相似三角形存在性問(wèn)題-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專題08相似三角形存在性問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)，使得由該點(diǎn)及其他點(diǎn)構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問(wèn)題”.

【相似判定】

判定1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形；

判定2:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形是相似三角形；

判定3:有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標(biāo)系中相似三甭形存在性問(wèn)題的方法來(lái)源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，解決

問(wèn)題.

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個(gè)是已知的，而另一三角形中有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即可分為“單動(dòng)點(diǎn)''類、"雙動(dòng)點(diǎn)”

兩類問(wèn)題.

【思路總結(jié)】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會(huì)用的，這里也一樣不怎么用，對(duì)比判定2、3可

以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個(gè)三角形必然有相等角，關(guān)鍵點(diǎn)也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1:兩相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；

思路2:還存在另一組角相等.

事實(shí)上，坐標(biāo)系中在已知點(diǎn)的情況下，線段長(zhǎng)度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個(gè)問(wèn)題就可以了.

二、典例精析

例一、如圖，拋物線y=ox2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)。(2,

-3).點(diǎn)。是拋物線y=G?+bx+c上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,直線。。與線段相交于點(diǎn)E,當(dāng)與aABC相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】

（1）拋物線：y=f-2元-3;

（2）思路：考慮到△ABC和△80E有一組公共角，公共角必是對(duì)應(yīng)角.

/ABC的兩邊BA、BC與々OBE的兩邊BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E—_B_A_B_E—_B_C

BOBCBOBA'

解得：BE=2?或BE=20

4

39

故E點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）或

4，-4

當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）時(shí)，直線0E解析式為y=-2x,

2

聯(lián)立方程：-2x=x-2x-3,解得：x、=g,x2=-A/3,

此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6,-2吟或（-6,2⑻;

39

當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線OE解析式為、=-3無(wú)，

4，-4

_i+./TT-I-A/13

聯(lián)立方程：一3尤=f-2x—3,解得：x,="

、

此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)為或

/

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(四,-2后)或卜否,2石)或或

說(shuō)明：過(guò)程應(yīng)詳細(xì)分類討論兩種情況，分別求出結(jié)果.

例二、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-l與拋物線y=-%2+bx+c交于A、B兩點(diǎn)、,其中A(m,0)、

B(4,n),該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與％軸交于另一點(diǎn)O.

(1)求加、〃的值及該拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接3D、CD,在線段CO上是否存在點(diǎn)Q,使得以A、D、。為頂點(diǎn)的三角形與△A3。相似,

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

拋物線解析式為y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例

由題意得。(5,0),故直線解析式為：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.￡CDA=ABAD,

考慮到點(diǎn)。在線段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亞,

故Q點(diǎn)坐標(biāo)為［，-1］或(2,-3).

三、中考真題演練

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線y=-/+bx+c上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)M

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

⑶點(diǎn)。是線段3c（包含點(diǎn)2,。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)。，交直線CM于點(diǎn)N,

若以點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三角形與VCO般相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且。"=2可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為“（0,-2）,利用待定系數(shù)法可得拋物線

的解析式為丁=*+守+2；

（3）由NCOM=90?？芍?，要使點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三角形與VCOM相似，則以點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三

角形也是直角三角形，從而分/CQN=90。和NQCN=90。兩種情況討論，①當(dāng)/CQN=90。，可推導(dǎo)B與

點(diǎn)。重合，ACQNsAcOM,即此時(shí)符合題意，利用求拋物線與無(wú)軸交點(diǎn)的方法可求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；②當(dāng)

ZQCN=90°時(shí)，可推導(dǎo)AOCNSACOM,即此時(shí)符合題意，再證明△QDCsMOM,從而得到QD=2DC,

再設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為q,貝1]。,-/+口+2)。(%0),從而得到一q2+：g+2=2(3F),解得q的值,

從而得到點(diǎn)。的坐標(biāo)，最后綜合①②即可；

【詳解】(1)解：：點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且加=2,

AAf(O,-2)

將4(0,2),C(4,0)代入yh-d+fec+c,得

Jc=2

[-16+4。+。=0

\b=l

解得2

c=2

7

，拋物線的解析式為y=-x2+-x+2

(3)。福,5),0d0),

補(bǔ)充求解過(guò)程如下：

:在VCOM中，ZCOM=90°,以點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三角形與VCOM相似,

以點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三角形也是直角三角形，

又：QOJLx軸，直線QO交直線CM于點(diǎn)N,

/.ZCNQw90。，即點(diǎn)N不與點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)點(diǎn).

