拋物線及其性質(zhì)講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第第頁拋物線及其性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)1】拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.注意：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)F.【知識(shí)點(diǎn)2】拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，.其中一次項(xiàng)與對稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定開口方向.標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對稱軸軸軸頂點(diǎn)原點(diǎn)（0，0）焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程【知識(shí)點(diǎn)3】拋物線中常用結(jié)論點(diǎn)與拋物線的關(guān)系P在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）.P在拋物線上.P在拋物線外.焦半徑拋物線上點(diǎn)與焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑.焦點(diǎn)弦過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則AB就是拋物線的焦點(diǎn)弦.；（2）；（3）焦點(diǎn)弦長公式1：；焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線AB與對稱軸的夾角）.（4）（為直線AB與對稱軸的夾角）.拋物線的弦若AB是拋物線的任一條弦，，，弦AB的中點(diǎn)，則弦長公式：；；直線AB方程：題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】若點(diǎn)P到直線x=—1的距離比它到點(diǎn)（2，0）的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為（ ）圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【變式1】動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（2，l）的距離和到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為（ ）拋物線 B.直線 C.線段 D.射線【例2】已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為（ ）B.1 C.2 D.4【變式1】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=—2，則拋物線的方程是（）B. C. D.【例3】設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到軸的距離是4，則點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ）A.4 B.6 C.8 D.12 【變式1】已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)0，并且經(jīng)過點(diǎn)M（M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則=_________.【變式2】設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn).若,則（）A.9 B.6 C.4 D.3【例4】過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），則=___________.【變式1】已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交C于A，B兩點(diǎn).設(shè)，則與的比值等于_________.【變式2】已知點(diǎn)A(2，0)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則=（）A.2：B.1：2C.l：D.1:3【例5】已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和的距離之和的最小值是___________.【變式1】已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M（0，2）與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為___________.【變式2】已知點(diǎn)P在拋物線上，那么當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，一1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）AB.C.(l，2) D.(l，—2)題型二：拋物線中三角形、四邊形的面積問題【例1】在直角坐標(biāo)系中，直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在軸上方，若直線的傾斜角為60°，則的面積為_____________.【變式2】設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為_________.【變式3】如圖所示，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的