與圓有關的最值與范圍問題-2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點23與圓有關的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1斜率型最值（范圍）問題】............................................................2

【題型2直線型最值（范圍）問題】............................................................5

【題型3定點到圓上點的最值（范圍）】........................................................7

【題型4圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】............................................9

【題型5過圓內定點的弦長最值（范圍）問題1...........................................................................12

【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】.....................................................14

【題型7周長面積型最值（范圍）問題】.......................................................16

【題型8數(shù)量積型最值（范圍）問題】........................................................18

【題型9坐標、角度型最值（范圍）問題】.....................................................21

【題型10長度型最值（范圍）問題】.........................................................24

?命題規(guī)律

1、與圓有關的最值與范圍問題

從近幾年的高考情況來看，與圓有關的最值與范圍問題是高考的熱點問題，由于圓既能與平面幾何相

聯(lián)系，又能與圓錐曲線相結合，命題方式比較靈活，故與圓相關的最值與范圍問題備受命題者的青睞.此類

問題考查形式多樣，對應的解題方法也是多種多樣，需要靈活求解.

?方法技巧總結

【知識點1與距離有關的最值問題】

在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離

最小、最大、范圍等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識，利用數(shù)形結合思想進行求解得到相關結論.

1.圓上的點到定點的距離最值問題

一般都是轉化為點到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值.

2.圓上的點到直線的距離最值問題

已知圓C和圓外的一條直線I,則圓上點到直線距離的最小值為：八一一廠，距離的最大值為：八一+r.

【知識點2利用代數(shù)法的幾何意義求最值】

1.利用代數(shù)法的幾何意義求最值

（1）形如〃=E2的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.

（2）形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

（3）形如m=（x-a）2+（y-by的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（0力）的距離平方的最值問題.

【知識點3切線長度最值問題】

1.圓的切線長度最值問題

(1)代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉化成函數(shù)求最值；

(2)幾何法：把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題.

【知識點4弦長最值問題】

1.過圓內定點的弦長最值問題

己知圓C及圓內一定點P,則過P點的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.

【知識點5解決與圓有關的最值與范圍問題的常用方法】

1.與圓有關的最值與范圍問題的解題方法

(1)數(shù)形結合法：處理與圓有關的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借

助數(shù)形結合思想求解.

(2)建立函數(shù)關系求最值：根據(jù)題目條件列出關于所求目標函數(shù)的關系式，然后根據(jù)關系的特點選用參

數(shù)法、配方法、判別式法等進行求解.

(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表達式是滿足基本不等式的結構特征，如a2或者a+b的表

達式求最值，常常利用題設條件建立兩個變量的等量關系，進而求解最值.同時需要注意，“一正二定

三相等”的驗證.

(4)多與圓心聯(lián)系，轉化為圓心問題.

(5)參數(shù)方程：進行三角換元，通過參數(shù)方程，進行求解.

?舉一反三

【題型1斜率型最值(范圍)問題】

【例1】(23-24高二上?湖北武漢?階段練習)已知P(m,幾)為圓C:(久一l)2+(y—1)2=1上任意一點，則哼

的最大值為()

A.士B.-世c1+?D.1*

33

【解題思路】根據(jù)圓上任意一點P(a,n)到定點2(-1,1)的斜率，即可結合相切求解斜率得解.

十

【解答過程】77i+n_m+1+n—1_1n—1

m+lm+1m+l

由于P(m,n)為圓C:(x-l)2+(y-l)2=1上任意一點,

故￡；可看作圓上任意一點P(m,n)到定點4-1,1)的斜率,

當直線P4與圓相切時，此時斜率最大，

由于相切時，|4C|=2,|CP|=1故|P*=次，此時斜率上=黑=1

故署的最大值為1+9,

故選：C.

【變式1-1](2024?河南?模擬預測)已知點P(x,y)在圓(％-1)2+。-1)2=3上運動，則公的最大值為()

A.-6-V30B.6+V30C.-6+同D.6-同

【解題思路】將碧看作時圓上的點PQ,y)到點力(3,4)的直線的斜率的最小值即可求解.

【解答過程】公看作圓上的點PQy)到點4(3,4)的直線的斜率的相反數(shù).