故分為ZCQN=90°和ZQCN=90°兩種情況討論：

①當(dāng)/CQV=90。時(shí)，由于QNLx軸，

.?.CQ_Ly軸，即CQ在x軸上，

又：點(diǎn)。在拋物線上，

此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，

作出圖形如下：

此時(shí)ZCQN=ZCOM=90°,

又：ZQCN=ZOCM

:?△CQNsAcOM,即此時(shí)符合題意，

7

令y=-12+耳％+2=0,

解得：項(xiàng)=一/,%2=3（舍去）

，點(diǎn)。的坐標(biāo)，也即點(diǎn)8的坐標(biāo)是。，g。

②當(dāng)/QCN=90。時(shí)，作圖如下：

：QO_L尤軸，ZCOM=90°

QD//OM,

：.ZCNQ=ZOMC,

ZCNQ=ZOMC,ZQCN=ZCOM=90°

：.^QCN^COM,即此時(shí)符合題意，

△QCN&COM,

ZCQN=ZOCM,即ZDQC=NOCM

?：ZDQC=ZOCM,ZQDC=ZCOM,

叢QDCs^COM

嘿嘴3=2,QD=2DC

設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4,則。%,"2+m+2}

D（d。）,

7

：.QD=-q92+-q+2,CD=3-q

_q?+—^+2=2（3-q）,

3

解得：%=萬(wàn)必=3（舍去）,

97

—Q+—^+2=5,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)是。2(I，5)

綜上所述：點(diǎn)。的坐標(biāo)是。(-g,o),e2f|,5

2.(2023?湖北武漢?中考真題)拋物線^:>=X2-2苫-8交左軸于4,8兩點(diǎn)(A在8的左邊)，交V軸于點(diǎn)C.

(1)

⑴直接寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵如圖(1),作直線x=r(O<r<4),分別交X軸，線段3C,拋物線G于〃及尸三點(diǎn)，連接CV.若BDE

與△詔相似，求f的值;

【分析】(1)令y=0,解一元二次方程求出X值可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，令x=0求出y值可得c點(diǎn)坐標(biāo),

即可得答案;

(2)分ABERsdCEFi和ABE23s2X8當(dāng)C兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分別列方程求出/值即可

得答案;

【詳解】(1):拋物線解析式為y=/-2x-8,

.,.當(dāng)y=o時(shí)，f-2r-8=0,

解得：無(wú)1=-2,無(wú)2=4,

當(dāng)元=0時(shí)，y=-8,

A(-2,0),8(4,0),C(0,-8).

(2)解：.尸是直線x=/與拋物線C1的交點(diǎn),

/.尸，,，2—2/-8),

①如圖，若△B&'sACEiK時(shí),

/BCR=ZCBO,

：.CFXOB

C(0,-8),

t2—2t—8=—8，

解得，，=。(舍去)或，=2.

②如圖，若AB&D2s△B&C時(shí).過(guò)尸2作g軸于點(diǎn)T.

ZBCF2=ZBD2E2=ZBOC=90°,

???ZOCB+ZOBC=ZOCB+ZTCF2=90°,

.??ZTCF2=ZOBC,

O

ZCTF2=ZBOC=90,

:.ABCOs^CF江,

.F2TCT

'%~cd~~BO

B(4,0),C(0,-8),

AOB=4,OC=8,

FJ=t,CT=-^-(t2-2t-^=2t-t2,

,t2t—t?

??——,

84

3

解得，=。（舍去）或吃.

3.(2023?湖北隨州?中考真題)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=底+bx+c過(guò)點(diǎn)A(-l,0),仇2,0)

和以0,2),連接3C,點(diǎn)(機(jī)＞0)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸交直線BC于點(diǎn)交x軸

(1諄談寫中拋物線和直線BC的解析式；

(3)當(dāng)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在V軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以。，P,。為頂點(diǎn)的三角形與以8,C,N為頂

點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng))，若存在，享毯號(hào)地點(diǎn)P和點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)由題得拋物線的解析式為＞="(無(wú)+D(x-2),將點(diǎn)C(0,2)代入求。，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)

直線3C的解析式為＞=&+乙將點(diǎn)8,C的坐標(biāo)代入求心心進(jìn)而得直線8C的解析式.

