指、對(duì)、冪數(shù)比較大小問(wèn)題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)03指、對(duì)、幕數(shù)的大小比較問(wèn)題【八大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】................................................................2

【題型2中間值法比較大小】......................................................................3

【題型3特殊值法比較大小】......................................................................4

【題型4作差法、作商法比較大小】................................................................6

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】....................................................................7

【題型6數(shù)形結(jié)合比較大小】......................................................................9

【題型7含變量問(wèn)題比較大小】...................................................................12

【題型8放縮法比較大小】........................................................................14

?命題規(guī)律

1、指、對(duì)、塞數(shù)的大小比較問(wèn)題

指數(shù)與對(duì)數(shù)是高中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是高考必考考點(diǎn)，從近幾年的高考情況來(lái)看，指、對(duì)、幕數(shù)

的大小比較是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的互化、運(yùn)算性質(zhì)，以

及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類(lèi)問(wèn)題的主要解法是利用函

數(shù)的性質(zhì)與圖象來(lái)求解，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活的構(gòu)造函數(shù).

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1指、對(duì)、塞數(shù)比較大小的一般方法】

1.單調(diào)性法：當(dāng)兩個(gè)數(shù)都是指數(shù)幕或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)值,

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，如和"2,利用指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，如K和甘，利用幕函數(shù)y=x"單調(diào)性比較大??；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時(shí)，如1嗎再和地0馬,利用指數(shù)函數(shù)bg.x單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時(shí)，要比較多個(gè)數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對(duì)數(shù)比大小；

(2)作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見(jiàn)技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個(gè)值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對(duì)區(qū)間使用二分法(或利用指對(duì)轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時(shí)候三個(gè)數(shù)比較大小，可能某一個(gè)數(shù)會(huì)被可以的隱藏了“同構(gòu)”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個(gè)數(shù)來(lái)尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來(lái)比較大小.

6、放縮法：

(1)對(duì)數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來(lái)放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】

【例1】(2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知a=3°3,b=0.33,c=log",則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【解答過(guò)程】a=303>3°=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=log0,33<log0,3l=0,：.a>b>c.

故選：A.

【變式1-1](2024?四川自貢?三模)已知a=log2：,b=1.202,c=0.521,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=log2%在xe(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=log2|-<log2l=0即a<0；

因?yàn)閥=1.2,為增函數(shù)，故6=1,202>1.2°=1即b>1；

因?yàn)閥=0.5x為減函數(shù)，故0<OS2，]<0.5°=1即。<c<l,

綜上a<c<6.

故選：A.

034

【變式1-2](2024?貴州貴陽(yáng)?三模)已知a=4,b=(log4a),c=log4(log4a),則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到a>1,利用指對(duì)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到0<b<1,利用對(duì)數(shù)函

數(shù)單調(diào)性得到c<0,則比較出大小.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍=403>40=l,b=(log4a1=0.34<1,且OS4>0,則0<b<1,

c=log4(log4a)=log40.3<0,

所以a>b>c,

故選：A.

a

【變式1-3](2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))己知a=log020.3,b=Ina,c=2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得a,b的范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得c的范圍，即可比較大小.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=logo,2%在(。,+8)上單調(diào)遞減,所以logo,21<logo,20.3<log020.2,即0<a<1,

因?yàn)閥=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以lna<lnl,即b<。，

因?yàn)閥=2方在R上單調(diào)遞增，所以2a>2°,即c>l,

綜上，c>a>b.

故選：D.

【題型2中間值法比較大小】

【例2】(23-24高三上?天津南開(kāi)?階段練習(xí))已知a=eai,b=1-21g2,c=2-log310,則a,b,c的

大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值0,1,分析判斷即可.

【解答過(guò)程】由題意可得：a=e0-1>e。=1,

b=l-21g2=1-lg4,且0=Igl<lg4<IglO=1,則0<b<1,

因?yàn)閘og310>log39=2,則c-2—log310<0,

故選：B.

1

【變式2-1](2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè))已知a=(J人=Sg65,c=log56,貝()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】取兩個(gè)中間值1和I，由。=五>'|,b<log66=1,1=log55VcV狎可比較三者大小.

【解答過(guò)程】a=Q)2=疵>卡=：,b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a.

故選：C.

【變式2-2](2024?山東濰坊?二模)已知a=eT,b=Iga,c=e°,則()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合中間量0和1即可比較大小.

【解答過(guò)程】a=e-1e(0,1),b=\ga=Ige-1=-Ige<0,c=e°=1,

所以b<a<c,

故選：A.