當經(jīng)過點4(3,4)的直線與上半圓相切時，切線斜率最小，

設切線方程為y=k(x-3)+4,所以圓心到切線的距離等于半徑，故嗜科=百，解得卜=6±頻，故當

k=6-同時，切線斜率最小，此時N最大，最大值為-6+同，

x—3

【變式1-2](2024?陜西商洛?三模)已知PQo，yo)是圓C：/+y2—2x—2y+l=0上任意一點，則”的

%。一3

最大值為()

A.-2B.-iC.9D.3

233

【解題思路】”的幾何意義為直線旗乂-3)-y-1=0的斜率，再根據(jù)直線與圓得交點即可得出答案.

XQ—5

【解答過程】設k="，變形可得以配一3)--1=0,

則”的幾何意義為直線k(x-3)-y-l=0的斜率，

%0—3

圓C:%2+y2-2%—2y+1=0化為C:(x—l)2+(y—l)2=1,

所以圓C的圓心為(1,1),半徑為L

因為P(Xo，yo)是圓C：%2+y2_2x_2y+1=o上任意一點，

所以圓C與直線-3)—y—1=0有公共點，即圓的圓心到直線k(x—3)-y-1=0的距離不大于

圓C的半徑，

所以四萼Wwl,解得中！wkW=2

y/k2+l33

即”的最大為昔2

XQ—33

故選:D.

【變式1-3](2024?福建南平?三模)已知P0n,n)為圓C：0—1尸+(y-=1上任意一點，則得的最

大值為一年一

【解題思路】將三轉化為點P(m,n)和(-1,1)連線的斜率，由圖像可知當直線與圓相切時取得最大值，由d=

m+1

r解出斜率即可.

【解答過程】

由于震=意左，故岳表示P(m,n)和(一1,1)連線的斜率，設M(—1,1)，如圖所示，當MP與圓相切時，熱

取得最大值,

設此時MP:y-1=k(x+1),即依一y+k+l=0,又圓心(1,1),半徑為1,故上若%=1,解得k=±g

“2+13

故土3的最大值為日

m+l3

故答案為：-y.

【題型2直線型最值(范圍)問題】

【例2】(23-24高三上?河南?階段練習)已知點P(x,y)是圓C：上一以+段=3(a>0)上的一動點,若圓C

經(jīng)過點4(1,夜)，貝%的最大值與最小值之和為()

A.4B.2V6C.-4D.-2顯

【解題思路】由圓所過點的坐標求得a,y-x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距，直線與圓相切時，b

取得最大值或最小值，由此可得.

【解答過程】因為圓C：(x—a)2+y2=3(a>0)經(jīng)過點

(1-a)2+2=3.又a>0,所以a=2,

y-x可看成是直線y-x+b在y軸上的截距.如圖所示，

當直線y=x+6與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時^^=聲，解得。=-2±痣，

所以y-久的最大值為-2+逐，最小值為-2-迎，故y-%的最大值與最小值之和為-4.

故選：C.

【變式2-1](24-25高二上?全國?課后作業(yè))如果實數(shù)x,y滿足等式/+y2+?-2y-4=0,那么/+產(chǎn)

的最大值是14+6V5；2x-y的最大值是3V5-5..

【解題思路】畫出圖形，通過數(shù)形結合，以及直線與圓的位置關系、所求代數(shù)式的幾何意義逐一求解即可.

【解答過程】由/+y2+4%-2y-4=0,得(％+2/+(y—1)2=9,/+y2的幾何意義為圓(％+2)2+

(y-I)2=9上的動點到原點距離的平方.

因為圓心(-2,1)到原點的距離為遙，所以圓上的動點到原點距離的最大值為遮+3,

則/+產(chǎn)的最大值是(遮+3)2=14+6V5.

令2x-y=t,則一t是直線2%-y=1在丫軸上的截距，

當直線與圓相切時，直線2x-y=t在y軸上的截距，一個是最大值，一個是最小值，

此時，圓心(-2,1)到直線2久-y=t的距離d=上覆叢=3,解得t=一5±3㈢，

所以2x-y的最大值為36—5.

故答案為：14+6西；3V5-5.

【變式2-2](23-24高二上?黑龍江綏化?階段練習)已知久，y是實數(shù)，且Q-1)2+(y-2/=4.

⑴求3久+4y的最值；

(2)求號的取值范圍；

(3)求J/+y2的最值.

【解題思路】(1)首先設3x+4y=z,利用直線與圓有交點，列式求z的最值；

(2)首先設k=4轉化為直線依-y=0與圓有交點，列不等式求k的取值范圍；

X

(3)根據(jù)"守的幾何意義，轉化為圓上的點與原點距離的最值.

