一元二次方程的解法重難點(diǎn)專(zhuān)練（解析版）-2021-2022學(xué)年滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專(zhuān)題02一元二次方程的解法重難點(diǎn)專(zhuān)練

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.(2020?全國(guó)九年級(jí)單元測(cè)試)如圖，在反12。中，AB1BE,BD1BC,DE=BE,設(shè)

BE=a,AB=b,AE=c,則以/。和NC的長(zhǎng)為根的一元二次方程是()

A.x2-2cx+b~=0B.無(wú)2-cx+b~=0

C.x2-2cx+b—QD.x2-cx+b=0

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，先要表示出AD、AC的長(zhǎng)，AD=AE-DE,然后利用等腰三角形的性質(zhì)證出

DE=BE=CE,貝i」AC=AE+CE,求出AD、AC之后，根據(jù)韋達(dá)定理判斷以它們的長(zhǎng)為根

的一元二次方程.

【詳解】

解：???ABIBE,BD1BC,

.-.ZABE=ZDBC=9O°,

在RtAABE中，a2+b2=c2,

?；DE=BE=a,

?,ZEBD=NEDB,

?.2EBD+NEBC=90。，NEDB+NC=90。，

.?ZEBC=NC,

；.CE=BE=a,

???AC=AE+CE—c+a,

?；AD+AC=c-a+c+a=2c,ADxAC=(c-a)(c+a)—c2-a2=b2,

.,.以AD和AC的長(zhǎng)為根的一元二次方程可為x2-2cx+b2=0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵

是利用數(shù)形結(jié)合的方法，先表示出線(xiàn)段長(zhǎng)度再根據(jù)韋達(dá)定理判斷原方程.

2.(2019?上海民辦張江集團(tuán)學(xué)校七年級(jí)期中)多項(xiàng)式2f—2Q+5y2+12X—24歹+51

的最小值為()

A.41B.32C.15D.12

【答案】C

【分析】

先將多項(xiàng)式2/-2盯+5儼+12x-2旬+51分組配方，根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得答案.

【詳解】

2x2-2肛+5儼+12x-24y+51

=x2-4xy+4y2+12x-24y+36+x2+2xy+y2+15

=(x-2j)2+12(x-2j/)+36+(x+y)2+15

=(x-2j+6)2+(x+y)2+l5

??,(x-2j+6)2>0,(x-^)2>0,

???(x-2y+6)2+(x+y)2+15>15.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了配方法在多項(xiàng)式最值中的應(yīng)用，熟練掌握配方法并靈活運(yùn)用及恰當(dāng)分組，是

解答本題的關(guān)鍵.

3.(2019?浙江杭州市?九年級(jí)二模)關(guān)于代數(shù)式,有以下幾種說(shuō)法，

a+2

①當(dāng)。=一3時(shí)，則。+」一的值為-4.

。+2

②若。+」一值為2,則口=6.

。+2

③若a>-2,則。+」一存在最小值且最小值為0.

a+2

在上述說(shuō)法中正確的是()

A.①B.①②C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】

①將Q=—3代入計(jì)算驗(yàn)證即可；②根據(jù)題意'=2,解得a的值即可

a+2a+2

作出判斷；③若a>-2,貝Ua+2>0,貝U對(duì)配方，利用偶次方的非負(fù)性可得答

a+2

案.

【詳解】

解：①當(dāng)a=—3時(shí),

故①正確；

②若。+」一值為2,

<7+2

則。+^—=2,

a+2

???a2+2a+l=2a+4,

???a2=3,

a—土也?

故②錯(cuò)誤；

③若a>-2,則a+2>0,

1,1

ClH-----=Q+2H--------2

a+2Q+2

二(Ja+2)2+(J]y—2?Ja+2?J

YQ+2YQ+2

.,.若a>-2,則4+」一存在最小值且最小值為0.

a+2

故③正確.

綜上，正確的有①③.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的加減法、分式的值的計(jì)算及最值問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相關(guān)公式及

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

4.2021?全國(guó)九年級(jí)）己知王、%是關(guān)于%的一元二次方程》2-2（〃+1）》+〃2+5=0

的兩實(shí)數(shù)根.

（1）若（x「1）（%—1）=28,求n的值;

（2）已知等腰三角形4BC的一邊長(zhǎng)為7,若西、恰好是△4BC另外兩邊的長(zhǎng)，求

這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

【答案】⑴6；(2)17.