31

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知。=0.5,b=log090.3,c=logi1,則a,b,c的大小關(guān)系為()

32

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值與,1”分析大小即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=0早在R上單調(diào)遞減，則0.5&1<0.51=p即a<

又因?yàn)閥=logo.9%在(0,+8)上單調(diào)遞減，則logo,90.3>logo>90.9=1,即b>1；

可得c=logi|=log32,且y=log?%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

32

則[=log3V3<log32<log33=1,epi<c<1；

綜上所述：a<c<b.

故選：D.

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))設(shè)Q=logo,50.6,b=0.49-°3,c=0.6-°6,則a,b,c的大小關(guān)系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=logosx在(0,+8)上單調(diào)遞減,^flUlog0,5l<log050.6<log050.5,即。<a<1.

因?yàn)閥=K。,6在(0,+8)上單調(diào)遞增，又0.49-0-3=O.7-06=(三)"6,O.6-0-6=

又:>夕>1,所以G)°’6>(予)06>1。.6,故C>6>1,所以c>b>a.

故選：A.

【變式3-11(23?24高二下?云南玉溪?期中)已知實(shí)數(shù)a,瓦c滿(mǎn)足2。+。=2,2匕+b=遮，c=log163,則

()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得C<構(gòu)造函數(shù)人比)=2方+居X(jué)CR,由函數(shù)的單調(diào)性得T<a<b及，即

可得出判斷.

1-1

【解答過(guò)程】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，C=log163<log164=log16162=

構(gòu)造函數(shù)/■(%)=2x+x,xER,則/'(a)=2。+a=2,/(/?)=2b+b=45

因?yàn)閥=2工和y=x單調(diào)遞增，所以f(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)?〈遮，即f(a)<f(b),所以a<b,

又f6)=23+[=誓<2,所以f(a)>f()即a"，

所以c<a<b,

故選：A.

i-1ii-1

【變式3?2】(2024?寧夏銀川?二模)若a=logF，b=(1)，，c=log34,d=則()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍=log"=log3,>logs^=1,g)VGY<G)=[vbvl'

I1

log34<log3=0=>c<0,

所以a>b>d>c.

故選：A.

i

【變式3?3】(2024?天津和平?一■模)設(shè)G)=2,b=logi3-logi9,c=%則有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助特殊值0,可得a最小，再利用提>。3得出仇c大小.

【解答過(guò)程】由0=2可得a=logi2<logil=0,

33

b=logi3—logi9=logi|=log23>1,c=0'=2E=V2>0,

下面比較仇c,

323

因?yàn)?2>(25)=8,所以3〉22,

~3a

所以b=log23>log222=

而c3=（溝3=2<（I）=y,故cv|,所以cVb,

綜上，b>c>a.

故選：B.

【題型4作差法、作商法比較大小】

【例4】（2023?四川成都?一模）若a=3一"b=?）二c=logij,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解題思路】先根據(jù)指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性可得0<aVI,0<fa<l,O1,再作商比較的大小，從而可

求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?<a=3一"V3。=1,0<b=（I）-1<（|）°=1,

c0-41.1111z11、12/1、121121

令戶(hù)J=3一巾x2一”3運(yùn)x2一§,而（3運(yùn)x2f=（3記）x=3X2-4=^<1,即3運(yùn)x

（2）

2~<1,所以Q<b,

又因?yàn)閏=logi|=logi^->logi-^->logi1=1,所以c>b>a.

25J]I?！?22

故選：D.

【變式4-1]（2023?貴州六盤(pán)水?模擬預(yù)測(cè)）若。=當(dāng)，6=殍，。=浮，則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用作差法，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)y=Inx的單調(diào)性分別判斷a,b和a,c的大小關(guān)系，即可判斷出a,瓦c

的大小關(guān)系.

【解答過(guò)程】因?yàn)閎—a=里—㈣=迎上陋=史坦>0,所以b>a；

3266

匚、

又-v-z因m為c-a=^ln5——ln-2=-21n5-—5-1n2=-ln25-—l-n32<0,所u以ia>c；

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

【變式4-2]（2024?四川成都?二模）若a=ln26,b=41n2Tn3,c=（l+ln3）2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解題思路】作差法比較a*的大小，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較a,c的大小.

【解答過(guò)程】a=ln26=（ln2+ln3）2,c=（Ine+ln3）2

因?yàn)閘n2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=In26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

則a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即b<a,

所以b<a<c.

故選：D.