(3)對(duì)點(diǎn)尸在點(diǎn)5左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長(zhǎng)度，利用相似三角形的相似比求解小，

進(jìn)而可得尸，Q的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：拋物線過(guò)點(diǎn)A(T,。)，3(2,0),

拋物線的表達(dá)式為y="(x+l)(x-2),

將點(diǎn)C(0,2)代入上式，得2=-2a,

a=-1.

拋物線的表達(dá)式為y=-(x+l)(x-2),即y=_/+尤+2.

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y^kx+t,

將點(diǎn)8(2,0),以0,2)代入上式，

解得「2-

???直線3c的表達(dá)式為y=-X+2.

(3)解：點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)，

:..POQs_CBN或_POQs_CNB.

①若點(diǎn)尸在點(diǎn)8左側(cè)，

貝lJ/CBN=45。，BN=2-m,CB=2丘.

當(dāng)4尸OQsCBN,即ZPOQ=45。時(shí)，

直線0P的表達(dá)式為y=x,

—m2+m+2=m>解得，"=點(diǎn)或機(jī)=—(舍去).

OP2=(V2)2+(A/2)2=4,即OP=2.

.OPOQ2_OQ

"BCBN，2>/22-72)

解得00=6-1.

，尸(倉(cāng)友)，2(0,72-1).

當(dāng).POQsCNB,即NPQO=45°時(shí)，

PQ=,OQ=-m2+m+2+m=-nr+2m+2,

,PQOQ-nv+2m+2

.?—,EJJ="—,

CBNB2A/22-m

解得“7=1+石(舍去)或〃2=1-百(舍去).

②若點(diǎn)尸在點(diǎn)8右側(cè)，

則/CBN=135。，BN=m-2.

當(dāng)APOQSCBN,即NPOQ=135。時(shí),

直線OP的表達(dá)式為丁=一%,

?*--m2+m+2=—m,解得機(jī)=1+百或m二1一6(舍去),

?.OP=\flm=V2+\/6,

.OP_OQ0nV2+V6_OQ

一而一肅川FF-萬(wàn)T

解得。。=1.

?.P(1+V3,-1—^3),2(0,1).

當(dāng)LPOQSCNB,即NPQO=135。時(shí)，

PQ=\[lm,OQ—^-m2+m+2+m|=m2—2m—2.

.PQOQy/2mm2-2m-2

,,一,Rn|J,

CBNB2V2m-2

解得〃Z=1+指或〃7=1-百(舍去).

二尸(1+6,-3-6，2(0,-2).

綜上，尸(虛,忘)，。(0,五-1)或尸(1+后-1-0)，。(0,1)或尸(1+",-3-6)，2(0,-2).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面

直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?四川綿陽(yáng)?中考真題)如圖，拋物線>=0+法+。交x軸于A(-l,0),B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,

3),頂點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1.

(1)求拋物線的解析式;

(3)過(guò)點(diǎn)C作直線/與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E,連接AD,AE,DE,在直線/下方的拋物線上

是否存在一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作垂足為E使以M,F,E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與/4DE相似？若存在,

請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-x2+2x+3；

(3)存在點(diǎn)使以M,F,E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與zUDE相似，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0)或(-3,-12)

120

或"一3'豆

【分析】(1)由拋物線的對(duì)稱軸可得點(diǎn)8的坐標(biāo)，由此設(shè)出交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出拋物線的

解析式；

(3)由拋物線的對(duì)稱性可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)。的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得出A。，DE,AE的

長(zhǎng)，可得出△AOE是直角三角形，且。E：AE=1：3,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出跖和的比例，

由此可得出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：：頂點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1,