【解答過程】(1)設3x+4y=z,化為3x+4y-z=0,

可知直線3%+4丫-2=0與圓0-1)2+3-2)2=4有交點，圓心(1,2),半徑為2,

有邑”W2,解得1WZW21,

可得3久+4y的最小值為1,最大值為21；

(2)設k=上，化為kx—y=0,

X

可知直線此一y=0與圓(％-1)2+(y-2)2=4有交點，

有:rj；-2，解得々之0或k<—p

故(的取值范圍為(—8,—才U[0,+oo)；

(3)+y2的幾何意義為坐標原點到圓(%一1)2+(y_2)2=4上任意一點的距離，

圓(％-I)2+(y-2)2=4的圓心到坐標原點的距離為"T9=V5,

故+y2的最小值為花—2,最大值為遙+2.

【變式2-3](2024高三?全國?專題練習)已知實數(shù)x,y滿足方程/+產(chǎn)一以+1=0.求:

(1E的最大值和最小值；

(2)j+x的最大值和最小值；

(3)/+產(chǎn)的最大值和最小值.

【解題思路】(1)令2=3進行求解即可；

X

(2)令y+x=",得其縱截距在兩相切位置對應的縱截距之間，進行求解即可；

(3)根據(jù)N+V的幾何意義，進行求解即可.

【解答過程】(1)如圖，令則/+以2—4工+1=0,即(1+廣)x2—4x+l=0.由AK)得一V3</<V3,

X

所以Z的最小值為一百，最大值為四.

X

(2,0)

(2)令y+x=冽，得丁=-x+冽.直線y=—x+加與圓/+,2—以+1=0有公共點時，其縱截距在兩相切位

置對應的縱截距之間，而相切時有上士*叫=8，|m-2|=V6,m=2±V6.

所以y+x的最大值為2+V6,最小值為2—V6.

/fi\c

(3)如圖，/+/是圓上點到原點距離的平方，故連接oc,與圓交于點8,并延長交圓于C,可知8到

原點的距離最近，點C到原點的距離最大，此時有O8=J%2+最=2—后OC'^yJx2+y2=2+V3,

,22

貝I](N+/)mav=OC=7+4V3,(N+/)min=OB=1-^.

【題型3定點到圓上點的最值(范圍)】

【例3】(2024?陜西銅川?三模)已知圓。(久—。)2+(、-6)2=1經(jīng)過點力(3,4),則其圓心到原點的距離的

最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【解題思路】由題意及圓的定義得圓心所在的軌跡方程，然后利用點與圓的位置關系求解最大值即可.

【解答過程】由圓。0-砌2+(乂—匕)2=1經(jīng)過點(3,4),可得(3—a)2+(4-b)2=1,

即(a-3)2+(b—4)2=1,故圓心(a,6)的軌跡是以4(3,4)為圓心，1為半徑的圓,

又|4。|=VF+4？=5,所以圓心到原點的距離的最大值為5+1=6.

故選：C.

【變式3-11(23-24高三下?山東濟南?開學考試)己知P是圓。:/+產(chǎn)=9上的動點，點Q滿足所=(3,-4),

點4(1,1),則MQI的最大值為()

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

【解題思路】首先求點Q的軌跡方程，再利用點與圓的位置關系，求MQI的最大值.

【解答過程】設QO,y),P(xo.yo)-

由所=(x-xo，y-yo)=(3,-4),得久()=%-3,y0=y+4,

因為點P在圓。上，即焉+%=9,

則(x—3/+(y+4)2=9,

所以點Q的軌跡是以(3,-4)為圓心，3為半徑的圓，

因為4(1,1),(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以點4在圓外，

所以MQ的最大值為—3尸+(1+4尸+3=V29+3.

故選：C.

【變式3-2](2024?全國?模擬預測)M點是圓C:(x+2)2+y=1上任意一點，A8為圓的:(x—2>+產(chǎn)=3

的弦，且|48|=2戊，N為力B的中點，則|MN|的最小值為()

A.1B.2C.3D.47

【解題思路】根據(jù)弦長公式先求出IC1M=1,然后可知點N在以的(2,0)為圓心，1為半徑的圓上，結合圓

的性質可求|MN|的最小值.

【解答過程】圓C:(x+2)2+y2=1的圓心為c(—2,0),半徑為r=l,

圓Ci：(x-2)2+y2=3的圓心為(7式2,0),半徑為勺=V3.

如圖所示，由弦長公式知=2，^1cl=2魚，

解得|C1N|=1,

所以點N在以g(2,0)為圓心、1為半徑的圓上，

由圖可知，|MN|的最小值為ICC/-r—l=4-1-1=2.

