2025屆北京東城北京二中高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆北京東城北京二中高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合,則=()A. B. C. D.2.某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí),該命題不成立,那么()A.當(dāng)時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)時(shí),該命題成立C.當(dāng)時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)時(shí),該命題成立3.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,4.已知,其中是虛數(shù)單位,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.5.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加B.2016年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收的2倍C.2016年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收的1.5倍D.2016年我國(guó)數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過(guò)三分之一6.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說(shuō)法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則7.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)(,)的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()9.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.11.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.12.甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后甲說(shuō):丙被錄用了;乙說(shuō):甲被錄用了;丙說(shuō):我沒(méi)被錄用.若這三人中僅有一人說(shuō)法錯(cuò)誤,則下列結(jié)論正確的是()A.丙被錄用了 B.乙被錄用了 C.甲被錄用了 D.無(wú)法確定誰(shuí)被錄用了二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點(diǎn)數(shù),則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為_(kāi)___.14.已知的終邊過(guò)點(diǎn),若,則__________.15.函數(shù)過(guò)定點(diǎn)________.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知直線與函數(shù)的圖象在y軸右側(cè)的公共點(diǎn)從左到右依次為,,…,若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng),顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球(逐個(gè)有放回地抽?。媒Y(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)(1)該商場(chǎng)某顧客購(gòu)物金額超過(guò)100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購(gòu)物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?18.(12分)已知橢圓的焦距為,斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)為,且直線的斜率為.(1)求橢圓的方程;(2)若過(guò)左焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),且滿足,問(wèn):是否為定值?若是,求出此定值,若不是,說(shuō)明理由.19.(12分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.21.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度22.(10分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),求兩交點(diǎn)間的距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

寫(xiě)出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立,則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”,由于當(dāng)時(shí),該命題不成立,則當(dāng)時(shí),該命題也不成立,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用,解題時(shí)要寫(xiě)出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.3、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),求出,即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),,則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用,在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件,計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果4、C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.5、C【解析】

通過(guò)圖表所給數(shù)據(jù),逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:,正確;對(duì)于選項(xiàng)C:,故C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D:,正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡(jiǎn)單.6、C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于,若,則可能為平行或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對(duì)于,若,只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.7、C【解析】

由,化簡(jiǎn)得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn),余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.8、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對(duì)稱軸,得出,求出的最小值與對(duì)應(yīng)的,寫(xiě)出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn),在對(duì)稱軸處取得最值,對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.9、C【解析】

先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當(dāng)a=2時(shí),化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.10、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】,當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,考查模長(zhǎng)公式,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

假設(shè)若甲被錄用了,若乙被錄用了,若丙被錄用了,再逐一判斷即可.【詳解】解:若甲被錄用了,則甲的說(shuō)法錯(cuò)誤,乙,丙的說(shuō)法正確,滿足題意,若乙被錄用了,則甲、乙的說(shuō)法錯(cuò)誤,丙的說(shuō)法正確,不符合題意,若丙被錄用了,則乙、丙的說(shuō)法錯(cuò)誤,甲的說(shuō)法正確,不符合題意,綜上可得甲被錄用了,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】總事件數(shù)為,目標(biāo)事件:當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標(biāo)事件共20中,所以。14、【解析】

】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過(guò)點(diǎn),若,.即答案為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

令,,與參數(shù)無(wú)關(guān),即可得到定點(diǎn).【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,函數(shù)值與參數(shù)無(wú)關(guān),所有過(guò)定點(diǎn).故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問(wèn)題,關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無(wú)關(guān),熟記常見(jiàn)函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.16、1【解析】

當(dāng)時(shí),得,或,依題意可得,可求得,繼而可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,即當(dāng)時(shí),,所以或,又直線與函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的公共點(diǎn)從左到右依次為,,所以,故,所以函數(shù)的關(guān)系式為.當(dāng)時(shí),(1),即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,為二函數(shù)的圖象的第二個(gè)公共點(diǎn).故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力及思維能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)選擇方案二更為劃算【解析】

(1)計(jì)算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,獲得8折優(yōu)惠的概率,相加得到答案.(2)選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望,比較大小得到答案.【詳解】(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率,故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.(2)若選擇方案一,則付款金額為.若選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,,則.因?yàn)?,所以選擇方案二更為劃算.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18、(1).(2)為定值.過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】分析:(1)焦距說(shuō)明,用點(diǎn)差法可得=.這樣可解得,得橢圓方程;(2)若,這種特殊情形可直接求得,在時(shí),直線方程為,設(shè),把直線方程代入橢圓方程,后可得,然后由紡長(zhǎng)公式計(jì)算出弦長(zhǎng),同時(shí)直線方程為,代入橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo),從而計(jì)算出,最后計(jì)算即可.詳解:(1)由題意可知,設(shè),代入橢圓可得:,兩式相減并整理可得,,即.又因?yàn)椋?,代入上式可得?又,所以,故橢圓的方程為.(2)由題意可知,,當(dāng)為長(zhǎng)軸時(shí),為短半軸,此時(shí);否則,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消可得,,則有:,所以設(shè)直線方程為,聯(lián)立,根據(jù)對(duì)稱性,不妨得,所以.故,綜上所述,為定值.點(diǎn)睛:設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,則有,證明方法是點(diǎn)差法:即把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,,兩式相減,結(jié)合斜率公式可得.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,證得,從而證得C′O⊥平面ABD,再結(jié)合面面垂直的判定定理,即可證得平面⊥平面;(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立的空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,則=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O?平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵,同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題,往往可以利用空間向量法,通過(guò)求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.20、(1),;(2)或【解析】

(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點(diǎn)

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