離。

把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。

2、計算公式:v=sh/3

(五)球

1、認(rèn)識

球的表面是一個曲面,這個曲面叫做球面。

球和圓類似,也有一個球心,用0表示。

從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑,用r表示,每條半徑都相等。

通過球心并且兩端都在球面上的線段,叫做球的直徑,用d表示,每條直徑都相等,直徑的長度

等于半徑的2倍,即d=2r。

2、計算公式:d=2r

四、周長和面積

1、平面圖形一周的長度叫做周長。

2、平面圖形或物體表面的大小叫做面積。

3、常見圖形的周長和面積計算公式

一.圓錐的體積

?一.一?

堂1習(xí)精講精練

【例1】(2019?廣東)從正方體里削出一個最大的圓錐,圓錐的體積是工,正方體的體積是(立加.

2

A.12B.8C.6D.4

【解答】解:設(shè)正方體的棱長是"機(jī),則圓錐的底面直徑和高都是,

則正方體的體積是:axaxa=a3(cm3)

圓的體積是+=加)

圓錐的體積是正方體的土

12

正方體的體積是]+忘=6(加3)

答:正方體的體積是6c1.

故選:C.

【變式(2019春?方城縣期中)把一個底面直徑6。機(jī)、高9刖的圓錐形木塊,沿底面直徑切成相同的

兩塊后,表面積比原來增加了()平方厘米.

A.18B.27C.54

【解答】解:6x9+2x2

=27x2

=54(平方厘米)

答:表面積比原來增加了54平方厘米.

故選:C.

【變式1-2](2019春?交城縣期中)用一個高是36。"的圓錐形容器盛滿油,倒入和它等底等高的圓柱形

容器中,油面的高度是12cm.

36x-=12

【解答】解:3(厘米)

答:油面的高度是12厘米.

故答案為:12.

【變式1-3](2019?衡陽模擬)繞一個直角三角形(如圖)的短直角邊旋轉(zhuǎn)一周,得到一個立體圖形.(單

位:厘米)

(1)這個立體圖形是什么?

(2)這個立體圖形的體積是多少?

5\

4

【解答】解:以直角三角形短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑是5厘米,高是4厘米的圓錐.所以

這個立體圖形是圓錐.

1,

-X3.14X52X4

(2)3

=-x3.14x25x4

3

314

3(立方厘米),

314

答:這個立體圖形的體積是亍立方厘米.

【變式1-4](2019?安順)一個圓錐形的沙石堆,底面積是188.4平方米,高15米.如果用這堆沙石鋪路,

公路寬10米.沙石厚2分米,能鋪多少米長?

【解答】解:2分米=。?2米

1x188.4x154-(10x0.2)

=942+2

=471(米)

答:能鋪471米長.

二.組合圖形的體積

芽?習(xí)精講精練

【例2】(2019?益陽模擬)一個物體是由圓柱和圓錐黏合而成的(如圖),如果把圓柱和圓錐重新分開,表

面積就增加了50.24CM?,原來這個物體的體積是()

226.08cm3C.301.44CMD.401.92CM

【解答】解:50.24+2=25.12(平方厘米)

25.12x6+1x25.12x(12-6)

=150.72+-x25.12x6

3

=150.72+50.24

=200.96(立方厘米)

答:原來這個物體的體積是200.96立方厘米.

故選:A.

【變式2-1】用兩根完全相同的圓柱形木料分別制作成右圖中的兩個模型(圖中涂色部分),甲與乙的體積

相比()

A.甲大B.乙大C.相等

【解答】解:底面積相同時,兩個高為5°的圓錐的體積之和,等于一個高為“的圓錐的體積;已知原來兩

個圓柱的體積相等,而空白處的圖形的體積也相等,所以涂色部分的體積也相等,

故選:。.

【變式2-2](2014春?瀘西縣校級期末)如圖是一個直角梯形,如果以至邊為軸旋轉(zhuǎn)一周,會得到一個

立體圖形.這個立體圖形是由圓柱和組成(填圖形名稱).它的底面積是平方厘米,體

【解答】解:這個立體圖形由1個圓柱和1個圓錐組成,

其底面積為:3.14x22=12.56(平方厘米);

3.14X22X2+-X3.14X22X(5-2)

其體積為:3,

=12.56x2+12.56,

=25.12+12.56,

=37.68(立方厘米);

答:這個立體圖形的底面積是12.56平方厘米,體積是37.68立方厘米.

