元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合測(cè)試卷（新高考專(zhuān)用）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合測(cè)試卷

(新高考專(zhuān)用)

(考試時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.(5分)(2024?湖北襄陽(yáng)?二模)已知函數(shù)/(%)=/+士貝()

1

A-1B.5C.2D.4

【解題思路】由題意，根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則可得尸(1)=1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【解答過(guò)程】由題意知，八x)=2x-3則=

所以fO+常毋1)=1limfC⑴=i八1)=i

故選：B.

2.(5分)(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)(0)=修(>2一2%+2)的圖象在點(diǎn)(-1/(一1))處的切線方程為()

A.x+ey—4=0B.%—ey+6=0C.ex—y+6=0D.ex—y+e+|=0

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答過(guò)程】由f(x)=ex(%2-2%+2),可得/'(%)=x2ex,

WZ(-1)=7又汽―1)=e-x[(-l)2-2x(-1)+2]=：,

則所求切線方程為y-|=；(x+l),即*—ey+6=0.

故選：B.

3.(5分)(2023?上海閔行?二模)某環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、

設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間/的關(guān)系為w=/(t),用-，竺的大小評(píng)價(jià)在阿句這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治

b-a

理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.則下列正確的命題是

()

污

水

達(dá)

標(biāo)

排

放

量

A.在上工2］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

B.在±2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

C.在與時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo)；

D.甲企業(yè)在［辦加這三段時(shí)間中，在上工21的污水治理能力最強(qiáng)

【解題思路】根據(jù)題目中的數(shù)學(xué)模型建立關(guān)系，比較甲乙企業(yè)的污水治理能力.

【解答過(guò)程】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量勿與時(shí)間t的關(guān)系為W=乙企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系

為W=g(t).

對(duì)于A選項(xiàng)，在比,均這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力九?)=—“切一”口),

12Tl

乙企業(yè)的污水治理能力g(t)=_g⑸)-g(ti).由圖可知,八。1)一八Q2)>g(h)—g(t2)，

七2Tl

所以h(t)>g(t),即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，八(￡)在灰時(shí)刻的切線斜率小于g(t)在以時(shí)刻的切線斜率，

但兩切線斜率均為負(fù)值，故在12時(shí)刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，在13時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，

故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達(dá)標(biāo)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知,甲企業(yè)在［0,切，國(guó)1，均，［辦句這三段時(shí)間中，

在時(shí)八(ti)一出它)的差值最大，所以在時(shí)的污水治理能力最強(qiáng)，故D選項(xiàng)正確，

故選：D.

4.(5分)(2024?江西宜春?三模)已知。=上，6=黑，c=苧，其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),

2ye2V24

則()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】首先將a,6,c化成統(tǒng)一形式，構(gòu)造函數(shù)f(x)=?(%>0),研究單調(diào)性進(jìn)而比較大小即可.

【解答過(guò)程】由題意得。=三=竿，6=整=噂，。=苧=竿=?；

2Ve2V2V2442

設(shè)/(%)=￥,則八%)=手，

當(dāng)0V%Ve時(shí)，/(x)>0,所以/(%)單調(diào)遞增，又。<四<代<2<?,

所以/(魚(yú))</(Ve)</(2),即V所以b<a<c.

故選：A.

5.(5分)(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=駟箸竺+x在(0,TT)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.卜A)B.(0,日叫C.仔,+8)D.仁武+8)

【解題思路】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在(0,元)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再進(jìn)行參數(shù)a的討論即

可.

【解答過(guò)程】由題意得/(X)=二詈+1.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,n)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，貝好'(比)在(0m)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

當(dāng)aW。時(shí)，/(%)>0在(OJT)上恒成立，不符合題意.

當(dāng)a>0時(shí)，令八(切=二詈+1,則/(久)=染尸包=理號(hào)吱，

當(dāng)％E時(shí)，h'(x)>0,所以h(%)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)％C(0()時(shí)，h%x)<0,所以以%)在(05)上單調(diào)遞減，

又h(0)=ft(TU)=1fh(B)=1——

所以九G)=l—與VO,則a>苧自，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是母￡,+8).

故選：D.