【變式4-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若a=2°5I=3°25,c=logo/OS則a,瓦c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷見(jiàn)c范圍，比較它們的大小；利用作商法比

較a,b的大小，即可得答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)y=2%在R上單調(diào)遞增，所以。=20-4<20-5=V2.

111

又沖品=(釐戶(hù)守=(爵>1,所以b…&

______3

因?yàn)?.52=025<0.343,故0.5<<0.343=0.7%y=logo?%在(。,+°o)上單調(diào)遞減，

3o_

所以logo.70.5>logo,7(),75=->V2,所以a<c,

所以實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為b<a<c,

故選：B.

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

【例5】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知a=InZ,b=ln7xln2,c=臀，則()

2m2

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)。<ln2<1得到c的值最大，然后構(gòu)造函數(shù)f(x)-(l-ln2)lnx-ln2,根據(jù)/(x)的單調(diào)

性和/'(8)<0得到a<b.

【解答過(guò)程】因?yàn)?<ln2<l,所以a=ln7—ln2<ln7,b<ln7,c>ln7,故c的值最大.

下面比較a,6的大小.

構(gòu)造函數(shù)/'(%)=Inx—ln2—Inx-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

顯然n>)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?'(8)=ln8—ln2—ln8-ln2=ln2(2—ln8)=ln2(lne2—ln8)<0,所以a—b=/(7)<f(8)<0,所以

a<b,所以a<b<c.

故選：C.

1c

【變式5?1】（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=5，，b=-,c=log45,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解題思路】利用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過(guò)程】先比較。和b,構(gòu)造函數(shù)y=/在上（0,+8）單調(diào)遞增，

???@）4=5>等='">￡即a>b；

44

又?.?助=5,4c=410g45=log45,且45=4X256>5=625,

45

/.4c=log45<log44=5=4b,>c,

J.a>b>c.

故選：A.

【變式5-2]（2024?天津和平?一4模）已知a=log。,203b=logo^OZc=log23,則a,hc的大小關(guān)系為（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【解答過(guò)程】v0<a=log020.3<1,b=log030.2>1,c=log23>1,

又勺=logo30.2.log32=".史=等嗎

C80.353lg3-llg31g23Tg3

2

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=/—x=(x—￡)—3在(0，)上單調(diào)遞減，且"0)=0,又因?yàn)?>lg3>lg2>0,

所以f(lg3)</(lg2)<0,所以儒<1,即給|<1,所以g<l,

/Ugjjig□—igoc

b<c,即a<bVc.

故選：C.

【變式5-3](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)。,瓦。滿(mǎn)足小+log2a=0,2023f=log2023^c=log7V6,

則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解題思路】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.

【解答過(guò)程】設(shè)f(%)=/+log2X,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/@=一3<°"(1)=1>°'所以

設(shè)。㈤=(短丫

一Sg2023%，9(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

2023

又。（1）=康>。，9（2。23）=（七）"-l<0,所以1<b<2023,

因?yàn)閏=log7V6<log7V7=I，所以cV.

綜上可知，c<a<b.

故選：B.

【題型6數(shù)形結(jié)合比較大小】

【例6】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知a=Imr,>=log3;r,c=$Hn2,則a,瓦c的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過(guò)程】e<3<7T,a=loge7r>log37r=b>log33=1,即a>b>1,

a=ln7r=ln（V^）2,c=V^ln2=ln2低,

下面比較（四）2與2低的大小，構(gòu)造函數(shù)y=%2與y=2%,

由指數(shù)函數(shù)y=2%與基函數(shù)y=/的圖像與單調(diào)性可知，

當(dāng)％G(0,2)時(shí)，x2<2尤;當(dāng)％6(2,4)時(shí)，x2>2X

由％=低€(0,2),故(/)2<2?,故IrnrVln2標(biāo)，即aVc,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式6-1](2023?江西贛州?二模)若log?%=log4y=logsz〈一1,則()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3%D.5z<4y<3%

mmm

【解題思路】設(shè)log3%=log4y=log5z=m<-1,得到％=3,y=4,z=5,畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合得到答

案.

mmm

【解答過(guò)程】令log?%=log4y=log5z=m<-1,則％=3,y=4,z=5,

3%=3m+\4y=4m+\5z=5m+1,其中m+1V0,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=3x,y=4x,y=5”,

尸4":^^：

y=5：

m+l\0"""x

故5zV4yV3%

故選：D.

c

【變式6?2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知Q=C),(；)=^ogab,a=logic,則實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】由函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)存在性定理及畫(huà)出函數(shù)圖象，得到Q,b,C6(0,1),得到logabV1=logaQ,

求出b>a,根據(jù)單調(diào)性得到c=<g)a=a,從而得到答案.