故答案為:圓柱、圓錐、12.56、37.68.

【變式2-3](2016春?平陽縣校級期中)一個糧囤,上面是圓錐,下面是圓柱形(如圖).如果每立方米

的糧食重600千克,這個糧囤可囤糧食多少千克?

【解答】解:這個糧囤的底面積是:

3.14X(4+2)2

=3.14x4

=12.56(平方米)

這個糧囤的體積是:

12.56x2+12.56xl.5x-

3

=25.12+6.28

=31.4(立方米)

這囤小麥的重量是:

600x31.4=18840(千克).

答:這個糧囤可囤糧食18840千克.

【變式2-4](2019?蕭山區(qū)模擬)圖形計算

求立體圖形的體積單位(分米)

【解答】解:3.14X[(20+2)2-(10+2)2卜15

=3.14x[100-25]x15

=3.14x75x15

=3532.5(立方分米),

答:這個立體圖形的體積是3532.5立方分米.

三.立體圖形的容積

??

一?一

另習(xí)精講精練

【例3】(2019春?江城區(qū)期末)一個水池能蓄水430加,430M是這個水池的()

A.表面積B.重量C.體積D.容積

【解答】解:一個水池能蓄水430.,430療是這個水池的容積.

故選:D.

【變式3-1](2015?遂溪縣校級模擬)一個汽油桶可裝汽油60%”3,它的()是60加幾

A.容積B.體積C.表面積

【解答】解:一個汽油桶可裝60升汽油,是指它的容積是60升;

故選:A.

【變式3-2](2010?廣州自主招生)有一種飲料的瓶身如圖所示,容積是3升.現(xiàn)在它里面裝了一些飲料,

正放時飲料高度為20厘米,倒放時空于部分的高度為5厘米.那么瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料2.4升.

【解答】解:飲料和空氣的體積比是:

20:5=4:1

飲料有:

4

3x——=3x0.8=24、

4+1(升)

答:瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料2.4升.

故答案為:2.4.

【變式3-3](2013?福田區(qū)校級模擬)去超市買酸奶,發(fā)現(xiàn)一種酸奶采用長方體塑封紙盒包裝,從外面量

這種紙盒長6.4厘米,寬4厘米,高8.5厘米.這種酸奶盒上標(biāo)注酸奶的凈含量為220毫升,標(biāo)注是否

真實?

【解答】解:6.4x4x8.5=217.6(立方厘米)=217(毫升);

答:盒子的體積是217毫升,而凈含量為220毫升,不真實.

【變式3-4】一個谷囤的形狀如圖,下面是圓柱形,底面周長是18.84米,高是2米;上面是圓錐形,高

是1.5米.這個谷囤最多能裝稻谷多少立方米?

-x3.14x(18.84-3.14-2)2xl.5+3.14x(18.84-3.14^2)2x2

【解答】解:3

=-x3.14x9xl.5+3.14x9x2

3

=14.13+56.52

=70.65(立方米);

答:這個谷囤最多能裝稻谷70.65立方米.

真題強(qiáng)化演練

一.選擇題

1.(2019?蕭山區(qū)模擬)將直角三角形A5c以3C為軸旋轉(zhuǎn)一周,得到的圓錐體積是V,那么V=()

A.16萬B.127rC.25萬D.48萬

【解答】解:—xx42x3

3

=71x16

答:體積是167r.

故選:A.

2.(2018春?平陰縣期中)把一團(tuán)圓柱體橡皮泥揉成與它等底的圓錐體,高將()

A.擴(kuò)大3倍B.縮小3倍C.擴(kuò)大6倍

【解答】解:根據(jù)等底等高的圓錐形的體積是圓柱形體積的3,

又因為,在捏橡皮泥的過程中,它的總體積不變,

所以,把一團(tuán)圓柱體橡皮泥揉成與它等底的圓錐體,高將擴(kuò)大3倍;

故選:A.

3.(2015春?平陽縣校級期中)一個體積是25.12cW的圓錐,半徑是2cm,它的高是()cm.