6.(5分)(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)為定義在R上的函數(shù)/(久)的導(dǎo)函數(shù)，/(久-1)為奇函數(shù)，

f(x+l)為偶函數(shù)，且/'(0)=2,則下列說(shuō)法不正確的是()

A./(0)=/(2)B.八-1)+/'⑶=0

C.八4)=2D.if(2i)=-22

【解題思路】由奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)可得/(—x—1)=—f(x—1)與/(一%+1)=/(%+1),分別對(duì)兩式兩

邊求導(dǎo)可得/'(-久-1)=f\x-1)與/'(-x+1)+y'(x+1)=0,進(jìn)而可得/'(久)的一個(gè)周期，結(jié)合賦值法

及周期性判斷各項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)槿司靡?)為奇函數(shù)，所以f(一％-1)=一/。-1),①

因?yàn)閒(x+l)為偶函數(shù)，所以f(—x+1)=f(x+l),②

對(duì)①兩邊求導(dǎo)可得一f'(一X-1)=一/''(X-1),即/—X-1)=/'(X-1),③

對(duì)②兩邊求導(dǎo)可得-/'(一x+1)=/'(x+1),即/'(一x+1)+f'(x+1)=0,④

對(duì)于A項(xiàng)，將X=1代入②可得-0)=/(2),故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，將x=2代入④可得尸(一1)+/'(3)=0,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng),將x=3代入④可得/'(—2)+/'(4)=0,將x=1代入③可得;—2)=汽0)=2,所以/'(4)=—

2,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由③可得—-2)—1)=/'((%—2)—1),即f'(—x+l)=f'(x-3),⑤

所以由④⑤可得/'(X—3)=—/'(x+1),⑥

所以由⑥可得/'((x+3)-3)=-f'((久+3)+1),即八x)=-/'"+4),⑦

由⑦可得/''(久+4)=-/(比+8),⑧

所以由⑦⑧可得八x)="x+8),故8是尸(x)的一個(gè)周期.

所以八8)=八0)=2,

將x=1代入④可得/(0)+/'(2)=0,即/'(2)=-2,

由C項(xiàng)知，f'(4)=-2,

將x=2代入⑦可得/'(2)=一f'(6),即f'(6)=2,

所以2魯i/z(2i)=f'(2)+2/'(4)+3八6)+4f/(8)+…+9/'(18)+10/'(20)=(-1-2+34-4-5-

6+7+8-9-10)X2=-22,故D項(xiàng)正確.

故選：C.

7.(5分)(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))設(shè)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f(>)的導(dǎo)函數(shù)為y=f0),若f'(x)+(比+l)2

也為偶函數(shù)，且f(2a+4)>/(。2+1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,-1)u(3,+8)B.(-CO,-3)U(1,+co)

C.(-3,1)D.(-1,3)

【解題思路】先令g(x)=f(x)+(x+l)2,判斷g。)的單調(diào)性及奇偶性，由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶

性即可求解不等式.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=/(x)為偶函數(shù)，

所以/(-%)=/(%),所以一/'(一％)=/'(%),

令9(%)=/W+(%+1)2,

因?yàn)?'(%)+(%+1)2為偶函數(shù)，

則。(一X)=g(%)，即/'(-%)+(-%+I)2=/(%)+(%+1)2,

即一/(%)+(—％+1)2=/(%)+(%+I)2,

所以/'(汽)=-2x,

當(dāng)％>0時(shí)，/(%)=-2%<0,即f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

由/(2。+4)>/(a2+1),即f(|2a+4|)>f(a2+1),

所以|2a+4|V4+1,即—(次+1)<2a+4</+1,解得a<—1或a>3,

即實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(一8,-1)u(3,+8).

故選：A.

8.(5分)(2024?四川?三模)已知關(guān)于％的方程e2%—a%e%+9e2%2=o有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別記為

則—e)(：—。)(，—e)(,—e)的取值范圍為()

4444

A.(0,16e)B.(0,12e)C.(0,4e)D.(0,8e)

【解題思路】變形給定方程，構(gòu)造函數(shù)f(無(wú))=g利用導(dǎo)數(shù)探討方程t=m取得兩個(gè)不等根的t的范圍，再借

助一元二次方程求解即得.

