重慶市渝北中學2024-2025學年高一上學期期中質量監(jiān)測數學試題

渝北中學20242025學年上期高一年級半期質量監(jiān)測數學試題（全卷共四大題19小題，總分150分，考試時長120分鐘）注意事項：1.答題前，務必將自己的姓名、準考證號、班級等填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.3.答非選擇題時.必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合或x≥1，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定義直接計算即可得解.【詳解】因為集合或x≥1，，所以或.故選：B.2.設集合是偶數集，集合是奇數集.若命題，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由否定的定義即可得解.【詳解】由否定的定義可知：若命題，，則，.故選：C.3.下列函數定義域和值域都是的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由即可求解判斷A；由函數定義域為R可判斷BC；先求出函數定義域為，再求出值域即可判斷D.【詳解】對于A，要使函數有意義，則，所以函數定義域為，不符合；對于BC，函數定義域均為R，不符合；對于D，要使函數有意義，則x>0，所以函數定義域為，因為x>0，故，所以2x>0，所以函數值域為，故D正確.故選：D.4.設，則“”是“或”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分不必要條件的定義即可得解.【詳解】一方面：或；另一方面：或，但此時不滿足；所以“”是“或”的充分不必要條件.故選：B.5.函數的圖象如圖所示（圖象與正半軸無限接近，但永遠不相交），則下列說法正確的是（）A.函數的定義域為B.函數的值域為C.當時，有三個不同的值與之對應D.當，時，【答案】D【解析】【分析】利用圖象可判斷ABC選項的正誤，由圖象可得出函數在上的單調性，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A：由圖象可知：函數在沒有圖象，故定義域不是，故A錯誤；對于B：由圖象可知函數的值域為，故B錯誤；對于C：由圖象可知，當時，有2個不同的值與之對應，故C錯誤；對于D：由圖象可知函數在上單調遞減，所以，當、時，不妨設，則，則，故D正確.故選：D.6.實數，，，，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】對于A，取即可判斷；對于B，取即可判斷；對于C，取即可判斷；對于D，作差并求得差值a+2a?b+2【詳解】對于A，取時，滿足，，但，不滿足，故A錯誤；對于B，取時，滿足，但，不滿足，故B錯誤；對于C，取，滿足，但，不滿足，故C錯誤；對于D，，因為，所以，所以，所以a+2a?b+2b=故選：D.7.若函數是上的減函數，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意列出關于的不等式組即可求解.【詳解】若函數是上的減函數，則，解得.故選：A.8.已知，，且不等式對任意恒成立，則的最大值為（）A.3 B.6 C.18 D.36【答案】C【解析】【分析】先由不等式對任意恒成立求出，接著由和求出，再由得，求出的最大值即可得解.【詳解】因為不等式對任意恒成立，所以，因為，所以，又，，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為18.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.B.C.是的必要不充分條件D.是的充分不必要條件【答案】AC【解析】【分析】由空集是任何集合的子集即可判斷A；由得，從而求出即可判斷B；求出的解，再結合必要不充分條件的定義即可判斷C；由得或，且由得且結合充分不必要條件的定義即可判斷D.【詳解】對于A，空集是任何集合的子集，故A正確；對于B，因為，所以，所以，所以，故B錯誤；對于C，由得或，故是的必要不充分條件，故C正確；對于D，由得或，由得且，所以不是的充分不必要條件.故D錯誤.故選：AC.10.已知正數，滿足，則下列選項正確的是（）A.的最小值是1 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最大值是【答案】BD【解析】【分析】對于A，由基本不等式得的最大值是1即可判斷；對于B，變形結合基本不等式得即可計算得解；對于C，由基本不等式“1”的妙用方法即可求解判斷；對于D，將消元變形為一元二次函數即可求解判斷.【詳解】，為正數，且滿足，則且，所以，，對于A，即，當且僅當時等號成立，所以最大值是1，故A錯誤；對于B，，當且僅當時等號成立，所以的最小值是2，故B正確；對于C，，當且僅當即時等號成立，所以的最小值是，故C錯誤；對于D，，所以當時，有最大值，故D正確.故選：BD.11.已知定義在上的函數滿足：，，當時，有，則稱函數為“理想函數”.根據此定義，下列函數不是“理想函數”的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】按“理想函數”定義依次去計算對，，當下的，并分析其結果即可得得解.【詳解】對于A，因為，所以對，，當時，有，故不是“理想函數”.故A正確；對于B，因為，所以對，，當時，有，所以當且時，，故不是“理想函數”.故B正確；對于C，因為，所以對，，當時，有，故“理想函數”.