江蘇省徐州市2023-2024學年高二上學期1月期末抽測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2023-2024學年高二上學期1月期末抽測數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，經(jīng)過直線的斜率為，設該直線的傾斜角為，則，所以，即直線的傾斜角為.故選：C2.圓的圓心坐標和半徑分別為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)圓的標準方程，即可得圓心坐標為，半徑為.故選：D3.己知是等差數(shù)列，，則（）A. B. C.0 D.14【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為d，則，解得，所以.故選：C4.己知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值點的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖象可知，有三個變號零點，則可得函數(shù)在上的單調(diào)性為先增再減，再增又減，所以函數(shù)的極小值點的個數(shù)為1個.故選：A5.若橢圓C的長軸長、短軸長、焦距成等差數(shù)列，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，長軸長、短軸長、焦距成等比數(shù)列，所以，即，則，即，則，得，解得或（舍）故選：D.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由可得，依題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，則，顯然當時，，此時在上單調(diào)遞減；當時，，此時在上單調(diào)遞增；所以在時取得最小值，即；因此只需滿足即可，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：B7.已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為.若對任意的，都有，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得,即數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，可得，即；所以，因此，且當x趨近于+∞時，趨近于，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：A8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，，則，當時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即，故，因為，所以，即，故，所以，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.己知是等比數(shù)列，公比為q，前n項和為，則下列說法正確的是（）A.為等比數(shù)列 B.為等差數(shù)列C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，，故為公比為的等比數(shù)列，故A正確；對于B，，所以是公差為的等差數(shù)列，故B正確；對于C，若，則，則，所以，但，故C錯誤；對于D，因為，所以，，，因為是等比數(shù)列，所以，解得：，故D正確.故選：ABD.10.已知直線與圓相切，橢圓，則（）A.點在圓O內(nèi) B.點在圓O上C.點在橢圓C內(nèi) D.點在橢圓C上【答案】BC【解析】由直線與圓相切，可知，圓心到直線的距離，即，所以點在圓O上，并且，所以圓在橢圓內(nèi)，在橢圓內(nèi).故選：BC11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點 B.有三個零點C.當時， D.過點可作三條直線與曲線相切【答案】ACD【解析】A選項，的定義域為R，，當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故為極大值點，為極小值點，共2個極值點，A正確；B選項，極大值，極小值，又，，結合A選項中函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理可得，有且只有，使得，故函數(shù)只有1個零點，B錯誤；C選項，令，則，故在R上單調(diào)遞增，故當時，，C正確；D選項，由于，故點不是函數(shù)上點，設切點為，，故，故切線方程為，將點代入切線方程中得，，可以看出是方程的根，故，令，兩根為，綜上，過點可作三條直線與曲線相切，D正確.故選：ACD12.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的右支上，過點P的直線l與C的兩條漸近線分別交于點M，N，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4B.與C僅有公共點P的直線共有三條C.若，且P為線段MN的中點，則l的方程為D.若l與C相切于點，則M，N的縱坐標之積為【答案】BD【解析】由題意，雙曲線，可得，則，所以焦點，且，設，則，雙曲線的兩條漸近線的方程為，A：由，所以，得，即的最小值為，故A錯誤；B：過點P作雙曲線的一條切線，和兩條平行于漸近線的直線，這3條直線與雙曲線僅有公共點P，故B正確；C：設，直線的方程為，則，，兩式相減得，即，所以，所以直線的方程為，即，故C錯誤；D：設直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，若直線與雙曲線相切，則，整理得，聯(lián)立方程組，解得，即點的縱坐標為，聯(lián)立方程組，解得，即點的縱坐標為，則點的縱坐標之積為，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則實數(shù)a的值為____________.【答案】1【解析】由題可知兩直線的斜率存在，故，由，則它們的斜率相等且縱截距不等，∴，解得.故答案為：1.14.已知拋物線的焦點為F，過F的直線與C交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為，則與C相切于弦AB端點的一條直線的方程為____________.【答案】或【解析】拋物線的焦點，設直線的方程為，聯(lián)立，得，，，由題意可知，，得，方程為，得或，時，，當，，不妨設，,，所以函數(shù)在點處的導數(shù)，此時切線方程為，即；函數(shù)在點處的導數(shù)，此時切線方程為，即，綜上可知，與C相切于弦AB端點的一條直線的方程為或.所以直線的方程為，15.已知P是橢圓上的一個動點，點，則的最小值為____________.【答案】【解析】易知為橢圓的下焦點，點在橢圓內(nèi)部；設為橢圓的上焦點，連接，由橢圓定義可得，則，所以，當且僅當三點共線時，取得最小值，如下圖所示：因此則的最小值為.故答案為：16.若實數(shù)t是方程的根，則的值為____________.【答案】【解析】由可得，即即可得實數(shù)t是方程的根，即；易知，所以；令函數(shù)，則在上恒成立；所以在上單調(diào)遞增，因此需滿足；可得，同時取對數(shù)得，即；所以，即.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.己知直線，直線l過點且與垂直.（1）求直線l的方程；（2）設l分別與交于點A，B，O為坐標原點，求過三點A，B，O的圓的方程.解：（1）由題意可得的斜率為，可得直線l的斜率為，由點斜式方程可得，即直線；（2）聯(lián)立直線l和方程，解得；聯(lián)立直線l和方程，解得；如下圖所示：設過三點A，B，O的圓的方程為，將三點坐標代入可得，解得，可得圓的方程為（或）.18.已知數(shù)列的首項為2，前n項和為，且.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，首項為，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，，即，當時，，當時，成立，所以，，，，兩式相減得，，所以.19.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，若函數(shù)有最小值2，求a的值.解：（1）當時，，的定義域為，則，則，，由于函數(shù)在點處切線方程為，即.（2）的定義域為，，當時，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得：.20.已知橢圓右焦點為，且過點.（1）求C的方程；（2）若過點的直線與交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值.解：（1）橢圓的右焦點為，則橢圓的半焦距為，由于，則橢圓的方程變?yōu)椋海瑢Ⅻc的坐標代入，，解得：或（舍去），得，所以橢圓方程為.（2）依題意，直線l的斜率不為0，則設直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設，，，因為，當且僅當，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.21.已知函數(shù).（1）當時，試判斷的單調(diào)性；（2）若，且a的取值集合中恰有3個整數(shù)，求b的取值范圍.解：（1）由題設，則，當時，則單調(diào)遞減；當時，則單調(diào)遞增；（2）由題設，則，當，則，即遞減；當，則，即遞增；所以，由，有，令，則，當，，遞減；當，，遞增；所以，而，，，，由a的取值集合中恰有3個整數(shù)，故取，又，，所以，故只要.22.已知拋物線過點，直線l與C交于A，B兩點，且.（1）當l垂直于x軸時，求的面積；（2）若，D為垂足，求點D到直線的距離的最大值.解：（1）根據(jù)題意由拋物線過點可得，解得，即拋物線方程為，