【解答過(guò)程】令f(x)=(|)"-%,其在R上單調(diào)遞減，

X/(0)=1>0J(l)=-3<。，

由零點(diǎn)存在性定理得a6(0,1),

則y=loga%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

可以得到bE(0,1),

又丫2=在R上單調(diào)遞減，畫(huà)出=凝與=log”的函數(shù)圖象,

可以看出cG(0,1)，

因?yàn)镚)<G)=L故loga"<1=loga。，故">/

因?yàn)閍,cG(0,1),故a，>a1=a,

由a。=logical,c=G)<G)=a.

綜上，c<a<b.

故選：D.

【變式6-3](2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模)已知%,y,z均為大于0的實(shí)數(shù)，且*=3丫=logsz,貝大小關(guān)

系正確的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【解題思路】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2%,y=3%,y=logs%與直線y=t>l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系,

再作出圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)榫觵,z均為大于0的實(shí)數(shù)，

所以*=3y=iog5z=t>i,

進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=3x,y=logs%與直線y=t>1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，

故作出函數(shù)圖像，如圖，

由圖可知Z>x>y

故選：C.

[例7]⑵-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）設(shè)以b、c都是正數(shù)，且4a=6匕=9S則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.c<b<aB.abbe=acc.4b?9“=4°?9，D.-=---

cba

【解題思路】首先根據(jù)指對(duì)運(yùn)算，利用對(duì)數(shù)表示a,瓦c,再利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算，判斷選項(xiàng).

【解答過(guò)程】設(shè)4a=°=9。=k>1,所以a=log4k=意，b=log6k=康，c=log9k=總,

A.由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，0<10gze4Vlogk6<log/,可知cVbVa,故A正確;

logfc6(log4+log/-log"logfc36121og6

B.b(a+fc---------------=--------fe-----------------

logfc4-logk9log"logk44ogfc9

■■=2CLCj故B錯(cuò)誤;

logfc4-logfc9

C.4a-9C=(66)2=36b=(4.9y=#.》，故c正確.

D.(+;=log/i.4+log/c9=log/^36=21og^.6=貝4=--故D正確.

故選：B.

【變式7-1](2024?江西?模擬預(yù)測(cè))若ae°=blnb(a>0),貝1J()

A.a<bB.a=bC.a>bD.無(wú)法確定

【解題思路】令ae。=b\nb=fc,k>0,構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)圖象，即可比大小.

【解答過(guò)程】因?yàn)椤?gt;0,

所以ae。>a>0,

因?yàn)閍e°=blnb,

所以blnb>0,可得b>l,

令ae。=b\nb=k,fc>0,

所以e。=-\nb=p

afb

設(shè)/(%)—e*,g(x)=Inx,h(x)=一,

作出它們的圖象如圖:

由圖可知aV仇故選項(xiàng)A正確.

故選：A.

【變式7-21(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知見(jiàn)瓦c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，且Inc=alnbjna=bine,則a,瓦c

的大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【解題思路】分析可知，Ina、Inb、Inc同號(hào)，分a、b、cE(0,1)和a、b、cE(L+8)兩種情況討論，結(jié)合

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出a、b、c的大小關(guān)系.

【解答過(guò)程】Inc=alnb,\na=bine且a、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，

則Inc與Inb同號(hào)，Inc與Ina同號(hào)，從而Ina、Inb、Inc同號(hào).

①若a、b、c6(0,1),則Ina、Inb、Inc均為負(fù)數(shù),

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=alnb>Inb,可得c>b,止匕時(shí)a>c>b；

②若a、b、cG(1,+oo),則Ina、In。、Inc均為正數(shù)，

Ina=bine>Inc,可得a>c,Inc=alnb>Info,可得c>b,此時(shí)a>c>b.

綜上所述，a>c>b.

故選：D.

【變式7-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足e。+e12a=e。+e—。，b=log23+log86,c+

log2c=2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)e。+e~2a=ea+e"可得e。一e-c=ea-e-2a,由此可構(gòu)造函數(shù)/(%)=ex-e-x,根據(jù)外)

的單調(diào)性即可判斷a和c的大??；根據(jù)對(duì)數(shù)的計(jì)算法則和對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得b與2的大小關(guān)系；c+log2c=2

變形為log2c=2-c,利用函數(shù)y=Iog2%與函數(shù)y=2-汽的圖象可判斷兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)c的范圍,

從而判斷b與c的大小.由此即可得到答案.