，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

VA(-1,0),

：.B(3,0),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3),

把C(0,3)代入拋物線的解析式得：

-3a=3,解得。=-1,

拋物線的解析式為:y=-(x+D(x-3)=-x2+2x+3；

(3)解：存在，理由如下：

\"y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4),

由拋物線的對(duì)稱性得：E(2,3),

VA(-1,0),

AD=2BDE=y[2,AE=3A/2,

AD2=DE2+AE2,

...△ADE是直角三角形，且NAED=90。，DE：AE=1：3,

?.?點(diǎn)M在直線/下方的拋物線上，

設(shè)M9-產(chǎn)+2f+3）,則r>2或f<0,

\'MF±l,

:.點(diǎn)尸（t,3）,

EF=\t-1\,MF=3—（—/+27+3）=/一2r,

:以M,F,E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與//DE相似，

二EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3,

；.|f-21：（產(chǎn)-2t）=1:3或（r-2r）t-21=1:3,

解得f=2（舍去）或z=3或-3或/=g（舍去）或t=-g,

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）或（-3,-12）或［-；名，

綜上所述，存在點(diǎn)M,使以〃，RE三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與/4DE相似，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）或（-3,

-⑵或［一多.

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圓內(nèi)四邊形的性質(zhì)，相似三角形

的性質(zhì)與判定，分類討論思想等，第（2）問(wèn)得出四點(diǎn)共固是解題關(guān)鍵；第（3）問(wèn)得出AADE是直角三角

形并得出AD:AE的值是解題關(guān)鍵.

5.（2022?湖南?中考真題）如圖，已知拋物線>=辦2+法+3（。工0）的圖像與天軸交于41,0）,B（4,0）兩點(diǎn)，

與，軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若四邊形3CEF為矩形，CE=3.點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C沿CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以每

秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)E沿環(huán)向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止.當(dāng)以/、E、N為頂點(diǎn)的

三角形與ABOC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間r的值；

【答案】(i)y=J3%2—1?5兀+3；頂點(diǎn)為。(5j—?27)

44216

9…6

(2“=打或/=《

【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y=ax2+bx+3,將A(1,O)、3(4,0)代入>=加+法+3,進(jìn)行計(jì)算即可

315

得>=：爐-7尤+3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；

(2)依題意，f秒后點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)距離為CM=/,則ME=3T,點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)距離為￡7V=2f,分情況討論:

①當(dāng)AEWsAOBC時(shí)，②當(dāng)AEMNsAOCB時(shí),進(jìn)行解答即可得；

【詳解】(1)解:設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y=ajc+bx+3,

將A(l,0)、B(4,0)代入y=加+6x+3得：

Ja+Z?+3—0

[16。+4。+3=0'

.3

ci=——

解得，:4，

b=—

4

，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=3三15%+3,

44

15

4歐-廿=473（一/=_27

4a4x316

44

???頂點(diǎn)為。弓5227)；

216

(2)解：依題意，/秒后點(diǎn)"的運(yùn)動(dòng)距離為貝IJME=3-，，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)距離為RV=2"

①當(dāng)AEM/VSAOBC時(shí)，

.3—/2t

,?=，

43

9

解得;

②當(dāng)\EMN^\OCB時(shí),

.3—12t

??=,

34

解得

96

綜上得，當(dāng)七五或公二時(shí)，以M、E、N為頂點(diǎn)的三角形與ABOC相似；

6.(2022?遼寧?中考真題)拋物線>="2-2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,-3),直線y=-x+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

交拋物線于點(diǎn)E.拋物線的對(duì)稱軸交AE于點(diǎn)8,交x軸于點(diǎn)。，交直線AC于點(diǎn)?

圖①圖②

(1)求拋物線的解析式；

(3)如圖②，連接C。，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)。，A,E為頂點(diǎn)的三角形與△。尸相似時(shí)(AE

與CD不是對(duì)應(yīng)邊)，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】(l)y=N-2x-3

(3)。點(diǎn)坐標(biāo)為(-7,5)或(-12,5)或(3,-10)或(3,-5)

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;

(2)先分別求出直線AE、AC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)8(1,2),D(1,0),F(1,-2),過(guò)點(diǎn)P作x軸

垂線交AC于點(diǎn)交x軸于點(diǎn)N,設(shè)P(m,機(jī)2-2加-3),則加-3),由面積關(guān)系求出P點(diǎn)的橫

坐標(biāo);

CDDFCF,CDDFCF

(3)分類討論①當(dāng)時(shí),AQAE~EQ；②當(dāng)△CDFS/XAQE時(shí)，—次從石；

CDDFCFCDDFCF

當(dāng)△CDFSAEQA時(shí),④當(dāng)時(shí),分別求出點(diǎn)0的坐

EQAQAE'EQAEAQ'

標(biāo).