【解答過(guò)程】顯然第=0不是方程e2%-axex+9e2x2=0的根，

則方程e?%-axex+9e2x2=0的根即為方程彳)？一。~+9e2=0的根，

令力=亍，得/一成+9e2=0,設(shè)/(%)=亍，求導(dǎo)得/'(%)=，

由/'(%)<。，得％V?；騉VxVl，由/(%)>0,得x>1,

即函數(shù)/(%)在(一8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,/(I)=e,

作出/(%)的大致圖象，如圖，

依題意，方程產(chǎn)-at+9e2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為打，以，

觀察圖象知，方程t2-at+9e2=0的每一個(gè)根，由t=H得兩個(gè)不同的x值，

X

(△=次—36e2>0

于是ti+上=。"也=9e2,且ti>e,《2>e,由｛e，解得6eVa<10e,

Ie2—ae4-9e2>0

222222

貝!J(_—e)(——e)(——e)(——e)=—e)(t2—e)=?住2-et]—et2+e)=(10e—ae),

X\%2X3%4

由6eVaVlOe,得0<(10e2—ae)2<16e4,

所以(?一e)(——e)(——e)(——e)的取值范圍為(0,16e4).

%2%3%4

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(2023?河南?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/O),g(x),g'(x)是貝久)的導(dǎo)函數(shù)且定義域也是R,

若g(久)為偶函數(shù)，/(%)+g'Q)=3,/(久)—g'(2—X)=3,貝I]()

A./(8)=3B.g'(-6)=lC./(一1)+f(3)=6D.g'(—3)—/(3)=6

【解題思路】先根據(jù)已知條件判斷g'O)的奇偶性和周期性，再結(jié)合已知條件求相應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)行判斷.

【解答過(guò)程】由gO)為偶函數(shù)，得g(-x)=g(x),兩邊求導(dǎo)，得一g'(-x)=/(久)，所以g'(x)為奇函數(shù)，所

以g'(0)=0，由f(x)+g'o)=3及/'(%)-g'(2-x)=3,得g'(x)+g'(2-x)=0,所以。'(久)=g'(x-2),

故g6)的周期為2.

所以g'(8)=g'(—6)=g'(0)=0,又/(8)+g'(8)=3,所以/(8)=3,故A正確，B錯(cuò)誤；

由/'(%)+g'(x)=3,得/■(一1)+/(-1)=3,/(3)+g'(3)=3,又g'(x)+/(2-%)=0,所以+g'(3)=

0,所以f(—1)+/(3)=6,故C正確；

由f(x)+9‘(x)=3,得f(3)+g'(3)=3,所以g'(—3)—f(3)=g'(—3)-3+g'(3)=-3,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.(6分)(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)(0)=3欠-2。則()

A.f(x)是R上的增函數(shù)B.函數(shù)h(x)=/(久)+久有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)f(x)的最小值為-1D./(久)存在唯一個(gè)極值點(diǎn)

【解題思路】對(duì)于A：求導(dǎo)，代特值檢驗(yàn)即可；對(duì)于B：分x=0、工>0和％<0三種情況，結(jié)合函數(shù)值的

符號(hào)分析判斷零點(diǎn)；對(duì)于C：分x=0、x>0和x<0三種情況，可得/'(x)>-1,即可判斷；對(duì)于D：根

據(jù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析可知mxoCR,使/(&)=0,進(jìn)而判斷f(x)的單調(diào)性和極值.

【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閒(x)=3—2X,則八x)=3xln3-2/2=2X[(|)%ln3-ln2),

1G

當(dāng)

貝d

X-a-Ht,u可得0ln3—ln2=lnV3—ln2<0,

10r2

即/(%)=3%ln3—2%ln2<0,所以/(%)=3%一2%不是R上的增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閔(%)=f(x)+x,

當(dāng)％=0時(shí)，/i(0)=/(0)+0=0,可知％=0是九(%)的零點(diǎn)；

當(dāng)％>0時(shí)，/i(x)=/(x)+%=3X—2x+%>0,可知九(%)在(0,+8)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)x<0時(shí)，0<<1,則/O)=2X[(17-1]<0,

可得無(wú)(無(wú))=f(x)+x<0,可知h(無(wú))在(一8,0)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；

綜上所述：函數(shù)/i(x)=f(x)+%有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=3X-2X>0；

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=3°-2°=0；

當(dāng)x<0時(shí)，則0<3欠<1,0<2Z<1,可得/'(x)=3X-2方>-2X>-1,

綜上所述：所以一1不是函數(shù)f(x)的最小值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?3Bn3-252=2》[(|)1n3-ln212X>0,

所以f'0)的符號(hào)決定于(|fln3—M2,

顯然y=(|)Xln3-ln2是R上的增函數(shù)，

又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，G)“l(fā)n3-ln2=ln3-ln2>0；

當(dāng)x=logg(時(shí)，停)ln3—In2=lnV3—ln2<0,

所以m&eR,使/'3)=0,

所以/'(X)在(一8,%0)上為減函數(shù)，在(右,+8)上為增函數(shù).