【分析】

(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得玉+%=2(〃+1)，石/=/+5,接著利用

(西―1)(/T)=28,解得〃1=6,叼=-4,根據(jù)判別式的意義bMacK)可得叱2,于是

可得n的值；

(2)分類(lèi)討論：若7為底，即占=々時(shí)，根據(jù)判別式得到n=2,方程化為

必-6》+9=0,解得占=%=3,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，n=2舍去；若7為腰，即

再=7時(shí)，把x=7代入方程得49-14(n+l)+n2+5=0,解得〃i=4,々=10,當(dāng)〃=4時(shí)，

Xj+x2=2(?+1)=10,解得工2=3,則三角形的周長(zhǎng)為3+7+7=17；當(dāng)〃=10時(shí)，由

根與系數(shù)的關(guān)系得玉+/=2(〃+1)=22,解得》2=”，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，

77=10舍去.

【詳解】

2

解：(1)由題意得：+x2=2(/7+1),X^2=n+5

(Xj—l)(x9-1)=XjX2—+》2)+1=〃~+5—2(〃+1)+1=28

解得：〃1=6,〃2=—4

???Xi、/是關(guān)于龍的一元二次方程爐-2(/i+l)x+?2+5=0的兩實(shí)數(shù)根，

A=Z?2-4ac=[-2(〃+1)]~-4+5)?0得：n>2

???〃=6

(2)①當(dāng)7為底，即西=%時(shí)，則〃_4ac=0，

即A=/-4ac=[-2(〃+1)了-4(/+5)=0

解得〃=2

把n=2代入方程得必_+9=0

.<?X]-x?-3

?.?3+3<7（舍去）

②當(dāng)7為腰,,即項(xiàng)=7時(shí)，將x=7代入方程得49-14(n+l)+n2+5=0,

解得〃]=4,%=1。

當(dāng)〃=4時(shí)，西+%2=2(〃+1)=22,

解得再=3,X2=7,

??.三角形的周長(zhǎng)為3+7+7=17；

當(dāng)〃=10時(shí)，石+%2=2(〃+1)=10,

解得石=15,%=7

?.?7+7<15(舍去)

綜上，三角形的周長(zhǎng)為17.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，根的判別式等知識(shí).牢記“兩根之和

hc

等于-一，兩根之積等于一”是解題的關(guān)鍵.

aa

5.(2020?山東中考真題)實(shí)際問(wèn)題：

某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了投資活動(dòng).方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可

以從100張面值分別為1元、2元、3元....100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù))，一次任

意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧

客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？

問(wèn)題建模：

從1,2,3,…，n("為整數(shù)，且〃23)這〃個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這

。個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

模型探究：

我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決

問(wèn)題的方法.

探究一：

(1)從1,2,3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

表①

所取的2個(gè)整數(shù)1,21,3,2,3

2個(gè)整數(shù)之和345

如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小

是3,最大是5,所以共有3種不同的結(jié)果.

(2)從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)

果？

表②

所取的2個(gè)整數(shù)1,21,3,1,42,32,43,4

2個(gè)整數(shù)之和345567

如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其

中最小是3,最大是7,所以共有5種不同的結(jié)果.

(3)從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有種不

同的結(jié)果.

(4)從1,2,3,…，n("為整數(shù)，且〃之3)這"個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)

整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

探究二：

(1)從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有種不同的

結(jié)果.

(2)從1,2,3,…，n("為整數(shù)，且"24)這〃個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)

整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

探究三：

從1,2,3,…，n("為整數(shù)，且〃25)這"個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之

和共有種不同的結(jié)果.

歸納結(jié)論：

從1,2,3,n(〃為整數(shù)，且〃23)這"個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這

。個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

問(wèn)題解決：

從100張面值分別為1元、2元、3元....100元的獎(jiǎng)券中(面值為整數(shù))，一次任意

抽取5張獎(jiǎng)券，共有種不同的優(yōu)惠金額.

拓展延伸：

(1)從1,2,3,…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共

有204種不同的結(jié)果？(寫(xiě)出解答過(guò)程)

(2)從3,4,5,〃+3("為整數(shù)，且〃22)這(〃+1)個(gè)整數(shù)中任取

a(l<a<n+l)個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

【答案】探究一：(3)7；(4)2n-3(?>3,"為整數(shù))；探究二：(1)4,(2)

3?-8；探究三：4〃—15,歸納結(jié)論：an-cr+i(〃為整數(shù)，M?>3,1<?<

n)；問(wèn)題解決：476；拓展延伸：(1)29個(gè)或7個(gè)；(2)a(n+l)-a2+l.