故選：B.

【變式3-3]（2024?四川樂山?三模）已知圓O:/+y2=i6,點F（—2m+舊），點E是42久一y+16=0

上的動點，過E作圓。的切線，切點分別為4B,直線與E。交于點M,貝U|MF|的最小值為（）

3C3遙廠5yc3V19

AA.-B.——C.——D.------

2222

【解題思路】設由△ZOE?△M。/表示出點E坐標，代入直線方程得出點M的軌跡，根據(jù)點到圓上

一點距離最小值求法計算即可.

【解答過程】設M（x,y）,由題可知△AOE?△MO4,則器=黑，即|。川2=|。州?|0M|,

所以盟=翳=與，所以點E（跆，梟｝

2

將點E的坐標代入2:2%-y+16=0,化簡得（久+1）2+（y-5）=：（與y不同時為。），

故點M的軌跡是以（-1弓）為圓心，苧為半徑的圓，

2

又（一2+1）2+（1+舊-3=20>1點尸在該圓外，

所以|MF|的最小值為]（—1+2）2+（g—--y=2V5--y=

【題型4圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】

[例4]（2024?河北邯鄲?模擬預測）已知M,N是圓C：久2+y2_2y_3=0上的兩個點，且|MN|=2魚,

P為MN的中點，0為直線/：x—y—3=0上的一點，則|PQ|的最小值為（）

A.2V2B.V2C.2-V2D.V2-1

【解題思路】先根據(jù)弦長得出點尸的軌跡，利用直線與圓的位置關系即可解決.

【解答過程】圓C的標準方程：/+s_1）2=4,圓心c（o,i）,半徑為2,

由|MN|=2vL可得|CP|=V4^2=V2,

所以點P在以C（O,1）為圓心，魚為半徑的圓上，

又點C到直線/：x—y-3=0的距離d=世詈1=2V2,

所以IPQI的最小值為2a-a=VI

故選：B.

【變式4-1］（2024?遼寧鞍山?二模）已知直線/:x—y—2=0,點C在圓（x—1尸+產(chǎn)=2上運動，那么點C

到直線，的距離的最大值為（）

A.-V2+1B.-V2C.-V2D.—

2222

【解題思路】確定圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，加上圓的半徑，即可得答案.

【解答過程】圓（久一1）2+y2=2的圓心為（1,0）,半徑為丁=夜.

則圓心（1,0）到直線/：x-y—2=0的距離為：d==

所以圓上的點C到直線2：久一y-2=0距離的最大值為：苧+a=乎.

故選：C.

【變式4-2］（2024?河北?二模）已知力（xi，yj,火%力）是圓/+y2=9上的兩個動點，且疑也+yiV2=-*

若點M滿足前=2祈航點P在直線x+by-4b=0上，則|MP|的最小值為（）

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

【解題思路】連接OM、OA.OB,根據(jù)已知可得?礪=”2+乃乃=-?，且麗=1市+|礪，從而

可得動點M的軌跡為圓，由圓心到直線的距離可解.

【解答過程】如圖，連接0"、OA,OB,

由力（巧,為），8（如丫2）是圓％2+V=9上的兩個動點，且+為力=-/

即萬5?方=%1%2+7172=一p

又前=2麗，則。而一65=2（礪一麗），可得麗=［瓦？+|南，

所以I麗I=J（|ol+|0B）2=J1ol2+^OA-OB+^OB2=V1-2+4=V3,

則動點M的軌跡方程為/+必=3,

且圓心。到直線x+V3y-4V3=0的距離為d==2百，

所以|MP|的最小值為2百一百=四.

故選：D.

【變式4-3］（2024?湖南岳陽?二模）已知點4（打,力）,83，丫2）是圓/+y2=16上的兩點，若N49B=全

則出+為—2|+|x2+y2-2|的最大值為（）

A.16B.12C.8D.4

【解題思路】題目轉化為4、B到直線x+y—2=0的距離之和，變換得到/C|+|BD|=2|EF|,利用數(shù)形

結合轉化求解即可.