【詳解】(1)解：將A(3,0),點(diǎn)C(0,-3)代入y=ox2-2x+c,

9a—6+c=0

c——3

a=l

解得

c=-3'

.\y=x2-2x-3；

(3)VC(0,-3),D(1,0),F(1,-2),

:.CD=M,CF=0,DF=2,

■:E(-2,5),A(3,0),

:.AE=5框,

設(shè)。(彳，》)，

?CDDFCF

①當(dāng)△COFSAQAE時(shí)，—

.5/102_72

??汨—5點(diǎn)一詼’

：.AQ=545,EQ=5,

.f(x-3)2+y2=125

?1(尤+2)2+(1)2=25

x=-7x=-2

解得…或（舍）,

y=10

：.Q(-7,5)；

CDDFCF

②當(dāng)時(shí),

,V10_J__5/2

"AQEQ50’

；.A0=5亞，QE^10,

f(x+2)2+(y-5)2=100

1(x-3)2+y2=250

x=-2x=-n

解得（舍）或

y=15.y=5

：.Q(-12,5)；

CDDFCF

③當(dāng)時(shí),

EQ~AQ~AE

.>/io2_V2

??瓦―AQ—電，

：.EQ=5M,AQ=10,

f(x-3)2+y2=100

[(尤+2/+(y-5)2=250

x=3x=13

解得y=」?；颍ㄉ幔?

y=0

：.Q(3,-10)；

CDDFCF

④當(dāng)△CQFS\QEA時(shí),

Z城一次一而'

?y/w—2—五

?,EQ—5近而‘

.,.EQ—5^/5,AQ=5,

J(x+2)2+(y-5)2=125

I(x-3)2+y2=25

x=3x=8

解得I或（舍）,

y=0

：.Q(3,-5)；

綜上所述：。點(diǎn)坐標(biāo)為（-7,5）或（-12,5）或（3,-10）或（3,-5）.

【點(diǎn)睛】本題主要是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形

面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣西桂林?中考真題）如圖，拋物線y=-N+3尤+4與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)8的左側(cè)）,

與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸/與x軸交于點(diǎn)N,長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)尸位于點(diǎn)。的上方）在x軸上

方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng).

⑴直接寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)當(dāng).和Q8N相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴4-1,0）,2（4,0）,C（0,4）

⑶弓，爭(zhēng)或弓，g，/

【分析】(1)由》=-N+3x+4可得A(-1,0),B(4,0),C(0,4)；

..3333

（3）由在y=-x2+3x+4得拋物線對(duì)稱軸為直線x=-,設(shè)。（萬(wàn)，/）,則。（］，，+1）,M（0,t+1）,

3

N0),知BN=￡,QN=t,CN=|L3|,①當(dāng)黑■=?時(shí)，區(qū)'=］，可解得

222BNt2

2

W=；,得Q(；，

15、一,315、?，CMPM

萬(wàn)）或（5，-）；②當(dāng)而=函時(shí),

2722

【詳解】（1）解：在y=-N+3x+4中，令無(wú)=。得＞=4,令＞=0得尤=-1或無(wú)=4,

AA(-1,0),B(4,0),C(0,4).

（3）如圖:

33

由產(chǎn)-x2+3x+4得，拋物線對(duì)稱軸為直線％=---=-,

-22

333

設(shè)。(一，/),則尸(一，什1),M(0,什1),N(1,0),

222

U：B(4,0),C(0,4)；

53

：.BN=~,QN=t,PM)，CM=\t-3\,

'：ZCMP=ZQNB=9U。,

.?.△CPM和…相似,只需賽弋或瑞尚,

3

CMPMR-3|_I

①當(dāng)時(shí),

~QNBNt-5

2

解得/或f=3

2o

,315、…,315

??Q(—,—)或();

2228

M3

etCMPM.