【分析】

探究一：

(3)根據(jù)(1)(2)的提示列表，可得答案；

(4)仔細(xì)觀察(1)(2)(3)的結(jié)果，歸納出規(guī)律，從而可得答案；

探究二：

(1)仿探究一的方法列表可得答案；

(2)由前面的探究概括出規(guī)律即可得到答案；

探究三：

根據(jù)探究一，探究二，歸納出從1,2,3,…，n(〃為整數(shù)，且〃25)這〃個(gè)整數(shù)中

任取4個(gè)整數(shù)的和的結(jié)果數(shù)，

再根據(jù)上面探究歸納出從1,2,3,n("為整數(shù)，且〃23)這〃個(gè)整數(shù)中任取

個(gè)整數(shù)，這。個(gè)整數(shù)之和的結(jié)果數(shù)；

問(wèn)題解決：

利用前面的探究計(jì)算出這5張獎(jiǎng)券和的最小值與最大值，從而可得答案；

拓展延伸：

(1)直接利用前面的探究規(guī)律，列方程求解即可，

(2)找到與問(wèn)題等價(jià)的模型，直接利用規(guī)律得到答案.

【詳解】

解：探究一：

(3)如下表：

取的

1,21,31,41,52,32,42,53,43,54,5

2個(gè)

整數(shù)

2個(gè)

整數(shù)3456567789

之和

所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3,4,5,6,7,8,9也就是從3到9的連續(xù)整數(shù)，其中最

小是3,最大是9,所以共有7種不同的結(jié)果.

(4)從1,2,3,n(〃為整數(shù)，且"23)這〃個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)

整數(shù)之和的最小值是3,和的最大值是2〃-1,所以一共有2"1-3+1=(2〃-3)

種.

探究二：

(1)從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，如下表：

取的3個(gè)整數(shù)1,2,31,2,41,3,42,3,4

3個(gè)整數(shù)之和6789

從1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有4種，

(2)從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，

這3個(gè)整數(shù)之和的最小值是6,和的最大值是12,

所以從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有7種，

從而從1,2,3,n("為整數(shù)，且"24)這〃個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，

這3個(gè)整數(shù)之和的最小值是6,和的最大值是3"-3,

所以一共有3場(chǎng)一3-6+1=(3〃—8)種，

探究三：

從1,2,3,4,5這5個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和最小是10,最大是

14,

所以這4個(gè)整數(shù)之和一共有5種，

從1,2,3,4,5,6這6個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和最小是10,最大是

18,,

所以這4個(gè)整數(shù)之和一共有9種，

從1,2,3,....n(〃為整數(shù)，且〃之5)這"個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，

這4個(gè)整數(shù)之和的最小值是10,和的最大值是4〃-6,

所以一共有4〃—6-10+1=（4〃—15）種不同的結(jié)果.

歸納結(jié)論：

由探究一，從1,2,3,n（"為整數(shù)，且"23）這"個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，

這2個(gè)整數(shù)之和共有（2〃-3）種.

探究二，從1,2,3,n（〃為整數(shù)，且"24）這"個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3

個(gè)整數(shù)之和共有（3〃-8）種，

探究三，從1,2,3,n（"為整數(shù)，且〃25）這"個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4

個(gè)整數(shù)之和共有（4〃-15）種不同的結(jié)果.

從而可得：

從1,2,3,...?n（〃為整數(shù)，且〃23）這"個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這

。個(gè)整數(shù)之和共有（a〃-/+i）種不同的結(jié)果.

問(wèn)題解決：

從100張面值分別為1元、2元、3元....100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），

一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，這5張獎(jiǎng)券和的最小值是15,和的最大值是490,

共有490-15+1=476種不同的優(yōu)惠金額.

拓展延伸：

（1）從1,2,3,n（〃為整數(shù)，且〃23）這〃個(gè)整數(shù)中任取個(gè)

整數(shù)，這。個(gè)整數(shù)之和共有+1）種不同的結(jié)果.

當(dāng)〃=36,有36a—4+1=204,

a~—36a=—203,

.-.（a-18）2=121,

二.a=29或a=7.

從1,2,3,36這36個(gè)整數(shù)中任取29個(gè)或7個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共

有204種不同的結(jié)果.

