七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略湘教版-專題10 解題技巧專題：平行線中拐點(diǎn)問題壓軸題五種模型全攻略（解析版）

專題10解題技巧專題：平行線中拐點(diǎn)問題壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一平行線中含一個拐點(diǎn)問題】 1【考點(diǎn)二平行線中含兩個拐點(diǎn)問題】 8【考點(diǎn)三平行線中含多個拐點(diǎn)問題】 13【考點(diǎn)四平行線中在生活上含拐點(diǎn)問題】 19【考點(diǎn)五平行線與平移綜合拐點(diǎn)問題】 24【典型例題】【考點(diǎn)一平行線中含一個拐點(diǎn)問題】例題：（2024上·甘肅白銀·八年級統(tǒng)考期末）【問題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點(diǎn)，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【靈活應(yīng)用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數(shù)．【答案】（1），理由見解析；（2）【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理，并能熟練應(yīng)用．（1）過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先利用三角形的內(nèi)角和定理可得，從而利用對頂角相等可得，然后利用“豬蹄模型”可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1），理由：如圖，過點(diǎn)作，，，，，，；（2），，，，，由（1）可得：，，．【變式訓(xùn)練】1.（2024上·山西長治·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵．過P作直線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出，然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得，進(jìn)而可求出，從而求出．【詳解】解：過P作直線，如下圖所示，∵，，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，故選：D．2．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知，，，則°．【答案】（1）見解析；（2）；（3）20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過點(diǎn)作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過作，，∵，∴，，，故答案為：20．3．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖①，已知直線，且和分別交于兩點(diǎn)，和分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，設(shè)．(1)試找出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖②，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東的方向上，在點(diǎn)的北偏西的方向上．應(yīng)用（1）中的結(jié)論求的度數(shù)；(3)如果點(diǎn)在直線上且在線段外側(cè)運(yùn)動（點(diǎn)和兩點(diǎn)不重合），其他條件不變，試探究∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系．【答案】(1)．理由見解析(2)(3)∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系為或【詳解】（1）．理由如下：，．在三角形中，，．（2）由（1）可知，．（3）①當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖①所示．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則．．，；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖②所示．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則．，，．，．綜上所述，∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系為或4．（2024上·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．問題遷移：(1)如圖2，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，，，求，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合），請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用；（1）過P作交于E，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在的延長線上，②點(diǎn)P在的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案．【詳解】（1），理由如下：如圖3，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）當(dāng)P在延長線時，；理由：如圖4，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；當(dāng)P在之間時，．理由：如圖5，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴．綜上所述，，，之間的數(shù)量關(guān)系為或．【考點(diǎn)二平行線中含兩個拐點(diǎn)問題】例題：（2024上·重慶·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線和直線上，點(diǎn)P在兩條平行線之間，和的角平分線交于點(diǎn)H，已知，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合角平分線的定義得到，同理可得．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴．∵，∴，∴故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，之間的點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)若．①如圖2，請?zhí)剿鞯亩葦?shù)是否為定值，請說明理由；②如圖3，已知平分，平分，反向延長交于點(diǎn)P，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①，是定值

②【分析】（1）：過點(diǎn)E作，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，即可解題；（2）①如圖,過作，過作，證明，可得，，再利用角的和差運(yùn)算可得結(jié)論；②如圖，平分，平分，可得，由三角形的內(nèi)角和定理可得，結(jié)合①得:，從而可得．【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∴；（2）①，是定值，理由如下：如圖,過作，過作，∵AB∥CD，∴，而，∴，，，∴；②如圖,∵平分，平分，，，∵由①得:，．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練的構(gòu)建平行線，利用平行線的性質(zhì)解決問題是解本題的關(guān)鍵．2．（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，點(diǎn)為直線間一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的點(diǎn)，連接.

(1)【證明推斷】求證：，請完善下面的證明過程，并在（

）內(nèi)填寫依據(jù).證明：過點(diǎn)P作直線，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如圖2，若的平分線與的平分線交于點(diǎn).①【類比探究】試猜想與之間的關(guān)系，并說明理由；②【結(jié)論運(yùn)用】若，求的度數(shù).(3)【拓展認(rèn)知】如圖3，直線，點(diǎn)P，H為直線間的點(diǎn)，請直接寫出，，，的數(shù)量關(guān)系：______.【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；平行于同一直線的兩直線平行；(2)①，理由見解析；②(3)【分析】（1）過點(diǎn)P作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；（2）①分別過點(diǎn)P，Q作，，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得，進(jìn)而即可求解；②結(jié)合平角的定義和即可得到答案；（3）過點(diǎn)P、H作，可得，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作直線，（已作），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又，（已知），，（平行于同一直線的兩直線平行），，；（2）解：①.理由：如圖1，分別過點(diǎn)P，Q作，.的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，..同（1）可證得，②，，.又，

（3）過點(diǎn)P、H作，∵，∴，∴，∴，即故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，角平分線的定義，添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三平行線中含多個拐點(diǎn)問題】例題：（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，，則、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系為．

【答案】【分析】如圖，過E作，過F作，過G作，再證明，再結(jié)合平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過E作，過F作，過G作，∵，∴，