【解答過程】因為4（尤1，y。、8（交，光）在圓x?+y2=16上，-1OB=全

因為|0*=|0B|=4,則△40B是等腰直角三角形，

|%i+yi-2|+|%2+丫2—2|表示4、B到直線x+y—2—0的距離之和的倍，

原點。到直線％+y-2=0的距后為d=專=如圖所不：

AC1CD,BD1CD,E是ZB的中點，作EF1CD于F,

且。E14B,\AC\+\BD\=2\EF\,\OE\=1\AB\=2V2,

\EF\<|OF|+d=3V2,當且僅當O,E,F三點共線，且E,F在。的兩側時等號成立，

又|EF|="出0+\AC［）,故|BD|+14cl的最大值為6企

|xi+乃—2|+|x2+y2-2|的最大值為2位x3a=12.

故選：B.

【題型5過圓內定點的弦長最值（范圍）問題】

【例5】（23-24高二上?重慶?期末）已知圓的方程為了+產(chǎn)一8%=0,則該圓中過點P（2,l）的最短弦的長

為（）

A.VioB.VilC.2V10D.2VT1

【解題思路】利用幾何法求弦長.

【解答過程】如圖：/+、2-8久=0今（x—4）2+y2=16,所以圓心C（4,0）,半徑r=4

由圖可知，當弦ZBLCP時，弦長最短.

此時，Rt2\4CP中，\CP\=J(4-2尸+(0—1)2=V5,\CA\=r=4,

所以：\AP\=V16-5=VTl.

所以弦長|4B|=2VTT.

故選：D.

【變式5-1]（2024,陜西西安?模擬預測）已知直線〃tx+y-2t-y/3=0（teR）與圓C:（x—l）2+y2=16

相交于4B兩點，則弦長|A8|的取值范圍是（）

A.[2V3,8]B.[4V3,8]C.（4V3,8）D.[4,4V3]

【解題思路】根據(jù)題意，求得直線恒過點P（2,遙），結合圓的性質和弦長公式，即可求解.

【解答過程】因為直線tx+y-2t-V3-0（tGR）,可得t（x-2）+y-V3=0,

1y—?^3Q

（y_0'解得x=2,y=K,所以直線恒過點P（2,百），

可得點P(2,g)在圓(x-l)2+y2=16內部，

又由圓(x—1)2+y2=16,可得圓心C(1,O),半徑為r=4,

當直線Z過圓心C(1,O)時，截得弦長最長，此時|4B|max=2r=8,

當直線/與PC垂直時，此時弦長|48|最短，又由|PC|=J(2-1)2+(8-0)2=2,

可得|48|min=2〃2_|PC|2=2"-4=4仃，

所以弦長|力B|的取值范圍是[4百,8].

故選：B.

【變式5-2](23-24高二上?廣東珠海?期末)已知直線八mx—丫一3巾+1=0恒過點P,過點P作直線與

圓C：(%-1)2+⑶-2)2=25相交于4,B兩點、,則|4B|的最小值為()

A.4V5B.2C.4D.24

【解題思路】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關系，進而確定|力切最小時直線與直線CP的位置關系,

即可得結果.

[解答過程】由7n(X—3)-y+1=0恒過P(3,l),

又(3-I)2+(1—2)2=5<25,即P在圓。內，

要使必用最小，只需圓心C(l,2)與P的連線與該直線垂直，所得弦長最短，

由|CP|=花，圓的半徑為5,

所以MBlmin=2XV25-5=4V5.

故選：A.

【變式5-3](2024-江西贛州?二模)已知直線/:(m+n)x+(m—n)y—2m=O(mn豐0).圓C:(久—2)2+(y—

2)2=8,則()

A./過定點(1,一1)B./與。一定相交

C.若/平分C的周長，則爪=1D./被C截得的最短弦的長度為4

【解題思路】根據(jù)方程的形式，聯(lián)立方程二即可求定點，判斷A,再根據(jù)定點與圓的關系，

判斷直線與圓的位置關系，判斷B,根據(jù)直線平分圓的周長，可得直線與圓的關系，判斷C,當定點為弦的

中點時，此時弦長最短，結合弦長公式，即可判定D.

【解答過程】選項A：Z:(m+n)x+(m—n)y—2m=0=>m(x+y—2)+n(x—y)=0,

聯(lián)立解得所以/過定點(1,1),故A錯誤；

選項B：因/過定點(1,1),且(1—2)2+(1-2)2<8,

所以定點(1,1)在圓內，即/與C一定相交，故B正確；

選項C：若/平分C的周長，則直線過圓心(2,2),所以0n+n)x2+(m—n)x2—2ni=0,

即m=0,故C錯誤；

選項D：當定點(1,1)為弦的中點時，此時弦長最短，

此時圓心(2,2)到弦所在直線的距離d=J(2—I]+(2-1)2=V2,

則弦長2J(2夜『-(魚)2=2后，故D錯誤；

故選：B.