（2）由探究可知：從3,4,5,〃+3（"為整數(shù)，且〃22）這（〃+1）個(gè)整數(shù)中

任取+個(gè)整數(shù)，等同于從I,2,3,n+1("為整數(shù)，且〃22)這

(n+1)個(gè)整數(shù)中任取a(l<a<〃+l)個(gè)整數(shù)，

所以：從3,4,5,〃+3(〃為整數(shù)，且〃22)這(〃+1)個(gè)整數(shù)中任取

a(l<a<n+l)個(gè)整數(shù)，這a個(gè)整數(shù)之和共有［a(〃+1)-1種不同的結(jié)果.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是學(xué)生自主探究，自主歸納的能力，同時(shí)考查了一元二次方程的解法，掌握

自主探究的方法是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，45是。。的直徑，點(diǎn)C為防的中點(diǎn)，CF

為。。的弦，且CELN8,垂足為E,連接5D交CE于點(diǎn)G,連接CD,AD,

BF.

⑴求證：ABFG=ACDG；

(2)若AD=BE=2,求AF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)5尸=20.

【分析】

⑴根據(jù)點(diǎn)。為礪的中點(diǎn)和垂徑定理可證CD=BF,再利用AAS即可證得結(jié)論；

⑵解法一：連接。尸，設(shè)。。的半徑為人由CF=列出關(guān)于r的方程就能求解；

解法二：如圖，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建角平分線(xiàn)和全等三角形，證明及

得4E=4H,再證明比公。。〃三及八。8￡(班)，得DH=BE=2,進(jìn)而可得ZE

和48的長(zhǎng)，易證A5￡C：ABCA,列比例式可求得的長(zhǎng)，也就是職的長(zhǎng)；

解法三：連接。C,根據(jù)垂徑定理和三角形的中位線(xiàn)定理可得?！?1,再證明

△COE=WOH,然后利用勾股定理即可求出結(jié)果.

【詳解】

證明：⑴；C是茄的中點(diǎn)，.?.麗=前，

???45是。。的直徑，且CFL4B,；.BC=BF，

???加=?,■-CD=BF,

在A5EG和ACDG中，

NF=ZCDG

<ZFGB=ZDGC,

BF=CD

.-.^FG=\CDG（AAS）-

（2）解法一：如圖，連接OF,設(shè)。。的半徑為「，

RtMDB中,BD2=AB2-AD2>即AD?=（2rp—22,

RtAOEF中,OF2=OE2+EF2，即￡產(chǎn)=/一（一,

,?也>=死=?，:曲=酎，：BD=CF，

BD2=CF~=（2EF?=4EF2,

B|J（2r）2-22=4r2-（r-2）2,

解得：r=1（舍）或3,

：.BF2=EF-+BE2=32-（3-2）2+22=12,

■-BF=243：

解法二：如圖，過(guò)C作CHLZ。交/。延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)X,連接NC、BC,

「CD=BC，；?NHAC=NBAC,

■.■CELAB,.■.CH=CE,

?；AC=AC,二RtAAHC合RtAAEC,

AE=AH,

CH=CE,CD=CB,

RtACDH=RtACBE（HL）,

-DH^BE=2,AE=AH=2+2=4,.-.AB=4+2=6,

??,/3是。。的直徑，二/4。8=90°，:/幺。8=/5￡。=90°，

???NEBC=NABC,；.MEC：ABCA,

BCBE

"花一記’

:?BC?=AB?BE=6義2=12,

解法三：如圖，連接。C,交BD于H,

???C是茄的中點(diǎn)，.?.￡>H=5H,

OA-OB,OH=—AD=1,

2

OC=OB,ZCOE=NBOH,AOHB=NOEC=90°，

ACOE=ABOH(AAS),

OH=OE=\,OC=OB=3,

???CE=EF=V32-l2=272，

BF=4BE2+EF2=,+(2行了=2百.

【點(diǎn)睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、一元二次方程的求解、

三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理等知識(shí).第二問(wèn)有難度，注意掌握輔助線(xiàn)的作法

和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

7.(2018?全國(guó)九年級(jí)單元測(cè)試)如果方程x2+px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X”x2,那么

xi+x2=-p,X]X2=q，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題:

dh

(1)已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則:+―=?

ba

(2)已知a、b>c滿(mǎn)足a+b+c=O,abc=16,求正數(shù)c的最小值.

X=X,X=X?