∵，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)M，，，，則．【答案】/88度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是會添加常用輔助線（即過“拐點(diǎn)”作平行線），一般而言，有幾個“拐點(diǎn)”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點(diǎn)”模型的基本結(jié)論解決問題；過點(diǎn)、、分別作，根據(jù)平行線的傳遞性得出，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等以及角平分線的定義即可求解；【詳解】過點(diǎn)、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．2．（2023上·七年級課時練習(xí)）觀察圖形：

已知，在圖1中，可得_______________度，在圖2中，可得_______________度……按照以上規(guī)律，則_______________度．【答案】180，360，．【分析】作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解題即可．【詳解】解：如圖1，∵，∴；如圖2，過作，∵，∴，∴，，∴；

同理可得：；故答案為：180，360，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．3．（2022下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）已知．

知識回顧（1）如圖，點(diǎn)在兩平行線之間，試說明：．知識應(yīng)用（2）如圖，、分別平分、，利用中的結(jié)論，試說明：；（3）如圖，直接寫出、、、四個角之間的數(shù)量關(guān)系．知識拓展（4）如圖，若，，、分別平分、，那么______；只要直接填上正確結(jié)論即可（5）如圖，若、、三個角的和是，、分別平分、，那么______用含的式子表示【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）【分析】過點(diǎn)作，利用豬腳模型進(jìn)行計(jì)算，即可解答；利用的結(jié)論可得得：，，再利用角平分線的定義可得，，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；根據(jù)角平分線的定義可得，，再利用的結(jié)論，從而進(jìn)行計(jì)算可得，再利用的結(jié)論可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，從而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，最后利用角平分線的定義可得，，從而利用的結(jié)論可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答；過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，利用的解題思路進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，

，，，，，；由得：，，、分別平分、，，，，即；，理由：、分別平分、，，，，由得：，，即；過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

，，，，，，，，，，，，、分別平分、，，，，故答案為：；過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

，，，，，，，，、分別平分、，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四平行線中在生活上含拐點(diǎn)問題】例題：（2024上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點(diǎn)照射到拋物線上的光線，反射后沿著與平行的方向射出，已知圖中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等．由平行線的性質(zhì)即可得出，求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意知，∴，∴，∴，故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作工作籃底部，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作工作籃底部，

，工作籃底部與支撐平臺平行，工作籃底部支撐平臺，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．2．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖為一盞可折疊臺燈及其平面示意圖，其中支架與底座垂直，支架，為固定支撐桿，當(dāng)燈體與底座平行時，，，則的度數(shù)為．【答案】74【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，先由垂線的定義得到，則由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到，證明得到，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，則．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故答案為：．3．（2023下·福建寧德·七年級校聯(lián)考期中）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有．

(1)如圖2，已知鏡子與鏡子的夾角，請判斷入射光線與反射光線的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線與水平線的夾角為，問如何放置平面鏡，可使反射光線正好垂直照射到井底？（即求與水平線的夾角）(3)如圖4，直線上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線．，，射線分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t秒，在射線轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．【答案】(1)，理由見解析；(2)當(dāng)平面鏡與水平線的夾角為或時，可使反射光線正好垂直照射到井底；(3)存在，或【分析】（1）計(jì)算的值即可求解；（2）先計(jì)算，進(jìn)一步得的值，根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等即可求解；（3）分類討論即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：∵∴∴∵∴∴∴（2）解：∵∴∴當(dāng)平面鏡與水平線的夾角為或時，可使反射光線正好垂直照射到井底；（3）解：時，如圖：

若，則解得：；時，如圖：

，不滿足題意；時，如圖：

不滿足題意；時，如圖：

若，則解得：；綜上所述：當(dāng)或時，使得與平行【點(diǎn)睛】本題以物理知識為背景，考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟記相關(guān)定理內(nèi)容，掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五平行線與平移綜合拐點(diǎn)問題】例題：（2023下·河北邢臺·七年級校考期末）如圖1，，被直線所截，，過點(diǎn)A作，D是線段上的點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．

(1)求的度數(shù)；(2)將線段沿線段方向平移得到線段，連接．①如圖2，當(dāng)時，求的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)時，求的度數(shù)；③在整個平移過程中，是否存在？若存在，直接寫出此時的度數(shù)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②；③存在，或【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得，，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得答案；（2）①如圖1中，過點(diǎn)D作，則，再證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案；②如圖3中，過點(diǎn)D作，則，再證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案即可求解；③分兩種情形：圖2，圖3分別求解即可．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴；（2）①如圖2，過點(diǎn)D作，∴，∴．∵，，∴，∴；②如圖3，過點(diǎn)D作，∴，∴．∵，∴，∴；③存在，或．如圖2，當(dāng)時，由①知，，，∴；如圖3，當(dāng)時，由②知，，，∴

【點(diǎn)睛】本題考查了平移性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，角的和差等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，并學(xué)會用分類討論的思想思考問題．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，直線，直線與分別交于點(diǎn)G，H，．將一個含角的直角三角板放置圖中，使點(diǎn)N，M分別在直線上，，．

(1)填空：_____（填“”