【題型6圓的切線長度最值(范圍)問題】

【例6】(2024?全國?模擬預測)已知尸為直線1:久—y+l=0上一點，過點尸作圓C:(x—+y2=i的

一條切線，切點為力,則|P川的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【解題思路】根據(jù)已知條件，結合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.

【解答過程】連接C4貝“P川=7lPC|2-l,

而|PC|的最小值為點C到直線1的距離d=^===魚＞1,

所以|P川min=J(魚)2—1=1.

故選：A.

【變式6-1](2024?新疆?二模)從直線x—y+2=0上的點向圓工2+y2—敘―4y+7=0引切線，則切

線長的最小值為()

A.—B.1C.—D.--1

242

【解題思路】先求出圓心和半徑，再將切線長的最小轉化為直線上的點與圓心的距離最小來求解即可.

【解答過程】圓/+丫2-4萬—4丫+7=?；癁椤?2)2+(丫-2)2=1,圓心為C(2,2),半徑為1,

直線x—y+2=0上的點P向圓/+y2一敘―句+7=0引切線，設切點為4

貝！J|P川2=|pc|2-r2=|pc『_i,

要使切線長的最小，則|PC|最小，即直線上的點與圓心的距離最小，

由點到直線的距離公式可得，|PC|min=々筍=V2.

所以切線長的最小值為J(/)2-1=1.

故選：B.

【變式6-2](2024?四川宜賓?二模)已知點P是直線x+y+3=0上一動點，過點P作圓C:(久++產(chǎn)=i

的一條切線，切點為4則線段24長度的最小值為()

A.2V3B.2V2C.V2D.1

【解題思路】由題意可得|P4|="PC|2-r2,則當|PC|取得最小值時，線段P4長度的最小，利用點到直線

的距離公式求出|PC|的最小值即可得解.

【解答過程】圓C:(x+1)2+y=1的圓心c(-LO),半徑r=l,

由題意可得PH-LAC,

則|P2|=y/\PC\2-\AC\2=y/\PC\2-r2=7|PC|2-1,

則當|PC|取得最小值時，線段24長度的最小，

|-1+0+3|=V2,

iPCImin=Vi+T

所以IP川min=J-1=L

故選：D.

【變式6-3](2024?湖北?模擬預測)己知點P為直線2:3x—4y+12=0上的一點，過點P作圓C:-3尸+

(y—2)2=1的切線PM,切點為M,則切線長|PM|的最小值為()

【解題思路】分析可知CM1PM,由勾股定理可得|PM|=J|PC|2一一當|PM|取小值時，PC11,求出圓

心到直線/的距離，作為|PC|的最小值，結合勾股求解即可.

【解答過程】由題意可知，圓C的圓心為C(2,3),半徑為|CM|=1,

由圓的幾何性質可知，CM1PM,

由勾股定理可得|PM|=J|PC|2—|C可『=J|PC|2一1,

所以要使切線長|PM|取最小值，只需|PC|取最小值即可.

當直線PC與直線2:3x-4y+12=0垂直時，|PC|取最小值d=浮粵=”，

V3z+(-4)z5

則|PM的最小值是

故選：A.

【題型7周長面積型最值(范圍)問題】

【例7】(2024?上海普陀?二模)直線2經(jīng)過定點P(2,l),且與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A,B兩點，

。為坐標原點，動圓M在△OAB的外部，且與直線/及兩坐標軸的正半軸均相切，則△。力B周長的最小值是

()

A.3B.5C.10D.12

【解題思路】先設動圓M的圓心M坐標為(叫伍)，|0*=a,\OB\=b,結合直線與圓相切的性質可得|04|+

\OB\+\AB\=|2m,當圓M與直線AB相切于點P(2,l)處時，圓M半徑最小，結合兩點間距離公式即可求解.

【解答過程】設動圓M的圓心M坐標為(犯小)，

即圓M半徑r=ni,由題意zn>0,

設|。*=a,\OB\=b,圓M與直線AB相切于點N,則MN|=zn-a,\BN\^m-b,

所以|。川+\OB\+\AB\=\OA\+\OB\+\AN\+\BN\=a+b+m-a+m-b=2m,

即^。力B的周長為2m,

所以△04B的周長最小即為圓M半徑小最小，因為|PM|>r=m,

則—2)2+(m—1)2>m,整理得ni?—6m+5>0,

解得m>5或m<1,

當mW1時，圓心M在△CMB內，不合題意；

當山25時，符合題意，即圓M半徑的最小值為5,△Q4B周長的最小值為2nl=10.