(3)結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題：已知〈和〈是關(guān)于x,

—yk—0

y的方程組</的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k,使得%丫2-

x-y=l

Xx9

---=2?若存在，求出的k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

/再

【答案】(1)43(2)4(3)存在，當(dāng)k=-2時(shí)，^1^----=2

【分析】

db

(1)根據(jù)a,b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出一■F—的值.

ba

(2)根據(jù)a+b+c=O,abc=16,得出a+b=?c,ab=—,a、b是方程x2+cx+"=0的解，

cc

再根據(jù)c2-4?嶼NO,即可求出c的最小值.

c

Xx9

(3)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出X1+X2=1,Xi-X2=k+1,再解yiy2-=2,即可求出k

x2再

的值.

【詳解】

(1)<.,a>b是方程x2+15x+5=0的二根，

??.a+b=-15,ab=5,

.q』=S+b)2-24=(-15)2-2x5=43,

baab5

故答案是：43；

(2)va+b+c=O,abc=16,

16

???a+b=-c,ab=—,

c

???a、b是方程X2+CXH-----=0的解，

c

1643

.,?c2-4>——>0,c2-——>0,

Cc

??,c是正數(shù)，

.,.C3-43>0,c3>43,c>4,

???正數(shù)c的最小值是4.

⑶存在，當(dāng)k=1時(shí),=2.

由x2-y+k=O變形得：y=x2+k,

由x-y=l變形得：y=x-1,把y=x-1代入y=x2+k,并整理得：x2-x+k+l=O,

由題意思可知，xi,X2是方程x2-x+k+l=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有:

（-1）2-4（^+1）＞0

玉+々=1

xrx2=左+1

必為=?—1乂%—1）

3V2-亍=（”1T）（"2T）

k2+2k=Q

解得：k=-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使

用的解題方法.

8.(2019?臺(tái)州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校九年級(jí)月考)已知關(guān)于X的方程

府2—(4左+l)x+左一1=0(左為實(shí)數(shù)，且左70)的兩根為a,(3.

,aB?

(1)右左=3,求方—的值

pa

(2)若a,，都是整數(shù)，求上的值

【答案】(1)---(2)1或---或—1或-----

61311

【分析】

(1)將左=3代入，得3——13X+2=0,先根據(jù)判別式判斷實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)

132

韋達(dá)定理寫(xiě)出a+￡=§,?^=-,對(duì)原式進(jìn)行變形即可求解；

(2)根據(jù)韋達(dá)定理寫(xiě)出a,，與k的關(guān)系，聯(lián)立獲得方程(a+1)(尸+1)=6,根據(jù)

a,/3都是整數(shù)分情況討論即可求解.

【詳解】

(1)若左=3,則方程為3/—13X+2=0

■.■△=132-4X3X2>0

132

由韋達(dá)定理可得,afi=—

,a_13a2+伊(a+4-2aBH157

(3aa/3a(3工6

3

(2)設(shè)aW/?

4"+l1

由韋達(dá)定理可得a+/?=-----=4+—①

kk

k—11c

?/D?=——=1-7②

kk

①+②得a/3+a+/3=5

.-.(tz+l)(^+l)=6

Qa,，都是整數(shù)

tz+1=1(a+1=-6fa+1=2fa+1=-2

夕+1=6［夕+1=_1［尸+1=3［y?+l=-3

代入①可得左=1或-彩或-1或—石'

經(jīng)檢驗(yàn)，這些左值均能使方程有實(shí)根

七的值為1或----或-1或------

1311

故答案為（1）—（2）1或-1-或—1或—工.

61311

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式，和韋達(dá)定理，即一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,

熟練掌握本部分的公式是本題的關(guān)鍵.

9.（2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn)產(chǎn)〃+6x+c（存0）過(guò)點(diǎn)M-2,3）,頂點(diǎn)坐

標(biāo)為N（-l,4）,且與x軸交于/、3兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸M+PS的值最小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為：y=-x2-2x+3；(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,2)

【分析】

(1)把頂點(diǎn)N的坐標(biāo)和點(diǎn)M的坐標(biāo)代入計(jì)算，即可求出拋物線(xiàn)的解析式；

(2)先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，連接AM,與對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)P,求出直線(xiàn)AM的解析式,

即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)由拋物線(xiàn)廠辦2+加也(存0)的圖象過(guò)點(diǎn)M-2,3),頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(-l,4),得到

關(guān)于a、b、c的方程組：

ax(-2)2-2b+c=3

<a-b+c=4

-A="i

、2a

解得：a=-\,b=02,c=3,

???二次函數(shù)的解析式為：y=-x2-2x+3.