所以/(%)有唯一極小值點(diǎn).故D正確.

故選：BD.

11.(6分)(2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(久)=a久(e"+『X)一e》+1工恰有三個(gè)零點(diǎn)Xi，x2,x3,

且0<k3，貝?()

A.%1+%2+%3=0B.實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1]

C.+1>0D.ax3+a>1

【解題思路】利用f(x)的奇偶性可判斷A選項(xiàng)；將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，再利用導(dǎo)

數(shù)和基本不等式確定切線斜率的取值范圍，進(jìn)而得實(shí)數(shù)a的取值范圍，即可判斷B選項(xiàng)；由。勺+1=導(dǎo)7

ezxi+l

來(lái)可判斷C選項(xiàng)；由a%3=1-苫I三得。=e(1一巖石)，進(jìn)而a%3+Q>1等價(jià)于e2%3-2右一1>0，令

/i(x)=e2x—2x—l(x>0),用導(dǎo)數(shù)證明h(%)>0,即可判斷D選項(xiàng).

【解答過(guò)程】函數(shù)/(%)=ax(ex+e-x)-ex+已-"定義域?yàn)镽,

/(—%)=a(—x)(e-x+ex)—e-x+ex=—[ax(ex+e-x)—ex+e-x]=—/(%),

所以/(%)是奇函數(shù)，則f(0)=0,

又因?yàn)?(%)有三個(gè)零點(diǎn)且第1V%2〈汽3，f(xD=/(%2)=/(%3)=。，

所以％i=—的，X2=0,即％I+%2+%3=°，故A選項(xiàng)正確；

“PX—P-XP2X—17

f(x)=ax(ex+e-x)-ex+e-x=0,侍ax==1一；5777，

令g(x)=l-J*,則g'(x)=>0,所以/'(x)在R上增函數(shù)，

e+1(e2x+l)

當(dāng)且僅當(dāng)汽=0時(shí)取等號(hào)，即0Vg(x)<1,

所以0Va<l,故B錯(cuò)誤；

ax1+1=(1—苫g)+1=^71>°，故C選項(xiàng)正確；

由倏=1一磊得口=11——又與〉0，

-2x

要使a久3+a=1—e2x：+l+|(1e3+l)>1成立,則e?”-2%3-1>0成立,

令/i(%)=e2%-2x—l(x>0),/1(x)=2(e2x—1)>0(%>0),

所以h(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，則h(%)>/i(0)=0,

于是e2%3—2久3-1>0,則a%3+a>1，故D正確.

故選：ACD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=G的圖象與函數(shù)y=alnx的圖象在公共點(diǎn)處有相同

的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解題思路】設(shè)公共點(diǎn)為(打，%)，由心=巴，可得x°=4a2(a>0),進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)可得［,求

24工0%olain%。一7x0

解即可.

【解答過(guò)程】函數(shù)y=alnx的定義域?yàn)?0,+8),可得f'(久)=由g'(x)=擊，

設(shè)曲線f(%)=aln%與曲線g(%)=C的公共點(diǎn)為(&,yo),

由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，所以右=巴，所以與=4。2(。>0),

“XoXQ

由f(%o)=9(%o)，可得Qln%0=國(guó),聯(lián)立可得［;°~^a.—，

(Qin%。=A/%Q

解得xo=e2,所以y°=e,所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為(e2,e).

故答案為：(e2,e).

13.(5分)(2024?四川成都?三模)若不等式emxgx-ln2)-xln/20,對(duì)任意％e卜，+8)恒成立，則

正實(shí)數(shù)小的取值范圍是_1上旦)

【解題思路】將已知變形為通過(guò)不等式3In?>xlnx恒成立，進(jìn)一步利用g(t)=tint/>:的單調(diào)性得到

m>?對(duì)任意XG［i,+8)恒成立，進(jìn)一步即可求解.