②當(dāng)三;==7時(shí)，5=2

BN

2t

解得r=2±3因或r=lz馬回(舍去)，

22

：.Q(-,3+2)),

22

綜上所述，Q的坐標(biāo)是(j,R)或(j，號(hào))或(J3+2&).

222o22

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，線段和的最小值，相似三

角形的性質(zhì)及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

8.(2022?廣西玉林?中考真題)如圖，已知拋物線：＞=-2爐+"+c與x軸交于點(diǎn)A,8(2,0)(A在8的左

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑶過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線與線段8C交于點(diǎn)垂足為點(diǎn)H,若以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形與相似,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴y=-2^+2X+4

335

(3)(1,4)^#(—,—)

4o

【分析】(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱軸即可求出b,再根據(jù)拋物線過(guò)B點(diǎn)即可求出C,則問(wèn)題得解；

(3)先根據(jù)尸打，8。，求得/MHB=90。,根據(jù)(2)中的結(jié)果求得0c=4,根據(jù)B點(diǎn)(2,0),可得。2=2,則

有tan/CBO=2,分類討論：第一種情況：ABMHS^CMP,即可得PC〃OB,即尸點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐

標(biāo)則可求出此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)；第二種情況：4BMHsAPMC,過(guò)尸點(diǎn)作PGJ_y軸于點(diǎn)G,先證明

ZGCP=ZOBC,即有tan/GC尸=2,即有2GC=GP,設(shè)GP=a,貝！jGC=』a,即可得PH=OG='a+4,則有

22

P點(diǎn)坐標(biāo)為(。,；。+4),代入到拋物線即可求出a值，則此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)可求.

【詳解】(1):y=-2尤2+Zw+c的對(duì)稱軸為x=，,

2

Vy=-2)+bx+c過(guò)5點(diǎn)(2,0),

,,—2X22+Z?X2+C=0，

結(jié)合b=2可得c=4,

即拋物線解析式為：y=-2x2+2x+4；

(3)?:PH1B0,

：./MHB=9。。,

根據(jù)(2)中的結(jié)果可知。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),

即。。=4,

??,8點(diǎn)(2,0),

???OB=2,

tanZCBO=2,

分類討論

第一種情況：4BMHs^CMP,

：.ZMHB=ZMPC=90°,

：.PC//OB,

即尸點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)，也為4,

當(dāng)y=4時(shí),一2無(wú)？+2尤+4=4,

解得：x=l或者0,

點(diǎn)在第一象限，

，此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

第二種情況：4BMHs^PMC,

過(guò)P點(diǎn)作PGLy軸于點(diǎn)G,如圖，

ZMHB=ZMCP=90°,

：.ZGCP+ZOCB=90°,

'：ZOCB+ZOBC=90°,

：.ZGCP=ZOBC,

tanNGCP=tanNOBC=2,

9：PG±0G,

???在放△尸GC中，2GC=GP,

設(shè)GP=a,

??GC——a,

2

**.G0=—a+0C=一a+4,

22

VPG±OG,PHLOH,

，可知四邊形PGO"是矩形，

：.PH=OG=-a+4,

2

P點(diǎn)坐標(biāo)為3；a+4）,

1

—a+4=—2。9+2〃+4,

2

3

解得：a==或者0,

點(diǎn)在第一象限，

._3

??a一,

4

.1/35

28

此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為（=3,3=5）;

48

??ABMH與4PCM中，有恒相等，

中，當(dāng)NCPM為直角時(shí)，若NPCM=NBMH,則可證△PCM是等腰直角三角形，

通過(guò)相似可知△泌陽(yáng)也是等腰直角三角形，這與tan/C8O=2相矛盾，故不存在當(dāng)NCPM為直角時(shí),

相等的情況；

同理不存在當(dāng)/PCM為直角時(shí)，相等的情況，

綜上所述：尸點(diǎn)坐標(biāo)為：（L4）或者（93,三35）.

48

【點(diǎn)睛】本題考查了求解拋物線解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等邊三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、

解直角三角形等知識(shí)，掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022?湖南衡陽(yáng)?中考真題）如圖，已知拋物線y=，-x-2交x軸于A、8兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下

方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象w”，圖象w交，軸于點(diǎn)c.

（1）寫出圖象/位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函