湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于拋物線，的準(zhǔn)線方程是.故選：B.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，所以.故選：C.3.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.4.九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，以金屬絲制成9個(gè)圓環(huán)，將圓環(huán)套裝在橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄．玩時(shí)，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個(gè)圓環(huán)分別解開，或合二為一．在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，滿足，且，則解下5個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A.31 B.16 C.14 D.7【答案】A【解析】由可得，，，.最少移動(dòng)次數(shù)為.故選：A.5.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.的標(biāo)準(zhǔn)方程為 B.的離心率等于C.與雙曲線的漸近線不相同 D.直線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】C【解析】對(duì)于A，由題意不妨設(shè)的方程為，所以有，解得，即的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，離心率為，故B不符合題意；對(duì)于C，令，都可以得到，即與雙曲線的漸近線相同，故C符合題意；對(duì)于D，聯(lián)立，消去化簡(jiǎn)并整理得，，解得，，即直線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故D不符合題意.故選：C.6.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，兩式相減得，即，又，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，若數(shù)列遞增數(shù)列則恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以.故選：B.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線，分別于拋物線交于點(diǎn)，．設(shè)直線，的斜率分別為，，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，由題意可知：可知直線與拋物線必相交，設(shè)，，，，則，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，根據(jù)韋達(dá)定理得，即，同理可得，則，可得，設(shè)直線為，聯(lián)立方程，消去并整理得，根據(jù)韋達(dá)定理得，所以.故選：B.8.設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，聯(lián)立方程組，，解得，，故，聯(lián)立方程組，，解得，，故，設(shè)為的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由題意得，故，則，可得，化簡(jiǎn)得，即，故漸近線方程為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的不得分）9.橢圓的離心率為，若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由，消得到，由題有，解得，又，，得到，所以，故選：AD.10.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由已知，又，，所以，，A正確，B錯(cuò)誤；，，，所以，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知拋物線（如圖），過拋物線焦點(diǎn)的直線自上而下，分別交拋物線和圓于，，，四點(diǎn)，則（）A. B.C.當(dāng)直線的斜率為時(shí)， D.【答案】ABD【解析】由題意可得，設(shè)直線方程為，Ax1,則，，所以，對(duì)于A，，故A正確，對(duì)于B，，B正確，對(duì)于C，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，解得，所以，所以，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，將代入可得，所以,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.12.已知數(shù)列，滿足，，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.為遞增數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】因?yàn)?，，，所以，，，，，，所以，A正確；又因?yàn)?，，所以，所以，所以?shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以，又明顯有，所以，所以，B正確；又因?yàn)?，所以為遞增數(shù)列，C正確；因?yàn)椋珼錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，則_________．【答案】【解析】依題意，又，所以，則，所以.故答案為：14.已知，是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】7【解析】如圖所示：由題意，設(shè)為雙曲線右焦點(diǎn)，線段與雙曲線右支交于點(diǎn)，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)重合，所以的最小值為7.故答案為：7.15.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_________．【答案】56【解析】由遞推公式，可得，，……，；而.故答案為：56.16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且（如圖），則橢圓的離心率為_________．【答案】【解析】設(shè)，,則，設(shè)橢圓的焦距為，則F-c,0，所以，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以即，所以或（舍），，又因?yàn)?，所以，解得，所以橢圓的離心率.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，求正整數(shù)的最小值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，故．（2）由（1）可得，則，所以，則數(shù)列是等差數(shù)列，故．因?yàn)?，所以，所以，所以或．因?yàn)?，所以的最小值?1．18.已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，求的面積．解：（1）由題意得：，令，則，又焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，，，所以，又原點(diǎn)到直線的距離，所以．19.為了保證海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)的正東方向設(shè)立了觀測(cè)站，在平臺(tái)的正北方向設(shè)立了觀測(cè)站，它們到平臺(tái)的距離分別為12海里和海里，記海平面上到觀測(cè)站和平臺(tái)的距離之比為2的點(diǎn)的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為，軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的方程；（2）海平面上有漁船從出發(fā)，沿方向直線行駛，為使?jié)O船不進(jìn)入預(yù)警區(qū)，求的取值范圍．解：（1）根據(jù)已知條件設(shè)Px,y且，O0,0由，有，，，，整理有，它是以為圓心，8為半徑的圓．所以曲線的方程為：．（2），過的直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直，所以直線截距式方程為，化為一般式方程為，根據(jù)題意，且，解得，所以綜上可知的取值范圍為．20.已知等比數(shù)列前四項(xiàng)和為30，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；；在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列．①若，求；②若，求．解：（1）設(shè)的公比為，則：，則，所以．（2）①在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，此數(shù)列首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，則，，則，②，則，，則，故：．21.如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，若直線的斜率為．（1）求證：直線的斜率為定值；（2）設(shè)焦點(diǎn)到直線的距離為，求的取值范圍．解：（1）將點(diǎn)代入拋物線方程得，所以拋物線,設(shè)，，由，消得，由韋達(dá)定理得，又，得到，又因?yàn)橹本€，的傾斜角互補(bǔ)，用代可得：，因此，又，所以為定值．（2）由（1）可知，，，，因此，整理得，所以到直線的距離，因?yàn)椋?，?/p>