【解答過(guò)程】若不等式emx(nu；-ln2)—xlnx2>0,對(duì)任意xe+8)恒成立，則與-In8->xlnx,

mxa。11

而m>0,所以o-^>彳=彳>-，

222e

設(shè)g(t)=tint,t>貝！Jg'(t)=Int+1>0,

所以g(t)在卜,+8)上單調(diào)遞增，從而-2%,

即m>”對(duì)任意％e卜，+8)恒成立，

設(shè)f(x)=",則-0)=書(shū)名，

當(dāng)"x<?!時(shí)，/'⑴>0,/(%)在g0上單調(diào)遞增，

當(dāng)%時(shí)，/'(%)<0,/(%)在6,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)汽=；時(shí)，/(x)min=/Q)=7

綜上，正實(shí)數(shù)血的取值范圍是E+8).

故答案為：[：,+8).

14.(5分)(2024?天津?一模)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%)滿(mǎn)足/(%)=/(5x),當(dāng)％G[1,5)時(shí),/(%)=Inx.

若在區(qū)間[1,25)內(nèi)，函數(shù)g(%)=/(%)-我有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為目

Inx1Vxv5

lnx"二”一”畫(huà)出函數(shù)圖像，計(jì)算直線y=ax與函數(shù)相切和過(guò)點(diǎn)

(in5,J人乙J

(25/n5)時(shí)的斜率，根據(jù)圖像得到答案.

【解答過(guò)程】函數(shù)/(%)滿(mǎn)足/(%)=/(5x),當(dāng)%6[1,5),f(x)=Inx,

所以當(dāng)xe[5,25),聲[l,5),f(x)=/g)=ln|,

fInx,1<%<5

故f(久)=j]n工5Vx<25'9(久)=/(%)—ax-0)/(%)=ax,

畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，觀察圖像可知，要使函數(shù)g。)=/(久)-ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，

則直線y=ax應(yīng)在圖中的兩條虛線之間，

上方的虛線為直線與人式)=In^(5<x<25)相切時(shí)，

下方的虛線是直線y=ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)(25,ln5)時(shí)，

當(dāng)直線y=ax與/'(%)=Inf(5<%<25)相切時(shí),

/&)=(設(shè)切點(diǎn)為p[o，l吟)，

則斜率a=工=上5°,ln^=1,/.x0=5e,此時(shí)。=｝，

XQ3一055e

當(dāng)直線y=a%經(jīng)過(guò)點(diǎn)(25,ln5)時(shí)，a=fc=

故答案為：償,J.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(23-24高二下?上海閔行?階段練習(xí))遙控飛機(jī)上升后一段時(shí)間內(nèi)，第ts時(shí)的高度為/"(t)=5t2+

45t+4,其中上升高度/(t)的單位為m,f的單位為s；

(1)求飛機(jī)在[1,2]時(shí)間段內(nèi)的平均速度；

(2)求飛機(jī)在七=2s時(shí)的瞬時(shí)速度.

【解題思路】(1)根據(jù)平均變化率計(jì)算；

(2)根據(jù)瞬時(shí)變化率計(jì)算.

【解答過(guò)程】⑴"股@=5x22+45x2+4-(5x12+45x1+4)=6()⑺/。

2—11

(2)第2s末的瞬時(shí)速度為lim?=lim段竽酸

△10AtAt-OAt

5(2+At)2+45(2+At)+4-(5x22+45x2+4)

=lim------------------------------------------------------------------------

△t-oAt

=lim+65At_]jm[5(At)+65]=65(m/s).

△t—oAtAt-?0

因此，第2s末的瞬時(shí)速度為65m/s.

16.(15分)(2024?陜西渭南?二模)已知函數(shù)f(%)=%ln%,g(x)=—%+1.

(1)求函數(shù)g(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)久>0時(shí)，mx2—ex<7n/(%)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)求出函數(shù)g(%),再利用導(dǎo)數(shù)求出或式)的單調(diào)區(qū)間.

(2)等價(jià)變形給定不等式得-In%)<ex-lnx,令t=%-In%并求出值域，再換元并分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，

求出函數(shù)的最小值即得.

【解答過(guò)程】(1)依題意，函數(shù)g(%)=21n%：的定義域?yàn)?0,+8),

求導(dǎo)得/(%)=|-1-I)2<0,當(dāng)且僅當(dāng)工=1時(shí)取等號(hào)，

即g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)9(%)的遞減區(qū)間為(0,+8),無(wú)遞增區(qū)間.