A.2B.8C.6

1,

25.12---(3.14x22)

【解答】解:3

=25.12x3+(3.14x4)

=75.36+12.56

=6(厘米),

答:它的高是6厘米.

故選:C.

4.(2014春?鹿城區(qū)校級月考)一個圓錐和一個圓柱的高相等,圓錐底面半徑是1厘米,圓柱底面半徑是2

厘米,圓錐體積是圓柱體積的()

A.-B.-C.—D.-

36124

【解答】解:設(shè)圓錐和圓柱的高為丸厘米,

-7Tx]1h=-7rh

圓錐的體積:33(立方厘米),

圓柱的體積:萬X22/I=4MZ(立方厘米),

1,…1

一兀h;47rh=——

312,

1

答:圓錐的體積是圓柱體積的石.

故選:5

二.填空題

5.(2019?杭州模擬)如圖是一個直角三角形,以6c機(jī)的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得到的圖形是3

【解答】解:以直角三角形的直角邊右厘米)為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑是2厘米,高是6厘米的圓

錐.

19

-X3.14X22X6

3

=3.14x8

=25,12(立方厘米)

答:得到的立體圖形是圓錐,它的體積是25.12立方厘米.

故答案為:圓錐、25.12.

6.(2019?杭州模擬)計算下面圓錐的體積是

S,=15cin2

-xl5xl0=50

【解答】解:3(立方厘米),

答:這個圓錐的體積是50立方厘米.

故答案為:50.

7.(2019?衡水模擬)一個圓錐形零件的底面半徑是4厘米,高是9厘米,它的體積是150.72立方厘米.

-X3.14X42X9

【解答】解:3

=-x3.14xl6x9

3

=150.72(立方厘米)

答:它的體積是150.72立方厘米.

故答案為:150.72.

8.(2019?蕭山區(qū)模擬)下面,以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一圈,求所形成圖形的體積.(得數(shù)保留整數(shù))

/K

5叫

宙二q”

【解答】解:

如圖斜邊的高為:3x4+5=24(厘米),

1,

-X3.14X2.42X5

3

=-x3.14x5.76x5

3

=30.144(立方厘米);

答:所形成圖形的體積是30.144立方厘米.

9.(2013?永康市)一個圓柱形水桶,里面盛48升的水,正好盛滿,如果把一塊與水桶等底等高的圓錐形,

放入水中,桶內(nèi)還有32升水.

【解答】解:48+3x2,

=16x2

=32;

故答案為:32.

10.(2017?杭州)一個正方體木料削成最大的圓錐,圓錐的體積占正方體的—.

一12一

【解答】解:假設(shè)正方體的棱長為。厘米,

正方體的體積是:axaxa=a3(立方厘米),

工%X(1+2)2XQ=幺XQ=

削出最大圓錐的體積是:33412(立方厘米),

3

7TO3冗

----.71-..

所以圓錐的體積占正方體體積的:1212.

71

故答案為:12.

三.判斷題

11.(2014?桐鄉(xiāng)市校級模擬)在一個圓柱中挖去一個最大的圓錐,剩下部分的體積是圓柱的2.,.(判

3—一

斷對錯)

【解答】解:根據(jù)題干分析可得:這個圓柱的體積與挖出的圓錐是等底等高,

所以圓柱的體積是圓錐的體積的3倍,

(3-1)-3=-

則剩下部分的體積是圓柱的體積的3.

故答案為:,.

12.(2019?亳州模擬)把一個圓柱削成一個圓錐,這個圓錐的體積是圓柱體積的x.(判斷對錯)

3一一

1

【解答】解:把一個圓柱削成一個與它等底等高的圓錐,這個圓錐的體積是圓柱體積的如果沒有確定

1

削成的圓錐是否與圓柱等底等高,那么把一個圓柱削成一個圓錐,這個圓錐的體積是圓柱體積的3,這

種說法是錯誤的.

故答案為:x.

13.(2016?溫州)把一個圓柱削成最大的圓錐體,削去部分的體積與圓錐的體積的比是2:1._Y_(判斷

對錯)

【解答】解:圓柱體削成一個最大的圓錐體,

則:%柱=3%錐

=2%錐:唳錐

=2:1

答:削去部分的體積與圓錐的體積的比是2:1.