(2)如圖：連接AM,與對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)P,連接BP,

???拋物線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A、B,則點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),

??PA=PB,

??.PM+PB的最小值為PA+PM=AM的長(zhǎng)度；

y=-x2-2x+3,令y=0,貝！I

-x2-2x+3=0，

X]—1,=—3,

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1,0）,

,:點(diǎn)M的坐標(biāo)為02,3）,

直線(xiàn)AM的解析式為：y=-x+l,

當(dāng)x=—1時(shí)，y=2,

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為Ob2）；

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式,

最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

10.（2021?全國(guó)八年級(jí)）解方程：3——26一4x+7=12x-13

【答案】再=3,X2=1

【分析】

將原方程整理，移項(xiàng)，令/=6-4x+7（/訓(xùn),然后解關(guān)于t的一元二次方程，獲

得t的值，代回原方程即可求解.

【詳解】

3x~~2y/x~—4x+7=12x—13

移項(xiàng)，整理得：3（x2-4x+7）-2VX2-4X+7-8=0

令1=JX2-4X+7（/N0），原式變?yōu)?r—27—8=0

4

解得4=2,t2=--（舍去）

?■?7x2-4x+7=2>即"4x+3=0

解得苞=3,x2=1

故答案為西=3,x2=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了換元法解一元二次方程，問(wèn)題的關(guān)鍵是令f_4x+7（/.0）,然后解

關(guān)于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根.

11.(2021?全國(guó)九年級(jí)單元測(cè)試)如圖，拋物線(xiàn)了=辦2+區(qū)+。(存0)與直線(xiàn)1+1相交

于/(-1,0),B(4,m)兩點(diǎn)，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(5,0).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)/、點(diǎn)8重合)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)尸Dlx軸于點(diǎn)

D,交直線(xiàn)于點(diǎn)￡,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①當(dāng)PE=2瓦)時(shí)，求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P使△8￡C為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；若不存在，

2

【答案】(1)J=-X+4X+5:(2)①尸(2,9)或尸(6,-7)；②存在，m的值為4+J15

3

或4一屈或0或7.

【分析】

(1)先根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可得拋物線(xiàn)的交點(diǎn)式，再根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)B

的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可得；

(2)①分點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方和點(diǎn)P在點(diǎn)E的下方兩種情況，再根據(jù)PE=2ED建立方

程求解即可得；

②先利用兩點(diǎn)之間的距離公式求出8c2,5￡2,CE2,再根據(jù)等腰三角形的定義分

BC=BE,BC=CE,8￡=C￡三種情況，分別建立方程求出m的值即可.

【詳解】

(1)由題意，拋物線(xiàn)y=a/+bx+c的解析式可化為y=a(x+l)(x—5),

將點(diǎn)8(4,加)代入直線(xiàn)y=x+l得：加=4+1=5,

將點(diǎn)5(4,5)代入y=a(x+l)(x—5)得：(4+1)x(4—5)a=5,

解得4=一1,

則拋物線(xiàn)的解析式為y=-(x+l)(x-5)=-x2+4x+5,

即y=—x2+4x+5；

(2)①??.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加，

?e?點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為—加2+4m+5，

即尸(加，一掰2+4m+5),

由題意，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同，即為加，

則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為加+1,

即+,

由題意，分以下兩種情況：

(i)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方，即—1＜加＜5時(shí)，

則PE=-m2+4m+5-(m+l)=-m2+3加+4,ED=加+1,

因此有一加2+3加+4=2(加+1),

解得加=2或加=-1(不符題意，舍去)，

則一加2+4m+5=-22+4x2+5=9，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0(2,9)；

(ii)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的下方，即加＜一1或加＞5時(shí)，

則尸￡=m+1-^-m2+4加+5)=m2-3m-4,ED=|m+l|,

因此有m2-3m-4=2|m+l|,

解得用=6或用=-1(不符題意，舍去)，

則一加2+4m+5=-62+4x6+5=—7，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為口6,-7),

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸(2,9)或尸(6,-7)；

②存在，求解過(guò)程如下：

???3(4,5),。(5,0),￡(加,加+1),

3。2=（5—4）2+（0—5）2=26,

BE?=（加_4了+（加+1—5）2=2（掰—4）2,

C￡2=(m-5)2+(m+l-0)2=(m-5)2+(m+l)2,

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

(i)當(dāng)8C=8￡時(shí)，為等腰三角形，

則3。2=8￡2,即2(機(jī)一4)2=26,

解得m=4+V13或加=4—V13;

(ii)當(dāng)3C=CE時(shí)，△8EC為等腰三角形，

則8c2=C￡2,即(/—5>+O+l)2=26,

解得〃z=0或加=4(此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不符題意，舍去)；

(iii)當(dāng)B￡=C￡時(shí)，△BEC為等腰三角形，

則BE2=CE2，即2(m-4)2=(m-5)2+(m+1)2,

3

解得加=:；

4

3

綜上，m的值為4+JI5或4—或0或w

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的定義、兩點(diǎn)之間的距離

公式等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(2),正確分情況討論是解題關(guān)鍵.