【解答過(guò)程】ec+e~2a=e°+e~c=>ec—e~c=ea—e~2a,

故令/(%)=ex-e~x,則/(c)=ec—e-c,/(a)=ea-e~a.

易知y=-e~x=一★和y=e%均為(0,+8)上的增函數(shù)，故f(%)在(0,+8)為增函數(shù).

Ve~2a<e~a,故由題可知，ec—e-c=ea—e~2a>ea—e-a,即f(c)>/(a),貝!Jc>a>0.

易知b=log23+log2V6=log23V6>2,log2c=2—c,

作出函數(shù)y=log2］與函數(shù)y=2-％的圖象，如圖所示，

則兩圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)在（1,2）內(nèi)，即1VCV2,

???c<b,

:.a<c<b.

故選：B.

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）若。=0.3小5,\=38312盾=10826〃=「1,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【解題思路】由題意首先得0<aV1,d=V0,進(jìn)一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+

log23>2,從而我們只需要比較Iog34,log23的大小關(guān)系即可求解，兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即

可比較.

【解答過(guò)程】a=0.3115<0.31°=1,所以0<aVl,d=0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

又因?yàn)橹?畸<與善=篙<1,

log23In3-ln3In31n3（ln3）z

所以b<c,即d<a<b<c.

故選：B.

i

【變式8-1]（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知a=log35,b=2（|）\c=31og72+log87,貝!J（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式判斷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍=log35=ilog325<|log327=|,

1111

；（短）0（梟）"=（）,所以"2（丁>|且6<2，

c=31og72+log87=log784-log87>Z^/logyS-log87=2,

所以c>b>a.

故選：B.

【變式8-2]（2023上?安徽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a=回-舊力=6~\c=log53-|log35,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到a<b<c.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍==—

。=6三=層>卷=[，矗故。?工），

c=log53-|log35=1log527-|log325>|logs25-|log327=|-1=|,

所以a<b<c.

故選：A.

【變式8-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知a=log8」4,b=log31e,c=ln2.1,,則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【解題思路】先證明b>0,c>0,利用比商法結(jié)合基本不等式證明cVb,再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)

函數(shù)性質(zhì)證明Q<c即可得結(jié)論.

【解答過(guò)程】因?yàn)閎=log3.ie>0,c=ln2,1>0,

所以"=需=ln2.1Xln3,1<（1￡^1丫=（嚕）=

又e2=7.389,所以倔豆<e,所以InV^比<Ine=1,

所以：<1,故c<b,

b

因?yàn)閍=log4=21n2_ln2

8-1ln8.1-

又e2《7.389,所以8.1>e2,所以In倔T>1,

所以a<ln2,又ln2<ln2.1=c,

所以a<c,

所以a<c<b,

故選：A.

A過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=log62,b=log123,c=log405,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】取到數(shù)計(jì)算得4=1+警，工=1+萼，作差法比較匕工的大小，即可得到b,c大小，利用中間

blg3clg5bc

值押可比較a,c大小.

【解答過(guò)程】?.,1=log312=1+log34=1+苔=1+-=log540=1+logs8=1+瞿=1+

。lg3lg3Clg5Igb

11212312

?g§=21g2xlg5-31g2xlg3_lg2⑵g5-31g3）_Ig2（lg25-lg27）<0

?*bclg3lg5Ig3xlg5Ig3xlg5Ig3xlg5'

iI

又b>0,c>0,b>c.

bc

V-=1+log58<14-log5V125=1+log552=|,c>|；

2

i,—￡5a<-

V-=log26=1+log23>1+log2V8=1+log222=5

??Cl<c.

.*.a<c<b.

故選：D.

2.（2024?安徽宿州?一模）已知37n=4,。=2加一3,6=46一5,貝（1（）

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

【解題思路】由作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式比較得Iog23>log34>log45,即

可判斷大小.

【解答過(guò)程】由3加=4na=log34,

10g23_log'=晝_位:史Tg*>礴-（喳詈）2=41g23Tg28=函9化8

183lg2lg3Ig21g3Ig2-lg341g2-lg341g2.lg3

[ogM_1。/5=躍_度」gZ4Tg3.1g5〉葉4-（當(dāng)?shù)?=喑4Tg2土」g216Tg215>0,

lg3lg4Ig3-lg4Ig3-lg441g3-lg441g3-lg4

?*-log23>log34>log45,

;.b=4m-5>4^45-5=0,a=2m-3<2io^3-3=0,

AZ?>0>a.