故選：C.

【變式7-1](2024?山西呂梁?一模)已知圓Q:(x—4)2+(y—2)2=4,點P為直線久+y+2=0上的動點,

以PQ為直徑的圓與圓Q相交于48兩點，則四邊形P4QB面積的最小值為()

A.2夕B.4V7C.2D.4

【解題思路】寫出面積表達式，從而得到當PQ與直線垂直時面積最小，代入數(shù)據(jù)計算即可.

【解答過程】由題意得P4L4Q,PB1AQ,（2（4,2）,

SmPAQB=2s4取=2-l\PA\\AQ\=2\PA\=2g_4,

當PQ垂直直線久+y+2=0時，|PQ|mm=中筍=4位,

G四邊形p4QB)min=4近，

【變式7-2]（2024高三?全國?專題練習）設P為直線x-y=0上的動點，為，P8為圓C：（無2)2+y2=1

的兩條切線，切點分別為4B,則四邊形4PBC的周長的最小值為（）

A.3B.2+V3C.4D.2+2再

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長定理將四邊形周長表示為|PC|的函數(shù)求解.

【解答過程】依題意，圓。一2）2+3/2=1的圓心（7（2,0）,半徑r=l,

AC1PA,\PB\=\PA\=J|PC|2_1,

因此四邊形4PBC的周長/=2\PA\+2\AC\-2ape1+2,

而|PC|min="矛=V2,當且僅當PC垂直于直線尤—y=0時取等號，

所以四邊形4PBC的周長的最小值為4.

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）已知4（一3,0）,B（0,3）,設C是圓M:d+y2-2久一3=0上一動點,

則△ABC面積的最大值與最小值之差等于（）.

A.12B.6V2C.6D.3近

【解題思路】求出C到直線4B的距離的最大值與最小值，結合面積公式做差即可得.

【解答過程】因為直線力B與圓M:(%一1)2+y2_4相離，

設圓心M(1,O)到直線=x+3的距離為d,

則d=^=2a,又圓M的半徑為2,

所以C到直線的距離的最小值為d-r=2V2-2,

C到直線48的距離的最大值為d+r=2迎+2,

因此△力BC面積的最大值與最小值之差等于：

—[(2V2+2)-(2V2-2)]=?x4=6魚.

故選：B.

【題型8數(shù)量積型最值(范圍)問題】

【例8】(2024?陜西安康?模擬預測)在平面直角坐標系中，曲線y=/-4%+1與坐標軸的交點都在圓C

上，4B為圓C的直徑，點P是直線3%+4丫+10=0上任意一點；則方?麗的最小值為()

A.4B.12C.16D.18

【解題思路】由題意求出圓C的方程，根據(jù)數(shù)量積的運算律求得方?麗的表達式PC?-4,確定當|玩|為圓

心到直線3久+4y+10=0的距離時，PA■而取最小值，結合點到直線的距離即可求得答案.

【解答過程】對于曲線y=/-4尤+L令久=0,則y=l；令y=0,則無=2土百，

曲線y=%2-4x+1與坐標軸的交點分別為(0,1),(2-V3,0),(2+73,0),

設圓心C(2,t),由J(0—2乃+(1—安=J(2+V3-2)2+(0-t)2,得t=l,

則圓心為C(2,l),半徑為2,所以圓C方程為(X—2尸+(y—1)2=4,

PA-PB=(PC+CA)-(PC+CB)=PC2+(CA+CB)-PC+CA-CB=PC2-4,

當|而|最小，即為圓心到直線3x+4y+10=0的距離時，可?而取到最小值，

圓心C(2,l)到直線Z:3x+4y+10=0的距離設為d,則d=陽2言字3=%

V32+42

所以|麗|最小值為4,則刀?麗的最小值為42-4=12,

故選：B.

【變式8-11(2024?全國?模擬預測)已知圓。是圓心為原點的單位圓，48是圓。上任意兩個不同的點，用(2,0),

則|玩?+而|的取值范圍為()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,6)

【解題思路】設C為弦力B的中點，則|豆？+而|=2|標后由圖形結合C點在圓內部可得答案.

【解答過程】設C為弦4B的中點，貝“豆？+而|=2|流因為4B兩點不重合，則直線與圓。相交，

所以點C在圓。內.