12.(2021?全國(guó)九年級(jí))(1)已知直線(xiàn)^=紅一2和拋物線(xiàn)y=——2x+3,

①當(dāng)左=4時(shí)，求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)人為何值時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)？

(2)已知點(diǎn)4。,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，6(0,4挺)，以4B為邊在4B右側(cè)做正方形

ABCD,當(dāng)正方形4BCZ)的邊與反比例函數(shù)y=型的圖像有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，試求。的

【答案】(1)①(1,2),(5,18)；②左=一2±2否；(2)。＞2或—16＜。＜—4

【分析】

y=4x-2fx=1=5

(1)①由題意得：＜2c.，解得〈~,。，即可求解；

y=x-2x+3[%=2舊=18

②利用△=(),即可求解；

(2)分?！?、。＜0兩種情況，探討正方形的邊與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)的情況，進(jìn)而

求解.

【詳解】

j=4x-2X]=1x)-5

解：(1)①由題意得:,解得:

y=X2-2x+3Ji=2,[%=18

所以直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),(5,18)；

②聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)并整理得：/-(后+2.+5=0,

△=(-左-2)2-4*5=0,

解得：立=-2±2逐；

點(diǎn)4、2的坐標(biāo)分別為：30)、(0,472),

由點(diǎn)4、2的坐標(biāo)得，直線(xiàn)48的表達(dá)式為：y=--x+442,

a

當(dāng)線(xiàn)段48與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

聯(lián)立48表達(dá)式與反比例函數(shù)表達(dá)式得：一晅x+46=巫,

ax

整理得：4x2-4ax+2a=0,

△=(―4Q)2—16x2a=0,解得：a=2,

故當(dāng)a>2時(shí)，正方形4BCD與反比例函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn);

②當(dāng)。<0時(shí)，如圖2,

(I)當(dāng)邊4D與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)D作ED±x軸于點(diǎn)E,

ZBAO+ZDAE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

ZADE=NBAO,

?/ABAD,NAOB=NDEA=90°,

AAOB=ADEA(AAS),

ED=AO=-a,AE=OB=472，

故點(diǎn)。(a+40,a),

工一、J7

由點(diǎn)4、。的坐標(biāo)可得，直線(xiàn)40的表達(dá)式為：y=——a(x-a),

8

聯(lián)立AD與反比例函數(shù)表達(dá)式并整理得：ax2-a2x-16=0,

22

△=(-tz)-4ax(16)=0,解得：a=—4(不合題意值己舍去)；

(ID當(dāng)邊BC與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

同理可得：a=-16，

所以當(dāng)正方形ABCD的邊與反比例函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為：

-16<<7<-4；

綜上所述，。的取值范圍是a>2或-16<a<-4.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式的應(yīng)用、三

角形全等等，其中(2),要注意分類(lèi)求解，避免遺漏.

13.(2021?全國(guó)九年級(jí))已知a,b,c為有理數(shù)，且多項(xiàng)式/+。/+加：+0能夠?qū)懗?/p>

%2+3x—4X-：的形式.

(1)求4a+c的值.

(2)求2a-26-c的值.

(3)若。，b,c為整數(shù)，且試求。，b,c的值.

【答案】(1)12；(2)14；(3)a=2,b=—7,c=4.

【分析】

2

⑴因?yàn)楸?3%一4是/+ax+bx+c的一個(gè)因式，所以》2+3%一4=0方程的解方

程/+"2+而+。=0的解，代入解即可求得；

(2)根據(jù)(1)中a、b、c的關(guān)系即可求得；

(3)根據(jù)(1)中a、b、c的關(guān)系，。2。>1和。，b,c為整數(shù)，即可求得.

【詳解】

(1),/x2+3x-4Mx3+tzx2+bx+c的一個(gè)因式，

x2+3x-4=0>即x=-4,x=1是方程d+bx+c=o的解，

a+b+c=-l①

16a-4Z)+c=64②’

①x4+②得：4a+c=12③，

4Q+c=12.

(2)由③得：a=3——(4),

3

④代入①得：b=-4-[C⑤，

2a-2b-c=2^>-^-2^-^c^-c=\A.