故選：B.

3.（2024?貴州畢節(jié)?一模）已知a=31og83,b=-1logil6,c=log43,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

23

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

【解題思路】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)見(jiàn)瓦c,并判斷范圍，采用作差法結(jié)合基本不

等式可判斷a即可得答案.

【解答過(guò)程】由題意可得a=31og83=3x筆=log23>1,

10g22

b=-1logil6=-g義蜜畢=log34>1,0<c=log43<1,

2

32log3-

又10g23-10g34=臀-蟲(chóng)=（吁產(chǎn)嗎

8283lg2ig3Ig21g3

由于lg2>0Jg4>0,lg2Hlg4,???1g21g4<（吧詈>=（lgV8）2<（lg3）2,

故log23-log34>0,/.a>bf

綜合可得a>b>c,

故選：A.

c=lo

4.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=（5），6=Q），g2（log34）,貝|（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，找出中間值0,1,讓其和見(jiàn)瓦c進(jìn)行比較，從而得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，y=（|7在R上單調(diào)遞增，故a=g）0'7>（|）°=1；

由y=（J的值域，且在R上單調(diào)遞增可知，℃=（|）°，<仔）°=1；

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，y=log3%在(。,+8)上單調(diào)遞增，故log34>log33=1,由y=log”在(0,+8)上

4

單調(diào)遞減，故c=log3(log4)<logsl=0.結(jié)合上述分析可知：c<0<b<l<a.

434

故選：A.

1

5.(2024?云南昆明,模擬預(yù)測(cè))已知Q=e§,b=ln2,c=log32,貝Ua,的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

【解題思路】引入中間變量1,再利用作差法比較hc的大小，即可得答案；

1

【解答過(guò)程】a=e3>e°=1,b=ln2<Ine=1,c=log32<log33=1

,*,a取大，

6-c=ln2-log32=J|-g=lg2-(^-^)>0,b>c,

a>b>c,

故選：B.

c2a3bc5c

6.(2024?陜西寶雞?一模)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足牙=(a=(=2,貝！|()

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】先應(yīng)用指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換求出a,b,c,再轉(zhuǎn)化成整數(shù)幕比較即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)槿??=?=2,所以e2a=4,e3b=6,e5c=10,

即得2a=ln4,3b=ln6,5c=InlO得a=ln2,b=lnV6,c=InVlO,

因?yàn)閥=In%是(0,+8)上的增函數(shù)，比較2,遍,濘的大小關(guān)系即是a,he,的大小關(guān)系，

2,苑V1U同時(shí)取15次幕，因?yàn)槿瘮?shù)y=鐘在(0,+8)上是單調(diào)遞增的，比較2叱65,1()3即可，

因?yàn)?*=524288,65=7776,103=1000所以2上>103>65

即2>V10>連，即得a>b>c.

故選：A.

7.(2023?湖南永州?一模)已知a=log3ii,b=-,c=-—，則()

log3-n-l2-log3ir

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出aC(1,1.5),從而確定b>2,ce(1,2),作差法判斷出a<c,從

而求出答案.

【解答過(guò)程】a=log3n>log33=1,

33

因?yàn)?5=V27>IT,所以Q=log3n<log332=1.5,

所以QC(1,1.5),

logn-1G(0,0.5)，故b=-~~>2，

3log3-n-l

2-log3TTe(0.5,1),故c=—i—G(1,2),

2-10g3Tl

令…=log3ir--一=網(wǎng)第丁。皿2;i=二0。邸-氏<0

2—log3Tl2—log3H2—log3ll

所以a<c<b.

故選：D.

8.(2023?陜西西安?一模)已知函數(shù)/(x)=-2x,若2。=log2。=c,則()

A.f(b)</(c)<f(a)B./(a)<f(b)<f(c)

C./(a)</(c)<f(b)D./(c)<f(b)<f(a)

x

【解題思路】在同一坐標(biāo)系中作y=c,y=2,y=log2x,y=x的圖像，得到a<c<b,借助/'(久)=-2x的單

調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

【解答過(guò)程】/(x)=-2x在R上單調(diào)遞減，

x

在同一坐標(biāo)系中作y=c,y=2,y=log2x,y=x的圖像，如圖：

所以a<c<b,故/'(b)</(c)</(a),

故選：A.

二、多選題

9.(2024?河