考慮點。為圓上或圓內一點，如圖當且僅當。，O,M三點共線時，|DM|最長為|M0|+|?！?|=3,因C在

圓內，貝U|MC|<3；

考慮點E為圓上或圓內一點，如圖當且僅當。，E,M三點共線時，|EM|最短為|M0|—|0E|=1,因C在

圓內，貝>1.

綜上，當點C在圓0內時，|MC|6(1,3),貝山拓？+麗|=2|流|C(2,6).

故選：D.

【變式8-2](2024?河南開封?二模)已知等邊△ABC的邊長為百,P為△4BC所在平面內的動點，且|而|=1,

則麗?麗的取值范圍是()

A-[-1-1]B-[-PT]C.[1,4]D,[1,7]

【解題思路】首先建立平面直角坐標系且力(-f,0),5(y,o),C(0,|),進而確定P的軌跡圓，再利用向量

數(shù)量積的坐標表示并結合所得表達式的幾何意義求范圍即可.

【解答過程】如下圖構建平面直角坐標系，且4(-苧,0),F(y,o),C(0,|),

所以P(x,y)在以a為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為0+弓)2+必=1,

而而=(y-x,—y),PC=(—|-y),故而?PC=x2-yx+y2-|y=(%-y)2+(y-1)2—

綜上，只需求出定點(手,坊與圓(x+f)2+產(chǎn)=1上點距離平方的范圍即可，

44Z

而圓心4與譚幣的距離d=J(1+孚)2+(?=a故定點(手怖)與圓上點的距離范圍為E，|]，

所以PB-PC6[—

故選：B.

【變式8-3](2024?河北唐山?二模)已知圓C：x2+(y-3)2=4,過點(0,4)的直線1與工軸交于點P,與圓C

交于力，B兩點，則麗?(石?+而)的取值范圍是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

【解題思路】作出線段4B的中點。，將刀+而轉化為2而，利用垂徑定理，由圖化簡得浮?(獷+而)=

2\CD\2,只需求|方|的范圍即可，故又轉化成求過點”(0,4)的弦長的范圍問題.

由方?(襦+而)=2而.麗=2(而+赤)?麗=2|而『，

因直線Z經(jīng)過點M(0,4),考慮臨界情況，

當線段48中點。與點M重合時(止匕時CM14B),弦長4B最小，此時CD最長,

為ICDImax=|CM|=4—3=1,（但此時直線/與X軸平行，點P不存在）；

當線段48中點。與點C重合時，點P與點。重合，CD最短為0（此時符合題意）.

故存-（CA+麗）的范圍為［0,2）.

故選：D.

【題型9坐標、角度型最值（范圍）問題】

【例9】（2024?江西?模擬預測）已知點M是圓好+產(chǎn)=1上一點，點可是圓。0-3）2+產(chǎn)=3上一點,

則NCMN的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

2346

【解題思路】利用圓的最值問題和正弦定理即可求解.

【解答過程】圓式2+y2=1的圓心。（0,0）,半徑勺=1,

圓C:（%一3）2+y2=3的圓心C（3,0）,半徑丁2=V3,

在三角形CMN中，\CN\=V3,

根據(jù)正弦定理可得，上L=±L,即」^=上匚，

sin/CMNsin/GVMsin乙CMNsin/CNM

因為|CM|N|CO|一廠1=3—1=2,sin乙CNM01,

所以sin^CMN<y,

因為|CN|<\CM\,所以NCMN是銳角，

所以NCMN的最大值為爭

故選：B.

【變式9-1］（2024?全國?模擬預測）已知直線l:x—y+2=0與圓。+y2=1,過直線I上的任意一點p

作圓。的切線處,PB,切點分別為B,貝比AOB的最小值為（）

A.—B.—C.-D.-

4326

【解題思路】由題意可得cos乙40P=嬴，可知當。尸最小時，N40B最小，結合點到直線的距離公式運算

求解.

【解答過程】由題意可知：圓。：/+y2=1的圓心為。(0,0),半徑為1,

則圓心。到直線/的距離為整=V2>1,可知直線/與圓。相離，

因為N40B=2N40P,且cos乙40P="=占

當|0P|最小時，則cosNZOP最大,可得乙40P最小，即乙4。8最小，

又因為|。尸|的最小值即為圓心。到直線/的距離為VL

此時cos乙40P=y.zXOP=p所以乙40B取得最小值會

故選：C.

【變式9-2](23-24高一下?河南洛陽?期末)在平面直角坐標系xOy中，已知。(0,0),力(果0),曲線C上任

一點M滿足|0M|