(3)c>a>1,

Lat—=J3—二,

4

1<3—<c,

4

解得：<c<8,

又?.■a,c均為大于1的整數(shù)，

???c可取的值有3,4,5,6,7,

又???。=3——為正整數(shù),

4

..c=4,a=2,

3

則b=4——c=-7,

4

a=2,b=—7,c=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查多項(xiàng)式的因式和一元二次方程，掌握多項(xiàng)式與因式之間的關(guān)系并正確求出系數(shù)

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

14.Q020?蘇州市彩香實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考)關(guān)于x的一元二次方程X2+2<m-l)+m2-l=0

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X1，x2.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得X『+X22=16+XIX2成立？如果存在，求出m的值；如果不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)m<l；(2)存在，m=-l

【分析】

(1)由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根列得[2(掰-4(小一1)〉0,解不等

式即可；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系得到西+x2=-2(m-l)=2-2m,西馬=蘇T，代入

22

XI+X2=16+XIX2中求出m的值，根據(jù)(1)中m的取值范圍確定m的值.

【詳解】

(1)???一元二次方程X2+2(m-1)+m2-l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

?-.A>0,

解得m〈l；

(2)存在，

,?,一元二次方程x?+2(m-1)+m2-l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xi，x2,

2

.??/+=-2(m-1)=2-2m,xxx2=m-1,

若X12+X22=16+xiX2f則(X[+Jr?)?—2%]X2=16+X]/，

??.(2-2m)2-2(m2-1)=16+m2-1,

解得m=-l或m=9,

vm<l,

???m=9舍去，

即m=-l.

【點(diǎn)睛】

此題考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系式，解一元二次方程，正確計(jì)算是

解題的關(guān)鍵.

15.(2021?全國(guó)八年級(jí))已知關(guān)于％的一元二次方程(a—3)——4x+3=0有兩個(gè)不等

的實(shí)根.

(1)求4的取值范圍；

(2)當(dāng)。取最大整數(shù)值時(shí)，AABC的三條邊長(zhǎng)均滿(mǎn)足關(guān)于x的一元二次方程

(a-3)x2-4x+3=0,求AA8C的周長(zhǎng).

13

【答案】(1)a(一且aw3；(2)A48C的周長(zhǎng)為3或9或7.

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【分析】

(1)根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程，可判斷二次項(xiàng)系數(shù)不為0；根據(jù)方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根，可判斷判別式大于0,列出不等式組求解即可.

(2)在此范圍內(nèi)找出最大的整數(shù)，解方程，然后分類(lèi)討論，求出三角形周長(zhǎng)即可.

【詳解】

解：(1)關(guān)于龍的一元二次方程(a-3)/—4x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

a—3w0

"16-4(a-3)x3>0'

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解得a<——且aw3.

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(2)由(1)得"的最大整數(shù)值為4；

x~—4x+3=0

解得:=lx2=3.

???AABC的三條邊長(zhǎng)均滿(mǎn)足關(guān)于龍的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0,

二①三邊都為1,則AA8C的周長(zhǎng)為3；

②三邊都為3,則AA8C的周長(zhǎng)為9；

③三邊為1,1,3,因?yàn)?+1<3,不符合題意，舍去；

④三邊為1,3,3,則AA8C的周長(zhǎng)為7.

AABC的周長(zhǎng)為3或9或7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的情況與判別式b2-4ac的關(guān)系，也考查了構(gòu)成三角形的條

件.解題時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)隱含條件.

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16.（2021?利辛縣鞏店學(xué)區(qū)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線(xiàn)y=-1X+4和x軸、

y軸的交點(diǎn)分別為3、C,點(diǎn)/的坐標(biāo)是（一2,0）.

（1）試說(shuō)明是等腰三角形；

（2）動(dòng)點(diǎn)M從/出發(fā)沿x軸向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)8出發(fā)沿線(xiàn)段5c向點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)

動(dòng).設(shè)〃r運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，的面積為S.

①求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)點(diǎn)M在線(xiàn)段03上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在5=4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的f值；若

不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；

③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△M9N為直角三角形時(shí)，求，的值.

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【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①S=—（0</<2）,S=-t2--t

（2</W5）；②存在，/=（1+&1卜；③5s或方s.

【分析】

（1）先求解民C的坐標(biāo)，再求解5c,48的長(zhǎng)度，從而可證明結(jié)論；

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（2）①過(guò)點(diǎn)"作八力上工軸于。，則ND=5N-sinN05C=1/