故題干的說法是正確的.

故答案為:5

14.(2012?紫金縣)把圓柱體削成一個最大的圓錐體,圓錐體體積是削去部分的工.正確.(判斷對錯)

2------------

12

【解答】解:把圓柱體的體積看作“1”,與它等底等高的圓錐的體積是圓柱體的削求部分是圓柱體的§.

1I2

33.

_I_:_2_—_I_3—_I

33-32-2;

I

答:圓錐體體積是削去部分的2.

故答案為:正確.

四.計算題

15.(2019?蕭山區(qū)模擬)求如圖圖形的體積.單位:厘米.

【解答】解:50x10x30-3.14x(20+2)2*10

=15000-3.14x100x10

=15000-3140

=11860(立方厘米),

答:它的體積是11860立方厘米.

16.(2019?蕭山區(qū)模擬)求如圖空心圓柱的表面積.(單位:分米)

[解答]解?3.14x4x4+3.14x2x4+3.14X[(4+2)2-(2+2)2]X2

=50.24+25.12+3.14x[4-l]x2

=50.24+25.12+3.14x3x2

=50.24+25.12+18.84

=94.2(平方分米),

答:這個空心圓柱的表面積是94.2平方分米.

五.應(yīng)用題

17.(2019?寧波模擬)有一塊正方體木料,它的棱長是4分米.把這塊木料加工成一個最大的圓柱.削去

部分的體積是多少?

【解答】解:4x4x4-3.14x(42)2x4

=64—3.14x4x4

=64-50.24

=13.76(立方分米),

答:削去部分的體積是13.76立方分米.

18.(2018?蕭山區(qū)模擬)一個圓錐形沙堆,底面積是50加2,高是3〃z.用這堆沙在10米寬的公路上鋪2cm厚

的路面,能鋪多少米?

【解答】解:2厘米=0。2米,

|x50x34-(10x0.02)

=50+0.2

=250(米),

答:能鋪250米.

19.(2019?蕭山區(qū)模擬)一個圓錐形的沙堆,底面直徑是4米、高1.5米.用這堆沙子鋪在寬10米,厚5

厘米的路上,能鋪多長?

【解答】解:5厘米=。。5米

17

-X3.14X(44-2)2X1.5-f-(10X0.05)

=—><3.14x4x1.5+0.5

3

=6.28+0.5

=12-56(米)

答:能鋪12.56米.

六.解答題

20.(2019?蕭山區(qū)模擬)一個直角三角形,兩條直角邊長分別為3厘米和4厘米,斜邊長是5厘米.以斜

邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周(如圖),所得到的立體圖形的體積是多少?

【解答】解:直角三角形斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,得到的幾何體是同一底面的兩個圓錐,如上圖所示,

設(shè)這個圓錐的底面半徑是「,貝

5r+2=3x4+2,

5r=12,

r=2.4

所以這個立體圖形的體積是:

1,

-X3.14X2.42X(AO+CO)

Jx3.14x5.76x5

3;

=30,144(立方厘米),

答:旋轉(zhuǎn)一周后的立體圖形的體積是30.144立方厘米.

21.(2016?龍灣區(qū)校級模擬)一個底面半徑與高的比為1:3的圓錐體煤堆.高是6米,如果每0.75立方米

的煤是1噸,這堆煤有多少噸?

19

-X3.14X(64-3)2X6

【解答】解:3

=3.14x8

=25.12(立方米)

2512

25.12+0.75=------、

75(噸)

2512

答:這堆煤有75噸.

22.(2012?桐鄉(xiāng)市校級模擬)一個圓錐形麥堆,高1.2米,占地面積16平方米,如果每立方米小麥重750

千克,這堆小麥重多少千克?

16xl.2x-x750

【解答】解:3,

=6.4x750,

=4800(千克).

答:這堆小麥重4800千克.

23.(2017?朝陽區(qū))小紅和小軍分別以直角梯形的上底和下底為軸,將梯形旋轉(zhuǎn)一周,得到兩個立體圖形.

(1)你同意誰的說法,請將名字填在橫線里.小紅.

(2)甲、乙兩個立體圖形的體積比是多少?

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