《平面與平面垂直》第2課時(shí)同步學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《平面與平面垂直》第2課時(shí)同步學(xué)案問題情境導(dǎo)入如圖，檢查工件的相鄰兩個(gè)平面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，你知道這是為什么嗎？新課自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引平面與平面垂直的判定定理：（1）文字語言：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_____,那么這兩個(gè)平面垂直.（2）圖形語言：如圖.(3)符號(hào)語言:.答案（1）垂線(3)預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.直線平面平面,則與的位置關(guān)系是（）A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直2.對(duì)于直線和平面,能得出的一個(gè)條件是（）A.B.C.D.3.空間四邊形中,若,那么有（）.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面4.如圖,棱柱的側(cè)面是菱形,.證明：平面平面.答案1.答案：C解析：由平面與平面垂直的判定定理，得與垂直.2.答案：C解析:因?yàn)?則,又,故.3.答案：D解析:.4.因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以.又,且,所以平面.又平面,所以平面平面.新知合作探究探究點(diǎn)1平面與平面垂直的判定定理知識(shí)詳解1.平面與平面垂直的判定定理.文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直圖形語言符號(hào)語言2.應(yīng)用平面與平面垂直的判定定理證明兩個(gè)平面互相垂直時(shí)，只需要轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直.典例探究例1如圖,為正三角形,平面,,且是的中點(diǎn),求證：(1);(2)平面平面;(3)平面平面.解析(1)要證,只需證明注意到為的中點(diǎn),可取的中點(diǎn),先證明點(diǎn)在平面內(nèi),再證明平面過平面的一條垂線.答案取的中點(diǎn),連接,則,則.因?yàn)槠矫?所以,所以.在和中,,所以,所以.(2)取的中點(diǎn),連接,則,所以,所以點(diǎn)在平面內(nèi).因?yàn)槠矫?所以.又,所以平面.又在平面內(nèi),所以平面平面,即平面平面.(3)因?yàn)?所以四邊形為平行四邊形,所以.由(2)知平面,所以平面.又平面,所以平面平面.變式訓(xùn)練1如圖，在四棱錐中，平面,底面是直角梯形,,求證:平面平面.答案因?yàn)槠矫嫫矫?所以.又因?yàn)?所以平面.又因?yàn)槠矫?所以平面平面.探究點(diǎn)2二面角的求法知識(shí)詳解1定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖(1),則為二面角的平面角.2.垂面法:過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖(2),為二面角的平面角.3.垂線法:過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的點(diǎn)向另一個(gè)平面作垂線,垂足為,由點(diǎn)向二面角的棱作垂線,垂足為,連接,則為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖(3),為二面角的平面角.典例探究例2如圖,平面角為銳角的二面角.若與所成的角為,求二面角的大小.解析首先在圖中作出與所成的角(過作的垂線,連接,則,作二面角的平面角時(shí),要試圖與建立聯(lián)系,?住這一特殊條件,作,連接,利用相關(guān)關(guān)系即可解決問題.答案如圖,作于,作于,連接,則是二面角的平面角.又是與所成的角,設(shè),則,所以,所以,所以.變式訓(xùn)練2已知是正三角形,平面,且,求二面角的正切值.答案如圖,取的中點(diǎn),連接.因?yàn)槭钦切?所以.過作,連接.因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面平面.又平面平面,所以平面,所以.又,所以平面,所以,所以為二面角的平面角.設(shè),則,所以.易錯(cuò)易混解讀例如圖,在正三棱錐中,,,平行于的截面分別交,于點(diǎn).（1）判定四邊形的形狀,并說明理由;（2）設(shè)是棱上的點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí),平面平面?請(qǐng)給出證明.錯(cuò)解（1）因?yàn)?/平面,平面平面,所以.同理,所以HG.同理,所以四邊形為平行四邊形.（2）取的中點(diǎn),連接,因?yàn)闉檎忮F,所以,所以平面.又由(1)知,所以平面.又平面,所以平面平面.此時(shí).錯(cuò)因分析對(duì)正三棱錐的性質(zhì)不熟悉而出錯(cuò),正三棱錐的相對(duì)的棱互相垂直;正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都是等腰三角形,但不一定是等邊三角形.正解（1）因?yàn)槠矫?平面平面,所以.同理,所以,同理//,所以四邊形為平行四邊形.又為正三棱錐,所以在底面上的投影是的中心,所以.又,所以平面,所以,所以,所以四邊形為矩形.（2）作于點(diǎn),連接,又,所以平面.又,所以平面.又平面,所以平面平面GH.在中,,所以.糾錯(cuò)心得解線面、面面位置關(guān)系的題目時(shí)，首先要熟悉各種位置關(guān)系的判定方法及性質(zhì)，其次解題時(shí)應(yīng)將判定與性質(zhì)結(jié)合起來，多用分析法.線面、面面的位置關(guān)系是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)予以重視課堂快速檢測(cè)1.已知,則過與垂直的平面（）A.有1個(gè)B.有2個(gè)C.有無數(shù)個(gè)D.不存在2.已知直線與平面,下列能使成立的條件是（）A.B.C.D.3.下列四個(gè)命題中,正確的序號(hào)有=1\*GB3①,則;=2\*GB3②,則;=3\*GB3③,則;=4\*GB3④,則.4.如圖,在正方體中,求證:平面平面.答案1.答案：C解析:由平面與平面垂直的判定定理知,過的平面都垂直于平面,這樣的平面有無數(shù)個(gè).2.答案：D解