故C不正確；對于D，因為，所以對，，當時，有，所以當且時，，故不是“理想函數”.故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】3【解析】【分析】由解析式取x=1即可求.【詳解】因為，所以取x=1得.故答案為：3.13已知函數，.則__________.【答案】【解析】【分析】根據給定的函數式，代入計算即得.【詳解】函數，由，得，即，所以.故答案為：14.對于任意實數，x表示不超過的最大整數.如，.定義在上的函數，若，則中所有元素的和為_____.【答案】11【解析】【分析】就的取值范圍分類討論后可求函數值，從而可求中元素的和.【詳解】注意到且所以，所以，故所求為.故答案為：11.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于對新定義函數、集合的理解，分類討論要做到不重不漏，由此即可順利得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設集合、，.（1）若時，求；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求出集合A，接著根據補集定義求出，再根據交集定義即可求解；（2）由得，進而得，解該不等式組即可得解.【小問1詳解】解得，所以，若，則，所以或，所以或x>8=x|0≤x<1【小問2詳解】因為，所以，由（1），所以，解得.所以實數的取值范圍是.16.已知二次函數，滿足，且的解集為.（1）求函數的解析式；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）的取值范圍為.【解析】【分析】（1）先由求得，接著由不等式的解集特征可得，且和是方程的兩根，從而由韋達定理可求解.（2）先由“當時，恒成立”結合得到在上恒成立，從而，再利用基本不等式求出即可得解.【小問1詳解】由題意可得，所以，又因為的解集為，所以由不等式的解集特征可得，且和是方程的兩根，所以，所以函數的解析式為.【小問2詳解】當時，恒成立，所以由（1）知當時，恒成立，即在上恒成立，令，則在上恒成立，所以，又因為，當且僅當即時等號成立，所以，所以，即的取值范圍為.17.某單位為響應政府舊城改造號召，決定在單位內投資156000元建一個長方體的功能用房，其高度3米，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用塑鋼每平方400元，兩側墻砌磚，每平方米造價450元，地面和頂部每平方米造價均為600元，設正面長為米，每側磚墻長均為米.（1）寫出與的關系式；（2）求出功能用房占地面積S的最大允許值是多少？此時正面長應設計為多少米？【答案】（1）（2）功能用房占地面積S的最大允許值是平方米，此時正面長應設計為15米.【解析】【分析】（1）先由題意列出等量關系，接著化簡即可得解.（2）先由基本不等式得，接著由（1）構建出不等式，解該不等式即可求出范圍，進而可求解.【小問1詳解】由題得，化簡得，所以.【小問2詳解】因為，當且僅當時取等號，所以即，所以，解得，所以功能用房占地面積，即功能用房占地面積S的最大允許值是平方米，此時且，即，故此時正面長應設計為15米.18.已知函數.（1）判斷并證明的奇偶性；（2）判斷在上的單調性.并用單調性定義證明；（3）解關于的不等式.【答案】（1）函數是定義在R上的奇函數.證明見解析；（2）函數在上單調遞增.證明見解析；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據奇偶性的判斷方法和步驟去計算判斷即可.（2）根據函數單調性定義法的證明步驟去計算判定即可.（3）先由函數的奇偶性和單調性將原不等式fct2?t+f【小問1詳解】函數是定義在R上的奇函數.證明如下：因為函數，所以函數定義域為R，關于原點對稱，且，所以函數是定義在R上的奇函數.【小問2詳解】函數在上單調遞增.證明如下：任取，則，因為，所以x1?所以，即，故，所以函數在上單調遞增.【小問3詳解】由（1）可知函數是定義在R上的奇函數，所以fct2又由（2）可知函數在上單調遞增，所以即ct2當時，不等式為，解得；當時，解或，若，則，所以不等式的解為；若，則，所以不等式的解為或；若，則，所以不等式的解為；若，則，所以不等式的解為或.綜上，當時，原不等式的解集為；當，原不等式的解集為；當，原不等式的解集為；當，原不等式的解集為；當，原不等式的解集為.19.設函數，其中.（1）若，求函數在區(qū)間上的值域；（2）若時，有解，求實數的取值范圍；（3）若對任意的，，都有，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先由得，接著根據函數在0,4上的單調性求出函數的最值即可得解.（2）先由在x∈0,1上有解得，接著根據函數的單調性研究其最值情況得2t+1>3，從而得解.（3）先由任意的，都有得對任意有，接著分類討論研究函數在閉區(qū)間0,4的最值即可依據計算求解實數的取值范圍.【小問1詳解】若，則，所以函數在0,1上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，所以函數在區(qū)間0,4上的值域為.【小問2詳解】因為x∈0,1時，有解，即在x∈0,1上有解，所以在x∈0,1上有解，所以，令，任取，則，因為，所以，所以，所以gx1?g所以函數在0,1上單調遞減，所以，所以2t+1>3，解得所以實數的取值范圍為.【小問3詳解】因為對任意的，，都有，所以對任意，有，因為，所以函數在上