(2)當(dāng)久>0時(shí)，mx2—ex<m/(x)<=>mx2—ex<mx\nxQm(x—In%)<^-=e"Tn%恒成立，

令h(%)=x—\nx,x>0,求導(dǎo)得h(%)=1—

當(dāng)0V久<1時(shí)，h/(x)<0,當(dāng)％>1時(shí)，/i(x)>0,

即函數(shù)九(%)在(0,1)上遞減,在(1,+8)上遞增，則當(dāng)l>0時(shí)，h(x)>h(l)=1,

令t=x—In%,依題意，Vte[1,4-oo),mt<ef?m<(恒成立，

令求導(dǎo)得w'(t)=e(；廣)K0,則函數(shù)？(t)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)t=1時(shí)，9(t)min=9(1)=e,因此m<e,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍(一8,e].

17.(15分)(2024?北京?三模)已知f(%)=—aln%—a%—1.

(1)若a=-1,求曲線y=f(%)在點(diǎn)P(l,2)處的切線方程；

(2)若函數(shù)y=/(%)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)％1，第2，求證：/(%i)+/(%2)>。?

【解題思路】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程;

(2)由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系先表示/(勺)+/(%2)，然后結(jié)合二次方程根的存在條件即可證明.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)。=一1時(shí)，/(%)=2Vx+Inx+%-1,

爪)=?：+1/⑴=3，

所以曲線y=/(%)在點(diǎn)P(L2)處的切線方程為y-2=3(%-1),即y=3x-1；

(2)/'(%)=^=--~a,

yjxX

令f(%)=。，得〒----a=0r令￡=y/xf貝！Jt>0,

'y/Xx

原方程可化為a產(chǎn)-t+a=0①，則方=恒也=恒是方程①的兩個(gè)不同的根,

(△=1-4a2>01

所以1、八，解得0Va</

I；>02

由韋達(dá)定理得ti+t2=("也=1，貝際+g=(ti+b)2-21也=5一2,

-2

所以+/(%2)=2(61+7^2)一磯1皿+lnx2)-a(%i+x2)

=2(h+t2)-aln(t"分—+g)—2=2a+[—2,

令h(d)=2aH---2(0<aV萬(wàn))，則/i(a)=2—<0(0VaVJ,

所以函數(shù)h(a)在(0，)上單調(diào)遞減，

所以/i(a)=2ad---2>h(J=1>0,

所以/(%1)+/(%2)>。.

18.(17分)(2023,山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=In%-a+/(a>0).

(1)若曲線y=/(%)在點(diǎn)處與無(wú)軸相切，求a的值;

⑵求函數(shù)八久)在區(qū)間(l,e)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；

(2)由/''(久)=0,求得％=a,分類(lèi)討論％=。與(1了)的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及零點(diǎn)存在定理,

即可判斷出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答過(guò)程】(1)由題意得f(x)=lnx—a+久a>0)定義域?yàn)?0,+8),

f7G_1a_x-a

因?yàn)閥=fO)在點(diǎn)(Lf(D)處與x軸相切，且/'(1)=o.

所以f'(l)=l—a=0,解得a=l.經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意.

(2)由(1)知/''(%)=爰，令/''(X)=0,得％=a,

當(dāng)久<a時(shí)，/(%)<0,當(dāng)x>a時(shí)，/(%)>0,

(i)當(dāng)0<aS1時(shí)，xG(l,e),f'(x)>0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增.

所以f(x)>/(D=0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(l,e)上無(wú)零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)l<a<e時(shí)，若1cx<a,貝!|/'(x)<0,若a<x<e,貝行(%)>0.

函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(a,e)上單調(diào)遞增.

且/'(1)=0,則f(a)<f(1)<0,而f(e)=1—a+：.

當(dāng)f(e)=1—a+9>。，即1<。<三時(shí)，函數(shù)/O)在區(qū)間(l,e)上有一個(gè)零點(diǎn)；

ee—1

當(dāng)f(e)=l-a+：W0時(shí)，即當(dāng)言Wa<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(l,e)上無(wú)零點(diǎn)；

(iii)當(dāng)aNe時(shí)，x6(l,e),f\x)<0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞減.

所以f(x)</(l)=0,所以函數(shù)人支)在區(qū)間(l,e)上無(wú)零點(diǎn).

綜上：當(dāng)0<aWl或a2六時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(l,e)上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)1<a<六時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(l,e)上有一個(gè)零點(diǎn).

19.(17分)(2024?福建南平?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú))=等，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論人支)的單調(diào)性；

(2)若方程/(%)=1有兩個(gè)不同的根%1，%2?

⑴求a的取值范圍；

(ii)證明:就+后>2.

【